高等代數(shù)在幾何中的研究分解

1、學(xué)號(hào) 10051107哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文高等代數(shù)在幾何中的應(yīng)用院（系）名 稱：理學(xué)院 專 業(yè) 名 稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 生 姓 名：范莉娜指 導(dǎo) 教 師：方曉超哈爾濱學(xué)院2014年4月12日星期六目錄摘 要 IAbstractII 前言11 二階行列式在解析幾何中的應(yīng)用11.1 行列式的幾何意義1 二階行列式的幾何意義11.1.2 二階行列式性質(zhì)的幾何意義3 1.2向量?jī)?nèi)積的幾何解釋12三階行列式在解析幾何中的運(yùn)用7 2.1三階行列式的幾何意義7 2.2三階行列式的應(yīng)用73線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用73.1 平面組83.2 三向量共面問題93.3.空間兩直線相關(guān)位置關(guān)系的判定9 3.4行

2、列式在直線一般方程與標(biāo)準(zhǔn)化方程互化中的應(yīng)用15 3.5用矩陣解決線面位置關(guān)系113.6多項(xiàng)式恒等定理和柯西不等式在解析幾何中的應(yīng)用12結(jié)束語14致謝15參考文獻(xiàn)16摘要隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，課程改革作為教育改革的核心環(huán)節(jié)和教育改革深化的標(biāo)志，在世界范圍內(nèi)得到廣泛的關(guān)注和前所未有的重視。如何讓學(xué)生在相同的時(shí)間里獲得更多的知識(shí)，培養(yǎng)成為基礎(chǔ)厚、素質(zhì)高、能力強(qiáng)、富有創(chuàng)造力的綜合素質(zhì)人才，已成為課程改革的一個(gè)極其重要的方面。越來越多的與現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)有關(guān)的課程在客觀上要求必須重新安排課程以節(jié)省時(shí)間。高等代數(shù)與解析幾何作為傳統(tǒng)“三基”模式下的二門課程，關(guān)系非常密切，幾何與代數(shù)互為問題、互為方

3、法、互相交融，因而對(duì)其進(jìn)行合理的整合不僅必要而且切實(shí)可行。基于上述認(rèn)識(shí)，目前已有越來越多的高等院校數(shù)學(xué)系將高等代數(shù)與解析幾何二門課程合成一門新的課程，相關(guān)教材也不斷出現(xiàn)。伴隨著課程和教材的改革，相應(yīng)的教學(xué)方法和手段也應(yīng)得到不斷的認(rèn)識(shí)和改進(jìn)。本文通過探討高等代數(shù)與解析幾何合并教學(xué)以后在教學(xué)內(nèi)容的相互協(xié)調(diào)性、教學(xué)手段的合理性，從而說明高等代數(shù)與解析幾何這么兩門學(xué)科相互融合已成必然。1二階行列式在解析幾何中的應(yīng)用 1.1行列式的幾何意義1.1.1 二階行列式幾何意義二階行列式，是平面上以行向量和向量為鄰邊的平行四邊形的有向面積。1）若這個(gè)平行四邊形是由向量沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到向量而得到的，面積取正值；2

4、）若這個(gè)平行四邊形是由向量沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)到向量而得到的，面積取負(fù)值如圖（2.1）所示，以向量和向量為鄰邊的平行四邊形的面積為：則：在這里，為向量，之間的夾角.由上式整理得到：又因?yàn)橐虼说盟钥傻贸龆A行列式的幾何意義又因?yàn)樗远A行列式的另一個(gè)幾何意義，就是兩個(gè)行向量或列向量的叉積的數(shù)值.1.1.2 二階行列式性質(zhì)的幾何意義性質(zhì) 2.1 ，為實(shí)數(shù).這個(gè)性質(zhì)就是說，一個(gè)實(shí)數(shù)乘以行列式等于一個(gè)行向量乘以這個(gè)實(shí)數(shù)的行列式.幾何解釋就是：兩個(gè)行向量，向量所張成的平行四邊形的有向面積的倍等于這樣兩個(gè)向量，所張成的平行四邊形的有向面積，也就是 .通過圖（2.2）可直觀的了解幾何解釋。從圖中可以看出，可以看

5、作以向量為底的平行四邊形的面積，是以向量為底的平行四邊形的面積，高相同.因此，向量變化了倍，面積也變化了倍.性質(zhì) 2.2 對(duì)于三個(gè)向量，向量和向量張成的平行四邊形有向面積與向量和向量張成的有向面積之和等于向量和向量張成的平行四邊形有向面積.即有：如圖（2.3）和圖（2.4）所示：性質(zhì) 2.3 根據(jù)二階行列式的幾何意義可知行列式是以行向量和向量為鄰邊的平行四邊形的有向面積.又因?yàn)樗杂?，即向量，共線或平行，故.幾何意義 ：把成比例的兩個(gè)向量的始端都移動(dòng)到原點(diǎn)，則兩向量會(huì)在同一直線上，顯然所圍成的平行四邊形面積為零，即，所以行列式為零.如果兩個(gè)向量相等，行列式的值也為零.2.2向量?jī)?nèi)積的幾何解釋

6、向量的內(nèi)積也叫數(shù)量積、點(diǎn)積等，內(nèi)積的結(jié)果是個(gè)數(shù)量而不是向量.內(nèi)積的定義有兩個(gè)，我們把他們列舉出來的并探討一下它們的關(guān)系.，其中 ，其中 由公式（2.1）可知，兩個(gè)向量，的內(nèi)積等于兩個(gè)向量的模之積再乘以它們之間夾角的余弦即可得出結(jié)論。由公式（2.2）可知，兩個(gè)向量和向量的內(nèi)積等于兩個(gè)向量坐標(biāo)分量分別對(duì)應(yīng)乘積的和.我們可以運(yùn)用公式（2.2)來求向量的模：在這里假設(shè)我們選定一個(gè)坐標(biāo)系，軸沿著向量的方向，那么就有,則由公式(2.2)可以得到：就是向量的模乘以向量在向量方向上的分量，這個(gè)分量我們叫做向量在向量上的投影，因此公式(2.1)得證.（如圖2.6）因此，向量的內(nèi)積的幾何解釋就是一個(gè)向量在另一個(gè)向

7、量上的投影的積.由此我們可以推斷出兩向量方向相同時(shí)內(nèi)積最大;兩向量垂直時(shí)內(nèi)積為零;兩向量方向相反時(shí)內(nèi)積最小，其數(shù)值為最大內(nèi)積的相反數(shù).2三階行列式在解析幾何中的應(yīng)用2.1三階行列式的定義三階行列式的幾何意義是可以表示以它的第1,2,3列為坐標(biāo)的三個(gè)向量根本張成的平行六面體的有向體積.三階行列式的幾何意義是由二階行列式推導(dǎo)而來.如圖（2.5）由兩個(gè)向量和向量張成的平行四邊形為，面積為構(gòu)成的行列式.那么沿著第三個(gè)方向生成無數(shù)個(gè)平行于四邊形的新的平行四邊形，一直到的末端.可以把所有的平行四邊形組成的圖形看成一個(gè)以向量為棱的平行六面體，所有平行四邊形的面積疊加起來就是平行六面體的體積.可以引用混合積這

8、個(gè)概念來表示.向量的混合積2.1.1 用行列式解決三角形面積問題定理3.1 已知的個(gè)頂點(diǎn)分別為，則的面積為：的絕對(duì)值 證明 在的平面內(nèi)，已知點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)三角形（見圖3.1），即，求的面積.過各作軸的垂線(見圖3.1)，由圖可知：最后一個(gè)表達(dá)式剛好是一個(gè)三階行列式的展開式，即的絕對(duì)值上式就是以行列式表示的三角形面積.2.1.2 三點(diǎn)共線條件定理 3.2 平面上個(gè)點(diǎn)分別為，則三點(diǎn)共線的充要條件為：此定理由定理3.1可證明，如果三點(diǎn)共線則三點(diǎn)組成的三角形面積就為0.推論3.1 過平面上兩點(diǎn)，的直線方程為證明 已知兩點(diǎn)，要求過這兩個(gè)點(diǎn)的方程，只須在此直線上設(shè)一動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)樵谝粭l直線上，所以根據(jù)定理3.2

9、可得2.1.3 用行列式表示直線方程直線方程通過兩點(diǎn)和的直線的方程為. （4） 證明 由兩點(diǎn)式, 我們可以得到直線的方程為將上式展開并化簡(jiǎn), 求得此式可進(jìn)一步變形為此式為行列式(4)按第三行展開所得結(jié)果. 原式即可得證.2.1.4應(yīng)用舉例例 若直線過平面上兩個(gè)不同的已知點(diǎn)求直線方程.解 設(shè)直線的方程為, 不全為0, 因?yàn)辄c(diǎn)在直線上, 則必須滿足上述方程, 從而有這是一個(gè)以為未知量的齊次線性方程組, 且不全為0, 說明該齊次線性方程組有非零解. 其系數(shù)行列式的結(jié)果等于0, 即.則所求直線的方程為.同理, 若空間上有三個(gè)不同的已知點(diǎn), 平面過則平面的方程為.同理, 若平面有三個(gè)不同的已知點(diǎn), 圓過

10、, 則圓的方程為.2.1.5 三線共點(diǎn) 平面內(nèi)三條互不平行的直線相交于一點(diǎn)的充要條件是.2.1.6三點(diǎn)共線平面內(nèi)三點(diǎn)在一直線的充要條件是. 應(yīng)用舉例例 平面上給出三條不重合的直線:, 若, 則這三條直線不能組成三角形.證明 設(shè)與的交點(diǎn)為, 因?yàn)?將第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：.因?yàn)樵谂c上, 所以, 且若與平行, 若也在上交于一點(diǎn),無論何種情形, 都有不組成三角形.這說明由, 得到三條直線或兩兩平行或三線交于一點(diǎn). 也就是三條直線不能組成三角形.3線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用3.1.1 平面組 設(shè)由個(gè)平面方程構(gòu)成的方程組為 （5） 若方程組(5)中的各代以, 并用乘以(

11、5)式兩端: 得 （6）叫做點(diǎn)的齊次坐標(biāo). 這平面組的相關(guān)位置與方程組的系數(shù)所組成的兩矩陣 及 的秩及有關(guān)系. 現(xiàn)在分別敘述如下： ()當(dāng), 則方程組中各系數(shù)全是0. ()當(dāng) 則方程組(5)不合理, 方程組(6)有解.當(dāng),將趨近于無窮大（假設(shè)趨近于0）. 在這種情況下, 我們說這個(gè)平面在無窮遠(yuǎn)重合.()當(dāng), 則在矩陣及中所有二階行列式全是0. 所以我們有以上等式表示個(gè)平面相合成一個(gè)平面. ()當(dāng) 方程的系數(shù)中至少有兩組數(shù)如及滿足以下關(guān)系式上式表示平面平行但不相合. 也就是平面組中個(gè)平面相合或平行, 至少有兩個(gè)平面不相合. () 則矩陣及中所有三階行列式全是0, 至少有一個(gè)二階行列式不是0. 假

12、設(shè).我們必可求得適合下式：式中, 否則行列式將等于0. 故可求得假設(shè)點(diǎn)及的連線為把的等值代入上式, 易驗(yàn)證點(diǎn)在這連線上, 故該點(diǎn)與第一及第二兩點(diǎn)共在一直線上. 因可以是所以個(gè)點(diǎn)全在一直線上. （）當(dāng), 并假定中所有的四階行列式全是0, 我們可以求得適合下式：式中不等于0, 否則行列式從以上方程組求得：3設(shè)點(diǎn)及所確定的平面是把的等值代入上式, 甚易驗(yàn)明點(diǎn)在這個(gè)平面上, 故該點(diǎn)與前三個(gè)點(diǎn)共在一平面上. 又因?yàn)榭梢允? 所以個(gè)點(diǎn)共在一個(gè)平面上. （）當(dāng), 中至少有一個(gè)四階行列式如.是中任一個(gè)數(shù). 以上不等式表示點(diǎn)不在前三個(gè)點(diǎn)所確定的平面上, 因?yàn)榧僭O(shè)點(diǎn)在平面上, 則以下關(guān)系成立.也就是行列式這與假設(shè)

13、矛盾.3.1.2 三向量共面問題定理3.5 三向量共面的充要條件是.證明 我們來探討一下三向量的混合積表示方法由于根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示法，得通過混合積我們知道三向量的混合積最終可以表示成一個(gè)行列式，如果要說明三向量共面，那么我們只需要證明它們坐標(biāo)構(gòu)成的行列式的值為零即可.由于三向量共面的充要條件是存在不全為零的數(shù)使得可得整理得 由此可得因?yàn)椴蝗珵榱?，視如關(guān)于的三元一次方程組有解其系數(shù)行列式即：三向量共面的充要條件是3.2空間兩直線相關(guān)位置關(guān)系的判定空間兩直線的位置關(guān)系有異面與共面，而在共面中又有相交、平行、重合三種情況.設(shè)兩直線這里的直線是由點(diǎn)與向量決定的，是由點(diǎn)與向量決定的.空間兩直線的相關(guān)

14、位置有以下幾種情況：（1） 異面（2） 共面 相交 平行 重合 3.3 行列式在直線一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化中的應(yīng)用設(shè)兩個(gè)平面的交線的方程為且，即方程組得系數(shù)行列式不全為零，我們令為直線上一點(diǎn)，則就是直線的一個(gè)方向向量，于是得直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例3.5 化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程.解 因?yàn)橹本€的方向向量為設(shè)，解得，那么為直線上一點(diǎn)，所以直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為3.4用矩陣解決線面位置關(guān)系直線和平面有三種位置關(guān)系：相交、平行、直線在平面上.利用代數(shù)方法來刻畫這三種位置關(guān)系同樣可以使解析幾何的有關(guān)問題大大的簡(jiǎn)化.定理3.6 直線 其中,與平面的位置關(guān)系：(1) 相交(2) 平行(3) 直線在平面上.這里 ，

15、. 證明 直線與平面的位置關(guān)系取決于線性方程組的解的情況.記這個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為與，則，.(1) 當(dāng)時(shí)，只有一種情況.此時(shí)線性方程組有唯一解.這表明直線與平面相交.(2) 當(dāng)時(shí)，有兩種情況：情況 ，此時(shí)線性方程組無解，即直線與平面無交點(diǎn)，這表明直線與平面平行.情況 ，此時(shí)線性方程組有無數(shù)多個(gè)解，即直線與平面有無窮多個(gè)交點(diǎn).這表明直線在平面上.例3.6 判別直線與平面的相關(guān)位置.解 所以，根據(jù)定理3.6可知直線在平面上例3.7 求過點(diǎn)而與直線和平行的平面方程.解 因?yàn)樗笃矫孢^點(diǎn)，設(shè)所求平面的法向量則根據(jù)平面的直線方程得即.因?yàn)槠矫媾c直線平行，我們根據(jù)定理3.6可知線性方程組

16、無解.即，又因?yàn)橛?，得? 又因?yàn)槠矫媾c直線平行，根據(jù)定理2.3可知線性方程組無解.即，.得，. 與聯(lián)立得，解方程組得：.故所求平面方程為.4.1 多項(xiàng)式恒等定理在解析幾何中的應(yīng)用設(shè)有關(guān)于的多項(xiàng)式對(duì)所有恒成立的充要條件是特別地，的充要條件是所有的這就是多項(xiàng)式恒等定理。靈活地運(yùn)用這個(gè)定理，可以解決解析幾何中的一些曲線過定點(diǎn)的問題，求公切線方程等問題。例1、證明直線必過定點(diǎn).將方程構(gòu)成關(guān)于的恒等式形式則其成立的充要條件是 得定點(diǎn)，即為所求.例2、設(shè)為非零實(shí)數(shù)，證明曲線恒過梁定點(diǎn)并求出定點(diǎn)坐標(biāo).證明：將方程構(gòu)成關(guān)于的恒等式對(duì)于非零實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是 解得即所給拋物線恒過定點(diǎn)4.3 柯西不等式在解

17、析幾何中的應(yīng)用柯西不等式：設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)或存在一個(gè)數(shù)，使得時(shí)，等號(hào)成立。柯西不等式具有對(duì)稱和諧的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用關(guān)鍵在于構(gòu)造兩組，進(jìn)行合理的變形，找準(zhǔn)解決問題的方向，柯西不等式不僅形式優(yōu)美，而且應(yīng)用非常廣泛，不但可以解決代數(shù)中重要不等式問題，而且還能解決幾何中有關(guān)問題.下面有例子來體現(xiàn).例5、已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線.證明: 設(shè)是上任意一點(diǎn)，則，顯然，的最小值是點(diǎn)到直線的距離，有柯西不等式，得即故點(diǎn)到直線的距離是.例6、實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值與最小值的和等于多少？解：設(shè)，由柯西不等式得，即的最大值與最小值分別為，的最大值與最小值的和等于24.例7、若實(shí)數(shù)適合方程，那么代數(shù)式的取值范圍是多少？解： 設(shè)，則，因?yàn)闈M足，所以由柯西不等式，得，即，解得，即代數(shù)式的取值范圍是.例8、由向曲線作切線，切線方程為？解： 設(shè)切線方程為，曲線方程.可化為：由柯西不等式，得即,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故切線方程為.參 考 文 獻(xiàn)1     王仁發(fā) .高等代數(shù)與解析幾何M . 北京 :高等教育出版社.2     陳志杰. 高等代數(shù)與解析幾何M . 北京: