高等數(shù)學定積分全部

1、第六章 定積分第一節(jié) 概念及性質(zhì)一.定積分問題舉例1.引例1.曲邊梯形的面積引：在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會遇到丈量土地面積的問題.在工廠中，又會遇到計算生產(chǎn)材料的面積問題.如果所遇到的需要計算面積的圖形（見圖1）是不規(guī)則的，人們一般采用分割法.（1）曲邊梯形的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間上非負、連續(xù)，由直線及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形，其中曲線稱為曲邊.（2）求曲邊梯形的面積.第一步（分割）：在內(nèi)任意插入個分點：，把分成n個小區(qū)間.第個小區(qū)間記為：，同時也代表第i個小區(qū)間的長度(),則.第二步 （代替）：注意到由于是連續(xù)函數(shù)，只要劃分足夠細，每個小曲邊梯形的高在對應(yīng)的小區(qū)間上可近似看作不變，即可以任取一點

2、，以的值作為的高.則這時的小曲邊梯形可近似看作小矩形. 所以，.第三步（求和）：.第四步（取極限）：為精確值，要求把無限地細分下去，即要使每一個小區(qū)間的長度都趨于零.這時，所有窄矩形的面積之和的極限可定義為曲邊梯形的面積.記，則.2.引例2.求變速直線運動的路程. 設(shè)某物體做直線運動，已知速度是時間間隔上t的連續(xù)函數(shù)，且.試計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程，其中. 注意：上述兩個引例的背景相差很大，但兩問題的最終解決卻都歸結(jié)為求一個特殊和式的極限.這種極限的得到可歸納為九個字思想：分割、代替、求和、取極限，而最終是要求一個特殊形式的和式的極限。為此，引入定積分的概念。二.定積分定義及其幾何意義

3、 1.定義1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入n-1個分點：，把分成n個小區(qū)間.在每一個小區(qū)間上任取一點，做乘積，求和，令.如果當時，無論對如何劃分，也無論如何選取，總存在而且相等，則稱為函數(shù)在上可積，并稱為在上的黎曼（Riemann）積分，簡稱定積分，記為.分別稱為積分的下、上限.注意：（1）用定義應(yīng)怎樣敘述？ 如果對于總使無論對如何劃分，也無論如何選取，只要，就有，則稱為在上的定積分； （2）； （3） ，稱為積分和式，問積分和式（a）與被積函數(shù)有關(guān)嗎？（b）與被積區(qū)間有關(guān)嗎？ (c)和被積區(qū)間的劃分有關(guān)嗎？(d)與點的選取有關(guān)嗎？（4）（a）與被積函數(shù)有關(guān)嗎？（b）與被積區(qū)間有關(guān)嗎？ (

4、c)和被積區(qū)間的劃分有關(guān)嗎？ (d)與點的選取有關(guān)嗎？（5）定積分與積分變量的記號無關(guān).（6）問與等價嗎？（一般說不行，但在等分時可以）（7）注意：定積分的定義中并不要求在區(qū)間上非負、連續(xù).（8）定積分的幾何意義-曲邊梯形面積的代數(shù)和.例1.利用定積分的幾何意義計算： （1）； （2）； （3）.三.定積分的存在性1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則一定存在；2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，且只有有限個第一類間斷點，則一定存在.例2.根據(jù)定積分的定義計算. 注意到：，而說明就此例來說，可通過先求不定積分得到原函數(shù)，然后，對原函數(shù)再代入上、下限做差的辦法求出定積分的值那么，是否對任何的定積分都可用此法來求解？我們

5、這里暫且不講，放在后面再講。我們僅指出：這種方法是可行的，而且絕大多數(shù)定積分是用此法算出來的.即，此公式稱做牛萊公式，又叫做微積分基本公式.我們將在以后給以證明，這里允許大家提前用.例3求解：例4求注意：屬廣義積分，其求法以后再講.四定積分的性質(zhì)1兩點補充規(guī)定：（1）；（2）2.定積分的性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.推論：.性質(zhì)3.如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)，則.證明：因為函數(shù) 存在，所以不論把怎樣分，積分和的極限總是不變的.因此，可在劃分區(qū)間時，使c永遠是一個分點，那么上的積分和等于上的積分和加上上的積分和.記為：=.令，上式兩端同時取極限，即得

6、：.注意：(1)性質(zhì)3稱為定積分對積分區(qū)間具有可加性；(2)其實，無論 相對位置如何，總有等式 成立。比如：，由于=.性質(zhì)4.性質(zhì)5.（比較性質(zhì)）.如果在區(qū)間上，則.證明：因為，所以，又由于， 因此，.令，即可得要證的不等式.推論1.如果在區(qū)間上，則.推論2.性質(zhì)6.設(shè)分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則.證明：因為，所以由性質(zhì)5之推論1，可得：.注意：（1）性質(zhì)6又稱估值定理。利用這個性質(zhì)，可以估計積分值的范圍； （2）當時，性質(zhì)6的幾何意義是：以曲線為頂、以為底的曲邊梯形的面積介于以m及M為高且有共同底的兩矩形的面積之間（作圖）.性質(zhì)7.（積分中值定理）如在區(qū)間上連續(xù)，則在上至少有一點，

7、使：。證明：因為在區(qū)間上連續(xù)，所以必可在區(qū)間上取到最小值m及最大值M.由性質(zhì)6，得： 上式兩邊同除以得：，所以，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，知：在上至少有一點，使：，即.注：（1）只要在區(qū)間上不恒為常數(shù)，性質(zhì)7中的必落在的內(nèi)部； （2）此定理的幾何意義是：在上至少有一點，使得以以曲線為頂、以為底的曲邊梯形的面積等于同底而高為的矩形的面積. （3）稱為函數(shù)在區(qū)間上的積分平均值.推廣的積分中值定理 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間上不變號，則在上至少有一點，使：。證明：因為在區(qū)間上連續(xù)，所以必可在區(qū)間上取到最小值m及最大值M.即 （1）由于在區(qū)間上不變號，故或者 總之， 總介于與之間，故總介于在區(qū)間上的

8、最小值m及最大值M之間，因此由性質(zhì)6，得： 在上至少有一點，使：，即.例5估值解： 令.，令. 所以，設(shè)分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值. 因此，所以，.例6比較與的大、小.解：令. 則，所以，在單調(diào)增加.因此，.由性質(zhì)5，知：.例7設(shè)在上且連續(xù)，又則在上.證明：（反證法）設(shè)，不妨設(shè)在處不等于0，即. 又因為連續(xù)，所以，根據(jù)函數(shù)極限的保號性定理：，當時，有.于是，.所以，.例8求解：.例9.證明積分第二中值定理設(shè)在上可積，而在單調(diào)，那么在存在，使得 （1）特別地，如果在單調(diào)上升，且，那么有，使得 （2）如果在單調(diào)減少，且，那么有，使得 （3）證明：由假定都在上可積，因而在上可積。（一）先在非

9、負、單調(diào)增加的假定下證明（2）式成立，再推出一般情形下的（1）式成立。 在上取一列分點記是在區(qū)間上的幅度.即 （4）把所討論的積分做如下改變（記作） （5）因為在上有界： （6）估計 由于可積，所以當時，；因此從而 （7）記 （8）那么 在上連續(xù)的函數(shù)，必有最大值和最小值，顯然有 （9）（因為（8）其中（9）由于在上非負、單調(diào)增加，故由（9）式所以即 （10）（10）兩邊令得 因此存在介于之間，使 （11）因為在上連續(xù)，由介值定理，知存在使從而（11）式變成，即（2）式獲證。在非負、單調(diào)減少的假定下證明（3）式成立的方法與在非負、單調(diào)增加的假定下證明（2）的證明相仿.（二）在是一般單調(diào)增加情形

10、下，即只要求單調(diào)增加（未必非負）時令則單調(diào)增加，且，因此在上滿足（一）的條件，故由（2）式，得，即，也就是因此在是一般單調(diào)減少情形下，即只要求單調(diào)減少（未必非負）時，可應(yīng)用（3）式，模仿上述的處理方法，證明（1）成立.附錄：三.定積分存在的充分必要條件 現(xiàn)在我們從理論上來研究一個函數(shù)在某一個區(qū)間上定積分存在的充分必要條件。為此，我們首先要引進兩個輔助的和數(shù)，即達布上和與達布下和.由于可積函數(shù)必定有界，故我們只討論有界函數(shù).定義1：設(shè)在上有界，對的任一分法設(shè)和分別為在部分區(qū)間在上的上、確界，即作和數(shù) 它們分別稱為對于這一分法的達布上和與達布下和，簡稱上和與下和.上（下）和具有以下幾個重要的性質(zhì)性

11、質(zhì)1對于一個固定的分法，有證明：僅證 首先，固定分法，對于任意的取法有，故 其次，對于任給的恒可取使從而可找到一種取法，使其對應(yīng)的所以，由上確界的定義知，性質(zhì)2 設(shè)是由添加有限個分點而成，則（上和不增，下和不減）.證明：僅就添加一個分點的情形證之.設(shè)在分法中加入一個新分點而成（設(shè)位于中），顯然其中，由于，故有，即.類似地，可證性質(zhì)3 對于任何兩個分法，有（任一個下和都不超過任一個上和）證明：將兩分法的所有分點合并在一起，作為一個新的分法，記作.由性質(zhì)2，知但故得定理1.設(shè)在上有界，則在上可積的必要充分條件是：對于任意的固定的分法，都有其中，表示在區(qū)間上的振幅.證明：（一）必要性設(shè)在上可積，即，

12、其中為有限數(shù).任給，存在使當時，恒有即對于固定的分法，取的上確界和下確界，由性質(zhì)1，得故因此，（二）充分性。假定由性質(zhì)3，知一切下和有上界，一切上和有下界，且這里由于對任何分法有，故由式，即得令此公共值為由于任何分法，有 故由此，根據(jù)即得，故在上可積. 利用定理1，我們可證明以下三類重要函數(shù)是可積的.定理2 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，則在必可積.證明：因為在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上一致連續(xù).故使當，時，恒有 （1）現(xiàn)設(shè)是任一滿足的分法。根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理知，必分別在中某兩點處達到，即但注意到，故由（1）式， （2）因此，對于分法，有故由定理1知，在可積.定理3. 設(shè)函數(shù)在有界，且只有有限個間

13、斷點，則在必可積。證明：可先就只有一個間斷點的情形證之，一般情況可類似證明。 任給令，其中表示在上的振幅，即今將分為三個閉區(qū)間：由于在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，于是使當，時，恒有 （1）同樣，由于在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，于是使當時，恒有 （2）現(xiàn)令則對于滿足的任意分法，可分成兩個部分：.其中第一部分對應(yīng)的諸區(qū)間都完全屬于或；第二部分對應(yīng)的諸區(qū)間都完全屬于或部分屬于.于是有故第六章 定積分 第二節(jié) 微積分基本公式一.積分上限函數(shù)1.定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則對于，定積分存在，它是上限的函數(shù)，記作，稱作積分上限函數(shù).完全類似，可定義積分下限函數(shù).二.微積分基本定理定理1.如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分

14、上限函數(shù)在區(qū)間上具有導數(shù)，且.證明： =（在與之間）所以，.例1.設(shè)求.解：，所以，例2.設(shè)求.解：所以，所以.例3.求解：.注意：一般地，.例4.求.例5.三.牛萊公式定理2.如果是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則.證明：設(shè)，則，所以，.（*） （*）中令，所以，-（1） （*）中再令-（2） 所以，.例6求例7求例8.求.例9.假設(shè)在上是正值連續(xù)函數(shù)，試求的極小值.解：， 所以， 令在處不可導.經(jīng)判定：在處取得極小值.例10.假設(shè)對于所有的實數(shù)，連續(xù)函數(shù)滿足方程，求及常數(shù)C.解：方程兩邊對求導： 在原方程中，令則，所以.例11.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，.試證：.證明：-（1）上式中的分子-（2）

15、又因為，所以在上單調(diào)減少，故，所以，.例12.證明：證明：因為所以，所以：.例12.設(shè)函數(shù)在上可微分，證明： 證明：令，。 （1） 則 （2）注意到，由 知 （3）又令，.因為故，所以，因此在上單調(diào)增加，即也就是說，。上述證明的方法稱作母函數(shù)法.第六章 定積分第三節(jié) 換元積分法與分部積分法直接利用微積分基本公式計算定積分的前提是可以先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后再代入上、下限求值，但在許多情況下，這樣計算比較復雜；甚至有時原函數(shù)根本不能用積分法的一般法則求出來，也就無法直接引用微積分基本公式.為了進一步解決定積分的計算問題，考慮到不定積分的基本方法是換元積分法和分部積分法，這就啟發(fā)我們能否直接將

16、這兩種方法用到定積分的計算上來？回答是肯定的.一.換元積分法定理1.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足條件： （1）在或上是單值的且有連續(xù)導數(shù)； （2）當t在或上變化時，在上變化； （3）.則有：（相當于不定積分中的第二換元法）.證明：因為在上連續(xù)，所以存在. 設(shè)，則（1） 可以肯定是的原函數(shù)，于是：（2）由（1）、（2）兩式知，換元公式成立.注意：（1）換元公式中要求下限小于上限，其實，這是不必要的；（2）公式也可以反過來用：；（相當與不定積分法中的第一換元法）.例1.求 或換一種寫法：（3）被積函數(shù)開方時要注意積分區(qū)間；例2.解一：其實，上述解法是錯誤的.正確解法是（4）在運用換元公式時，要滿足換元的

17、條件，否則可能會出錯.反例： （1）解一：.解二：.（解二是錯的，因為不是單值函數(shù).）（2）解一：解二：（倒代換）（解二是錯的，因為在x=0處不連續(xù).（3）如果用代換，再用換元公式，顯然不行？因為不滿足條件（3）.二.對稱區(qū)間上的函數(shù)與周期函數(shù)積分1.特別地：（1）（2）0，為奇. 2.設(shè)函數(shù)是以T為周期的函數(shù)，則：.（即結(jié)果與無關(guān)） 3.兩個重要結(jié)論： （1）（令即可）.例3.求 （2）（令即可）。例4.求例5.設(shè)求.解：（1）所以，.例6設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)不增，證明：對于都有；解：例7設(shè)求解：三定積分的分部積分法1分部積分公式：.例8.求.例9.例10設(shè)函數(shù)在上具有三階連續(xù)導數(shù)，且有求.

18、解： =例11證明一個重要的遞推公式 =.證：= 所以，（這個等式叫做關(guān)于下標的遞推公式）故（n為偶），而；，而.所以：.例12求解：=。例13求第六章 定積分第四節(jié) 廣義積分 在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分，它們已經(jīng)不屬于前面所說的定積分，因此，我們需要對定積分作兩種推廣，從而形成了廣義積分的概念.一. 無窮區(qū)間上的廣義積分 1.引例1.求下述廣義曲邊梯形的面積.（1）由曲線，及軸、y軸所圍成的圖形的面積（作圖）解：（2）由曲線，及軸、y軸所圍成的圖形的面積（作圖）解：.2定義1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取.如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義

19、積分，記作.即：（1）這時，也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分就沒有意義，習慣上稱為廣義積分發(fā)散.定義2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取.如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作.即：（2）這時，也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分就沒有意義，習慣上稱為廣義積分發(fā)散.定義3.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果廣義積 和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作： .-（3）這時，也稱廣義積分收斂；否則，就稱發(fā)散.上述定義的三種廣義積分統(tǒng)稱無窮限的廣義積分.例1 求注意：表面上是代入上、下限作差，其實，這里的上限值是函數(shù)的極限。上題

20、中每一步都要帶上極限號，太過麻煩了，因此，我們借鑒牛-萊公式的格式，介紹一種簡單的寫法.例1的另一寫法：例2求不存在！例3求（.解：（1）當時，； （2）當時，； （3）當時，.總之，例4.求， 由于，所以，發(fā)散！注意：（1）沒有必要再計算，即可斷定發(fā)散?。?）如果這樣做則是錯的，請同學們務(wù)必要小心：因為是奇函數(shù)，所以原式=0.例5.利用遞推公式計算解：注意：關(guān)于噶瑪函數(shù)有一個著名的余元公式：3無窮限廣義積分的審斂法 廣義積分的斂、散性，可以通過求被積函數(shù)的原函數(shù)，然后按定義取極限，根據(jù)極限是否存在來判定，但這種方法很麻煩，有時甚至是行不通的。下面我們研究不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分斂散

21、性的方法。定理1。設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且若函數(shù)在上有界，則廣義積分收斂。定理2。（比較審斂準則）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。（1）若且收斂，則也收斂 ；（2）若且發(fā)散，則也發(fā)散 。二.無界函數(shù)的廣義積分1.引例2.求下述廣義曲邊梯形的面積.（1）由曲線，軸、y軸及直線所圍成的圖形的面積（作圖）解： （2）由曲線，軸、y軸及直線所圍成的圖形的面積（作圖）.解：2.定義4.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而在點的右鄰域內(nèi)無界.取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作.即：（4）這時，也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分就沒有意義，習慣上稱為廣義積分發(fā)散.定義5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上

22、連續(xù)，而在點的左鄰域內(nèi)無界.取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作.即：（5）這時，也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，則稱為廣義積分發(fā)散.定義6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上除點外連續(xù)，而在點鄰域內(nèi)無界.如果兩個廣義積分和都存在，則定義=+.-（6）否則，稱為廣義積分發(fā)散。例6討論斂、散性解： .例7討論的斂、散性解：被積函數(shù)在積分區(qū)間上除外連續(xù)且. 由于，即發(fā)散，所以，發(fā)散.例8討論的斂、散性.（其中，為常數(shù)）.解:(1)，時；(2)；（3）時，；總之，例9求由曲線和它的漸進線所圍成的面積S.解：3.貝塔函數(shù) （1） 在積分中有兩個參數(shù)，因為點0和1都有可能是奇點，所以要把它分成兩

23、個積分來討論其斂散性。即 （*）當時（1）.由于，在（*）式右端第一個積分中，0可能是奇點，又因為故根據(jù)柯西判別法，知道右端第二個積分也收斂，從而收斂。（2）.由于，在（*）式右端第二個積分中，1可能是奇點，又因為當時，（*）式右端第一個積分中，0是奇點，因為故根據(jù)柯西判別法，知道右端第一個積分發(fā)散；同理可知，當時，右端第二個積分發(fā)散；從而發(fā)散。（2）定義 稱函數(shù)為貝塔函數(shù)?？勺C貝塔函數(shù)有下述主要性質(zhì)： 綜合上述討論知道：當時，收斂；其他情況下均發(fā)散。雜例1.證明柯西不等式：（書p154.7） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，則證明：令 則. 所以， 即：雜例2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的導數(shù)且，證明：（書p

24、161,14）證明：所以，雜例3.證明：瓦里斯(Wallis)證明：設(shè)對于任意正整數(shù)n,由于-（1） 所以，-（2） 從而，-（3）注意到：，-（4）-（5）所以，(因為（2）式) .故，由夾逼準則知：雜例4.求概率積分B=的值.解：（一）（）由不等式. 故(令) -（1）（）由麥克勞林展開式. 故(令) （2） 總之，對-（3）（二）.由（3）式：（4） 其中，（5）（6）（7）所以，（8）（8）式兩邊平方：左=（瓦里斯）.右= =（9）所以，由夾逼準則：，所以B=雜例5.求概率積分的值.解：（令），則雜例6.求概率積分的值.解：雜例7.求積分的值.解：雜例8.求積分的值.解：令則于是第六章

25、 定積分第五節(jié) 定積分的近似計算 在應(yīng)用上，時常遇到下列情況：（1）要求的數(shù)值，但不定積分“積不出來”，即不能用初等函數(shù)來表達，因而沒法用積分學基本公式來計算。對這類定積分，只能用近似方法求出其近似值。（2）實際問題中出現(xiàn)的函數(shù)常用列表法表示，即由一串實驗數(shù)據(jù)（或測量數(shù)據(jù)）給出，對這類函數(shù)無法求其原函數(shù)，只能求其積分的近似值。（3）有時的原函數(shù)雖然能用初等函數(shù)表達，但很復雜，計算很麻煩，反而不如采用近似計算簡單有效。并且，從應(yīng)用問題來講，往往不要求知道的精確值，而只要求知道它的具有一定精確度的近似值。 基于上述原因，定積分的近似計算已經(jīng)成為應(yīng)用定積分解決實際問題時幾乎不可缺少的步驟。定積分的近

26、似計算方法的基本思想是根據(jù)定積分代表曲邊梯形面積這一幾何意義，找出求面積的種種近似方法。本節(jié)介紹兩種常用的方法：梯形法與拋物線法。一。梯形法1。梯形法計算定積分的近似公式 定積分代表曲邊梯形面積，將分成等分，設(shè)分點為于是每一等分的長度為為，令在分點上的函數(shù)值為，過曲線上相鄰兩點作弦得到個小梯形面積之和就是的一個近似值，故得即 （1）在實際應(yīng)用中，我們還經(jīng)常需要知道這個近似值來代替所求積分所 產(chǎn)生的誤差，為此，我們先證明下述引理.2。引理 設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的二階導數(shù)，則在內(nèi)必存在一點，使 （2）證明：若表示連接曲線兩端的弦，于是因而 （3）（因為就表示以為底，以為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e，而在這里，曲

27、邊梯形其實就是正兒八經(jīng)的梯形）。若令并對固定的，考慮 （4）顯然及 （5）由于在區(qū)間上有連續(xù)的二階導數(shù)，因而在上可對應(yīng)用羅爾定理，然后再對應(yīng)用羅爾定理，即可證明必然在內(nèi)某點等于零，所以因而 也就是 （6） 即 （7）注意在上不變號，又在上連續(xù)，由積分值定理，上述等式右端積分為因而引理證明完畢。 第六章 定積分 第六節(jié) 定積分的應(yīng)用一元素法首先介紹一下定積分應(yīng)用的一個核心思想：元素法 一般地，如果某一實際問題中所求的量符合下列條件：（1）與變量的變化區(qū)間有關(guān)；（2）對區(qū)間具有可加性；（3）在代表區(qū)間上的部分量可近似表示為那么所求量并稱為所求量的元素，記為二平面圖形的面積記住幾個常用求面積公式（1

28、）軸上的曲邊梯形的面積（2）軸上的曲邊梯形的面積例1.計算由曲線所圍成平面圖形的面積.解：例2.計算由曲線所圍成平面圖形的面積.解：由，故兩曲線的交點為若以為積分變量，則若以為積分變量，則例3.求橢圓的面積.例4.求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成的平面圖形的面積最小.解：設(shè)上任意一點，則過點的切線方程為，即則令得當時，當時，所以，當時，為最小值。此時，所求切線方程為 下面再舉一個參數(shù)方程下求面積的例子.例5.求星形線所圍成的面積.解：極坐標下求平面圖形的面積一般不會出題，不過還是應(yīng)該提一提，畢竟這個知識點大綱是要求了解的.首先要記住曲邊扇形的面積公式例6.求曲線所圍成的平面圖形（圓

29、）的面積。解：所求平面圖形的面積為例7.求曲線所圍成的平面圖形的公共部分的面積.解：三旋轉(zhuǎn)體的體積用定積分所能直接計算其體積的立體僅限于旋轉(zhuǎn)體和平行截面面積已知的立體.先回顧三個經(jīng)典公式：（1）由軸上的曲邊梯形（即由曲線所圍成的平面圖形）繞軸旋轉(zhuǎn)，；（2）由軸上的曲邊梯形（即由曲線所圍成的平面圖形）繞軸旋轉(zhuǎn)，；（3）由軸上的曲邊梯形（即由曲線所圍成的平面圖形）繞軸旋轉(zhuǎn)，.例8.求曲線與所圍成的圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解：（一）繞軸（二）繞軸例9.證明半徑為高為的球缺的體積為證明：例10.求圓盤繞旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.解：方法一（選為積分變量） 右半圓 左半圓 取 上的體積元素

30、故方法二（選為積分變量）. 取 上的體積元素故例11.設(shè)拋物線過原點，當時，又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為使確定使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小。（研89）解：拋物線過原點，則又由題意有，即令得當時，當時，所以，是唯一的極小值點。所以， ，旋轉(zhuǎn)體的體積最小.下面舉一個平行截面面積已知的立體的體積的求法.例12.一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心，并與底面成角，如圖所示。計算該平面截圓柱體所得立體的體積。解：取這個平面與圓柱體的底面的交線為軸，底面上過圓心且垂直于軸的直線為軸，那么，底面圓的方程為立體中過點且垂直于軸的截面是一個直角三角形，它的兩條直角邊的邊長分別為 從而截面

31、面積函數(shù)為故四 平面曲線弧的弧長根據(jù)不同的坐標系,可分為以下三種計算公式(一) 在直角坐標系下 1.設(shè)曲線方程為,則2.設(shè)曲線方程為,則例13計算曲線上相應(yīng)于的一段弧的長度.解:例14求曲線的長度.解:(二)在參數(shù)方程下設(shè)曲線的參數(shù)方程為(三).在極坐標系下設(shè)曲線方程為則例15.求星形線的長度.解:所以,例16.證明橢圓的弧長等于正弦曲線的一波之長.其中.解:橢圓的參數(shù)方程為. 橢圓的弧長正弦曲線的一波之長為(令)(令)(令).例17.求心形線的長度.解:例18.求由星形線繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.解:由于曲線關(guān)于對稱,只需考慮的一段曲線. 任取曲線上的一微元,端點坐標.它到直線的距離

32、是曲線微元的弧長因此曲線微元繞直線旋轉(zhuǎn)所得的曲面微元的面積為例19.求由星形線繞直線軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.解:五.定積分的簡單物理應(yīng)用(一)轉(zhuǎn)動慣量 有些機器上裝有飛輪.正在轉(zhuǎn)動的飛輪,一旦切斷機器的動力電源,它不會立即停止轉(zhuǎn)動.轉(zhuǎn)動物體的這種能夠保持原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)的性質(zhì),稱為轉(zhuǎn)動慣量. 我們知道,一個平動物體的動能等于.現(xiàn)在假設(shè)有質(zhì)量為的質(zhì)點繞固定軸旋轉(zhuǎn),若它離轉(zhuǎn)軸的垂直距離為,轉(zhuǎn)動的角速度為,則它轉(zhuǎn)動時的動能為把它與物體平動時的動能公式做對比,相當于平動時的速度,而就相當于平等物體的質(zhì)量.因此用定義轉(zhuǎn)動質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量.(單位:千克.米).例7.設(shè)有個質(zhì)量均勻分布的飛輪,半徑為,厚度為

33、,體密度為.求它繞中心轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量.解:要解決這個問題,不能直接套用公式因為半徑不同的圓周上的點的轉(zhuǎn)動慣量是不相等的.為此,我們設(shè)想把飛輪分成一個套一個的園環(huán).當每個園環(huán)的寬度很小時,可以近似認為同一個園環(huán)上的各點都處在同提個圓周上.故相應(yīng)于上的這個園環(huán)上的轉(zhuǎn)動慣量近似等于于是得,)(其中,為飛輪總質(zhì)量).計算結(jié)果說明,均勻飛輪的轉(zhuǎn)動慣量等于全部質(zhì)量集中到飛輪邊沿時轉(zhuǎn)動慣量的一半.例20.設(shè)有一根細直棒長為,橫截面為,體密度為常數(shù)).求它對通過端點且垂直于的軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:如圖建立坐標系,以為坐標原點,為軸,為軸,在上任取一小段,則該小段的質(zhì)量為當很小時,可以近似認為小塊對軸的距離為,從

34、而小塊對軸的轉(zhuǎn)動慣量為.故.由元素法的思想,繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為(二)變力沿直線做功例21.用鐵錘將一鐵釘擊入木板.設(shè)木板對鐵釘之阻力與鐵釘進入木板之深度成正比.在鐵釘被擊第一次時,能將鐵釘擊入木板1厘米.如果鐵錘每次打擊木板時所做的功相等,問鐵錘擊第二次時,釘又進多少?解:設(shè)釘進入木板之深度為,則(為比例常數(shù)). 鐵錘擊第一次時所作的功設(shè)鐵錘擊第二次時,釘進入木板的總深度為,則鐵錘擊第一次時所作的功由題設(shè),故因此鐵錘擊第二次時,釘又進(三)壓力由物理學知識,水深為處的壓強為,其中為水的密度.(或,其中為水的比重.)如圖,如果有一面積為的平板水平放置在水深為處,那么平板一側(cè)所受的水壓力為但,如果平

35、板垂直放置在水中,由于水深不同的點處壓強不相等,平板一側(cè)所受的水壓力就不能用上述方法去求.請看下例.例22.一個橫放著的援助形水桶,桶內(nèi)盛有半桶水,設(shè)桶的底半徑為,水的比重為,計算桶的一個端面所受的壓力.解:桶的一個端面是圓片,所以現(xiàn)在要計算的是當水平面通過圓心時,垂直放置的一個半圓片的一側(cè)所受到的壓力. 如圖所示,在這個圓片上取過圓心且垂直向下的直線為軸,過圓心的水平直線為軸.對此坐標系來說,所討論的半圓方程為.(右半圓).取為積分變量,它的變化區(qū)間為設(shè)為上任一小區(qū)間,半圓上相應(yīng)于上窄條上各點處的壓強近似于這窄條的面積近似等于.因此,這窄條一側(cè)所受到壓力近似為于是所受到的壓力為例23.設(shè)有一

36、個等腰梯形閘門,上底為2,下底為1,高為3,較短的邊在下,垂直立于水中,露出水面1時,求水閘對閘門的壓力.解:如圖所師,建立坐標系,使閘門的上沿為軸(其方向向右),閘門的中線為軸(其方向向下.).則右腰的直線方程為(該直線過點 在水深為處,介于之間的梯形小塊所承受的壓力的微分為(其中,梯形小塊的面積,梯形小塊所受壓強為.所以(牛)(其中)(四)引力例24.設(shè)棍長為其線密度為常量.距棍右端延長線上處有一質(zhì)量為的質(zhì)點,求棍子對該質(zhì)點的引力解:建立如圖所示的坐標系(以棍子的左端點為原點,棍子所在直線為軸)故例25.長為,質(zhì)量為的均勻棍子,如圖所示.今將點處)的一質(zhì)量為的質(zhì)點移動到.求克服引力所做的功

37、.解:所以例26.設(shè)有一長為的均勻細棒,線密度為,求細棒對位于其一端垂直上方、距離為、質(zhì)量為的質(zhì)點的引力.解:建立坐標系.在細棒處任取一小段,則該小段的質(zhì)量為.于是對質(zhì)點的引力微元的大小為.它的兩個分量分別為因此整個細棒的對質(zhì)點的引力的兩個分量為 (五)函數(shù)平均值 在實際問題中,常常用一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值來描述這組數(shù)據(jù)的概貌.然而,有時還需要考慮一個連續(xù)函數(shù)在上所取得的一切值的平均值.例如,求氣溫在一晝夜間的平均溫度.下面就討論如何規(guī)定及計算連續(xù)函數(shù)在上的平均值.1.先把分成等份,設(shè)分點為每個小區(qū)間的長度為2,設(shè)在分點處的的函數(shù)值依次為的平均值來近似表達函數(shù)在上所取得的一切值的平均值. 顯然,

38、如果比較大,上述平均值就能比較確切地表達在上所取得的一切值的平均值.為此,稱為函數(shù)在上的平均值.3.現(xiàn)在這就是說連續(xù)函數(shù)在上的平均值,等于函數(shù)在上的定積分除以區(qū)間的長度,定積分中值定理中的就是在上的平均值.例27.計算純電阻電路中正弦交流電在一個周期上的功率的平均值(簡稱平均功率).解:設(shè)電路的電阻為,那么這電路中電壓而功率 因此在長度為一個周期上的平均值為這就是說,純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電流、電壓的峰值的乘積的一半.(六)均方根非恒定電流(如正弦交流電)是隨時間的變化而變化的,那么為什么一般使用的非恒定電流的電器上卻標明著確定的電流值?原來這些電器上標明的電流值都是一種特定的平

39、均值,習慣上稱為有效值. 周期性非恒定電流(如正弦交流電)的有效值規(guī)定如下:當在它的一個周期內(nèi)在負載電阻上消耗的平均功率等于固定值的恒定電流在上消耗的功率時,稱這個值為的有效值.固定值的恒定電流在上消耗的功率為;非恒定電流在上消耗的功率為,它在上的平均值為從而故特別地,對于正弦交流電,有效值為這就是說,正弦交流電的有效值是它峰值的注意:我們把稱作在上的均方根.本章難題解答1（P202,第2題）證明：若函數(shù)在區(qū)間上都可積，則有柯西不等式證明：令則.所以，即：也就是2（P202,第3題）利用積分求極限：解：3（P208,第2題）證明下面的不等式：（1） （2）解：（1）令.因為為單調(diào)增加的函數(shù)，故

40、，即所以由定積分的單調(diào)性有：（2）令.因為為單調(diào)減少的函數(shù)，故，即所以由定積分的單調(diào)性有：4（P208,第3題）比較下面三個積分的大?。航猓海ㄗⅲ荷厦娴耐茖в玫搅瞬坏仁?，見第17題）所以，5（P208,第4題）設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上連續(xù)，證明其中等式成立當且僅當證明：由 （1）立得.又，由于被積函數(shù)，故只有當，即時（1）式中等式才成立.6（P209,第5題）設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間上都不是恒等于零的連續(xù)函.若沒有常數(shù)，使或證明（柯西嚴格積分不等式）其中等式成立當且僅當證明：因為不存在常數(shù)，使，即且由于不恒等于零，故對于任意實數(shù)，有 （1）又注意到在閉區(qū)間上都不是恒等于零，故 （2）所以關(guān)于的二次三項式的判別

41、式即：也就是7（P209,第6題）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微分，且證明：若導函數(shù)在區(qū)間上不恒等于零，則至少有一點使證明：（一）若導函數(shù)在區(qū)間上是無界的，則上述結(jié)論顯然成立；（二）導函數(shù)在區(qū)間上是有界的，令 （1）于是，根據(jù)微分中值定理，就有 （2）令 （3）則顯然有 （4）且不恒等于（因為函數(shù)在點處不可微，但函數(shù)在點處是可微的）.因此即 或 （5）于是，至少有一點使否則，假若對于任何的有則必有 （6）這與結(jié)論（5）是矛盾的.8（P210 ,第11）設(shè)在閉區(qū)間上為正值連續(xù)函數(shù).證明方程在內(nèi)僅有一根.證明：（一）令因為，所以在區(qū)間上嚴格單增.故方程在區(qū)間上至多有一個根.(二).因為所以，由根值定理知，方

42、程在區(qū)間上至少有一個根.綜合上述（一）、（二）知，方程在區(qū)間上有且僅有一個根.即方程在內(nèi)僅有一根.9.（P210 ,第12題）設(shè)為多項式。證明：可被整除.證明：令 則 （1）所以， （2）.所以， （3） + + +所以， （4）由上述的（1）（4）式知 可被整除.注意：上述證明中用到了高等代數(shù)中的一個重要結(jié)論：是多項式的重根據(jù)的充分條件是10.(P210 ,第13題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若是非負的增函數(shù)，證明函數(shù)在區(qū)間也是非負的增函數(shù).證明：（一） 在處 因為，故在處右連續(xù).（二）當時，（由積分中值理） （1）因為，且是非負的增函數(shù)，故 （2）（2）式表明在區(qū)間也是增函數(shù).又，當時，有.所以

43、在區(qū)間也是非負增函數(shù).11.(P215 ,第4題）證明：證明：（一）令因為被積函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，所以是常數(shù)。（二）（分部積分法） 12（P215 ,第5題）設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足積分方程證明證明：顯然所以 （1）考慮 （2）從而 （3）又因，知13.P215 ,第6題）設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù).證明：證明：對于任意的，設(shè)（因為 以為周期） （1） 從而 （2）因為 （3）當時，因此由夾逼準則知 （4）又注意到，即有界，故 （5）所以（因為（4）、（5）式）14.(219 ,第2題）設(shè)為連續(xù)函數(shù)。證明：證明：由分部積分公式15.(P219 ,第3題）設(shè)有連續(xù)函數(shù)滿足積分方程， （1）且求解：由于

44、（2）故（1）化為即 （3）（3）式兩邊關(guān)于求導，得：所以 （4）故 （5）又將代入（5）式，得所以 16.(P226 ,第1題）求曲線的弧長：（1）.對數(shù)曲線上點到點這一段；（2）.;（內(nèi)擺線或星形線）；（3）.（圓的漸開線）;(4).心形線 ；(5).阿基米德螺線解：（1）.（2）.星形線的參數(shù)方程為所以,由對稱性，知 （3）. 所以（4）.解:(5).解:注意：上述倒數(shù)第二步用到了積分公式：其推導如下：（兜圈子法）所以，完全類似，請同學們自己推導公式：17.(P226 ,第2題）證明：橢圓 的周長等于正弦曲線的一個最小周期的波線長度.證明：（一）根據(jù)參數(shù)方程表示的曲線的弧長的計算方法，橢

45、圓的周長 （1）（二）根據(jù)直角坐標方程所表示的曲線的計算方法，所給正弦曲線的一個最小周期的波線長度等于. （2）比較（1）、（2）兩式，知結(jié)論成立.18.(P227 ,第7題）在曲線上求一點，使該點處曲線的切線與兩個坐標軸圍成的三角形有最大面積，并求出這個面積.解：任取曲線上求一點則點處曲線的切線的斜率是。點處曲線的切線的方程是 （1）化為截距式即為： （2）與兩個坐標軸圍成的三角形的面積可表為 （3） 令 ，得 又因當時，；當時， 所以，當時，為最大值.19.(P228 ,第9題）求下列曲線圍成的面積（1）.（心形線）；（2）.（雙紐線）；（3）.（三葉線）；（4）.（笛卡兒葉形線）.（5）

46、.（三葉線）；解：（1）（2）.由，即，知由此得或，即或（3）.由，知，知，或，或，即，或，或（4）.將笛卡兒葉形線化為極坐標方程表示為 （1）于是 （2）當時，且當及時，。所以，從到，笛卡兒葉形線位于第一象限部分所圍成的面積，即為所求的面積（5）.由，知，即圖形分布在第一及第三象限。 化為極坐標方程表示為 （1） 故 （2）20.(P228 ,第10題）求下列圖形（繞軸與繞軸或某條直線）所形成旋轉(zhuǎn)體的體積：（4）曲線繞軸；（5）圓繞直線.解：（4）作移軸變換：則在新坐標系下曲線的方程為 所以，曲線繞軸所生成的立體，就相當于在新坐標系下曲線繞軸所生成的立體。在上取代表區(qū)間，對應(yīng)部分立體的體積所以，取故（5） 在上取代表