數(shù)學(xué)分析-Taylor公式與科學(xué)計算

1、編輯ppt Taylor公式與科學(xué)計算公式與科學(xué)計算 -從導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計算談起從導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計算談起 編輯pptTaylor公式與科學(xué)計算公式與科學(xué)計算 1. Taylor公式微積分頂峰公式微積分頂峰2. 計算機如何實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計算計算機如何實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計算3. 數(shù)值計算精度分析數(shù)值計算精度分析4. 計算機實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)計算存在的問題計算機實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)計算存在的問題5. Taylor公式解決問題公式解決問題6. 李查遜外推（李查遜外推（Richardson）7. Lagrange插值基本思想和方法插值基本思想和方法編輯pptTaylor公式：微分學(xué)頂峰公式：微分學(xué)頂峰)1()()(limoAxfAxf 可可微微

2、在在000)(),()(xxxfxxOBxxAxf 函數(shù)用常數(shù)（極限代替），誤差是無窮小函數(shù)用常數(shù)（極限代替），誤差是無窮小 )(!)(0000nknkkxxoxxkxfxf ()0( ),()nf xno xx-用 次多項式代替 產(chǎn)生誤差函數(shù)用一次多項式逼近，產(chǎn)生的誤差是高階無窮小函數(shù)用一次多項式逼近，產(chǎn)生的誤差是高階無窮小編輯ppt應(yīng)用舉例：用多項式逼近函數(shù)應(yīng)用舉例：用多項式逼近函數(shù))()!12()1(!7!5!3sin2121753nnnxoxnxxxxx 三角函數(shù)表哪里來？三角函數(shù)表哪里來？aylor 公式公式)()!2()1(!6!4!21cos122642 nnnxoxnxxxx編

3、輯ppt應(yīng)用舉例：用多項式逼近函數(shù)應(yīng)用舉例：用多項式逼近函數(shù)編輯ppt應(yīng)用舉例：用多項式逼近函數(shù)應(yīng)用舉例：用多項式逼近函數(shù)! 33xxy ! 33xxy xysin xy 編輯ppt應(yīng)用舉例：用多項式逼近函數(shù)應(yīng)用舉例：用多項式逼近函數(shù)xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy 編輯ppt導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義與數(shù)值計算導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義與數(shù)值計算導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義計算機實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計算計算機實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計算 ()( )0limf x hf xhh()( )(/2)(/2)( )( )f x hf xhf x hf x hhf xf x 計算機無法實現(xiàn)無限次計算解決問題辦法是近似計算，

4、解決問題辦法是近似計算，有限次逼近無限次運算有限次逼近無限次運算編輯ppt數(shù)值計算精度分析數(shù)值計算精度分析計算精度分析計算精度分析22()()()/ 2()()()()()( )(1)fxhfxh fxo hfxhfxhfxhxffxo 無窮小階描述數(shù)學(xué)問無窮小階描述數(shù)學(xué)問題重要工具，不需要題重要工具，不需要精確數(shù)學(xué)表達式，僅精確數(shù)學(xué)表達式，僅需要對整體有個估計需要對整體有個估計(/2)(/2)( )( )( )f x hf x hhfxfxo h h越小，近似計越小，近似計算的精度越高算的精度越高編輯ppt計算實例計算實例 計算實例與存在的問題計算實例與存在的問題( )f xx2x h 逼近

5、值逼近值 2 0.3360 1 0.3564 0.2 0.3535 0.1 0.3530 0.02 0.3550 0.01 0.3500 0.002 0.3500 0.0010.3000 0.00020.3000注意到一個現(xiàn)象：注意到一個現(xiàn)象： (1) 從表中看出從表中看出 h=0.2時候計時候計 算效果最佳算效果最佳 (2) 取得比取得比 h=0.2 小時計算的小時計算的效果越來越差效果越來越差實驗結(jié)果與數(shù)學(xué)分析結(jié)論完全不一致！透過現(xiàn)象看本質(zhì)！編輯ppt數(shù)值運算誤差的初步分析數(shù)值運算誤差的初步分析n定義：假設(shè)定義：假設(shè) 為整數(shù)，為整數(shù)，如果如果 則稱則稱 有有n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。111

6、010 ,nmjjjxm11102m nx x x3.1416的近似值的近似值 具有具有5位有效數(shù)字位有效數(shù)字 例例1：結(jié)論：有效數(shù)字是從第一位不等于結(jié)論：有效數(shù)字是從第一位不等于0的數(shù)算起！的數(shù)算起！ 編輯ppt數(shù)值運算誤差的初步分析數(shù)值運算誤差的初步分析2104)()(:922, 1 babax解解2991()100,10 ,1xab xab 例例021010,2101010104)(10100000000001. 0101 . 0110)(992991992910109 xxbaba求兩個實根，保留小數(shù)點后面位求兩個實根，保留小數(shù)點后面位1,10:291 xx精精確確解解為為b沒起作用，

7、“大數(shù)吃小數(shù)”!編輯ppt數(shù)值運算誤差的初步分析數(shù)值運算誤差的初步分析.),2(),cos1(10)(:207要要求求保保留留四四位位計計算算設(shè)設(shè)例例gxxg 61250175. 0102)2(2sin102)(:1:27027 gxxg方方法法解解 6000994. 01102cos110)2(:27070 g方方法法方法和方法哪個更精確？方法和方法哪個更精確？編輯ppt數(shù)值運算誤差的初步分析數(shù)值運算誤差的初步分析0006. 02cos1,cos0 有有四四位位有有效效數(shù)數(shù)字字假假如如x兩個相近的數(shù)相減有效數(shù)字會嚴(yán)重損失！兩個相近的數(shù)相減有效數(shù)字會嚴(yán)重損失！尋求補救辦法！尋求補救辦法！編輯p

8、ptTaylor公式解決問題公式解決問題 23(3)23(3)2(4)42()( )( )( )( ) .( )23!()( )( )( )( ) .( )23!()()( )( )( ).()23!5!由公 式nnnTaylorhhf x hf xf xhf xfxohhhf x hf xf xhf xfxohf x h f x hf xhfxhf xohh 編輯pptTaylor公式解決問題公式解決問題12(4)422(4)4242412()()( )2( )( )( )( ).()3!5!( )( )( )( /2).()2(3!)2(5!)( /2)4( )( ).()14( /2)4

9、nnnf xhf xhG hhfx hfx hfxG ho hfx hfx hfxG ho hG hG hfxc ho hG hG 1321( ),()14G hfxGo h 看到看到解決解決問題問題希望希望編輯pptTaylor公式解決問題公式解決問題 11( )( )/2414mmmmmG hG hGhGhGh將上述方法推廣到一般情況將上述方法推廣到一般情況數(shù)學(xué)歸納法，善于歸納一般結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法，善于歸納一般結(jié)論編輯pptTaylor公式與導(dǎo)數(shù)計算公式與導(dǎo)數(shù)計算)2(hG2( )G h3G (h)4( )G h2( )2hG3( )2hG2()2hG22()2hG3()2hG計算過程分析計

10、算過程分析 (6)(9)(3)(5)(8)(hG(10)(1)(2)(4) (7)計算過程相當(dāng)于計算過程相當(dāng)于半二次循環(huán)！半二次循環(huán)！編輯pptTaylor公式解決問題公式解決問題 計算計算 的一階導(dǎo)數(shù)值，的一階導(dǎo)數(shù)值， 實驗結(jié)果如下實驗結(jié)果如下： ( ),f xctgx(0.004) 625.33344002fhG1G2G4G0.0128696.6346914623.4601726625.3455055625.33342260.0064641.7538023625.2276722625.33361440.0032629.3592047635.32699020.0016626.3350438編

11、輯ppt李查遜外推（李查遜外推（Richardson） 李查遜外推（李查遜外推（Richardson） 假設(shè)假設(shè) 逼近逼近 有漸進展開的形式：有漸進展開的形式：( )f hf121( ),0.kpknkff hahppp11( )( )1,2,3,.( )( )( )1mmpmmmpf hf hmf qhq f hfhq(1)1mkpmmkkffah善于提煉善于提煉一般性問一般性問題，透過題，透過現(xiàn)象現(xiàn)象看本質(zhì)看本質(zhì)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)22sin2nrSnn設(shè)圓的內(nèi)接正設(shè)圓的內(nèi)接正n邊形面積為邊形面積為由由Taylor展開展開35721sin( 1)3!5!7!(21)!kk

12、xxxxxxk 從而從而1(1,)rhn編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)2462123knkSc hc hc hc h462,12234133knnnkSSShhh 24622123( )( )( )( )2222knkhhhhScccc其截斷誤差為其截斷誤差為 ，令，令2()O h4()O h其截斷誤差為其截斷誤差為 編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)62,22 ,1,131611515knnnkSSShh 4622 ,123( )( )( )222knkhhhS其截斷誤差為其截斷誤差為 6()O h,2 ,12 ,1,11()41n kn kn kn kkSSSS最后得最后得Ri

13、chardson外推公式外推公式 編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)1010 表格比較了外推法和常規(guī)方法表格比較了外推法和常規(guī)方法4105106108109101010111012101310141012896-806448403224n215606374275345741605275423460160734816276n1可以看到對逼近精度為可以看到對逼近精度為 時時,用用Richardson外推方法僅需計算圓的內(nèi)接外推方法僅需計算圓的內(nèi)接80正邊形面積，而正邊形面積，而用常規(guī)公式經(jīng)需要內(nèi)接用常規(guī)公式經(jīng)需要內(nèi)接7542邊形，在逼近精度邊形，在逼近精度為為 時，時， Richardson

14、外推法的優(yōu)勢更明顯外推法的優(yōu)勢更明顯.1410編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)Richardson外推法計算圓周率快速的提外推法計算圓周率快速的提高了計算精度，尤其在高精度逼近時其收高了計算精度，尤其在高精度逼近時其收斂速度是常規(guī)方法無法比擬的。斂速度是常規(guī)方法無法比擬的。編輯ppt數(shù)值運算誤差的初步分析數(shù)值運算誤差的初步分析n用計算機表示任何數(shù)字只能是有限位，計算機用計算機表示任何數(shù)字只能是有限位，計算機實現(xiàn)任何運算都會有舍入誤差，在科

15、學(xué)計算中實現(xiàn)任何運算都會有舍入誤差，在科學(xué)計算中必須充分重視舍入誤差對計算結(jié)果的影響，這必須充分重視舍入誤差對計算結(jié)果的影響，這也是科學(xué)計算重要而十分艱難的重要研究課題。也是科學(xué)計算重要而十分艱難的重要研究課題。n因此在計算機計算的過程中應(yīng)該避免兩個相近因此在計算機計算的過程中應(yīng)該避免兩個相近數(shù)字的減法運算。任何一個工程或者科學(xué)問題，數(shù)字的減法運算。任何一個工程或者科學(xué)問題，其數(shù)值計算的次數(shù)是巨大和海量的，我們必須其數(shù)值計算的次數(shù)是巨大和海量的，我們必須設(shè)計有效的算法控制舍入誤差的傳播。設(shè)計有效的算法控制舍入誤差的傳播。編輯pptLagrangeLagrange插值基本思想插值基本思想 ( (

16、 ) )(),1,2,3, .niiinP xyf xin= = = =K K構(gòu)構(gòu)造造 次次多多項項式式滿滿足足編輯pptLagrange插值算法和誤差估計插值算法和誤差估計1.1,()1,2,3, .0,kikilxknki = = = K K構(gòu)造n個n次多項式，稱之為基函數(shù)構(gòu)造n個n次多項式，稱之為基函數(shù)，011101110()()()()()( )()()()()()kknkkkkkkkknnjjkjj kxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxx 編輯ppt0002.Lagrange( )( )nnnjnkkkkkjkjj kxxP xlx yyxx插值多項式為插值多項式為

17、Lagrange插值算法和誤差估計插值算法和誤差估計 (1)110( )( )( ),(1)!( )()nnnnnnjjffxPxRxxnxxx3 3. .誤誤差差估估計計 Lagrange插值是否插值是否隨著插值隨著插值節(jié)點的增節(jié)點的增加確保收加確保收斂斂,在什么在什么條件下收條件下收斂斂?編輯ppt樣條插值逼近算法基本思想樣條插值逼近算法基本思想 0121121.),.) ( ),1,2,3, .) ( ),.kiiaa baxxxxbb s xxxikc s xCa b4 4三次樣條函數(shù)的定義三次樣條函數(shù)的定義分割分割在每個子區(qū)間上是三次多項式,在每個子區(qū)間上是三次多項式,滿足上述性質(zhì)的

18、函數(shù)集合記為S滿足上述性質(zhì)的函數(shù)集合記為S 樣條函數(shù)體現(xiàn)了分段函數(shù)的思想樣條函數(shù)體現(xiàn)了分段函數(shù)的思想編輯ppt樣條函數(shù)的表達式樣條函數(shù)的表達式 323012311.0;00.2.( )/6,00 ,.mmkiiiiiiiuuuus xxxxxxaxbsxsxxa b+ +考慮一類跳躍函數(shù)考慮一類跳躍函數(shù) 樣條函數(shù)的表達式樣條函數(shù)的表達式 編輯ppt樣條插值逼近定義與算法樣條插值逼近定義與算法 40101,0,1,2,1;,.,0,1,2,1,.iikiiks xSs xy iksays byyfxikyfayfb求滿足求滿足 編輯ppt樣條插值逼近定義與算法樣條插值逼近定義與算法 411110010001111111,1, 2, 3,12,1, 2,26,226.,1,1, 2,.6iijjjjjjkkkkkkkjjjjjjjjjjjjjjsxSMsxikMMMdjkyyMMyhhyyMMyhhhhxxjkhhyyydh假假 設(shè)設(shè)這這 里里 1111,1, 2,jjjjyhhjkh 編輯ppt三次樣條插值逼近誤差估計三次樣條插值逼近誤差估計 4411,max.iii kfx