第一講向量代數(shù)空間解析幾何

1、課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安考試概述1、近幾年數(shù)學(xué)在公共基礎(chǔ)考試中的分值2、考試大綱（1）空間幾何：代數(shù) 直線(xiàn) 平面 柱面 旋轉(zhuǎn)曲面 二次曲面 空間曲線(xiàn)（2）微分學(xué)：極限 連續(xù) 導(dǎo)數(shù) 微分 偏導(dǎo)數(shù) 全微分 導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用（3）積分學(xué)：不定積分 定積分 廣義積分 二重積分 三重積分 平面曲線(xiàn)積分 積分應(yīng)用（4）無(wú)窮級(jí)數(shù)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù)（5）常微分：可分離變量一階線(xiàn)性可降階常系數(shù)線(xiàn)性（6）分析（7）線(xiàn)性代數(shù)：行列式 矩陣 n 維線(xiàn)性組 矩陣的特征值與特征二次型（8）概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)與概率 古典概型 一維隨量的分布和數(shù)字特征 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 參數(shù)估計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn) 方差分析 一元回

2、歸分析關(guān)注培訓(xùn)：高數(shù)線(xiàn)性代數(shù)概率合計(jì)2010 年1644242011 年16442012 年16532013 年18332014 年1833課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安第一章高等數(shù)學(xué)1.1 空間幾何1.1.1代數(shù)1.：有方向的數(shù)量，即：不僅有大小還有方向的量（1）的表示設(shè)a 的起點(diǎn) A（x1，y1，z1），終點(diǎn) B（x2，y2，z2）1）幾何表示：用起點(diǎn)為 A，終點(diǎn)為 B 的有向線(xiàn)段表示。2）坐標(biāo)表：a=AB= x1x2，y1 y2，z1z2=ax，ay，az 。的坐標(biāo)是該在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。（2）的模（的大?。?- x )2 + ( y - y )2 + (z - z)2模 aAB(x12

3、1212（3）方向的角與方向余弦（的方向）與 x 軸、y 軸、z 軸正向的夾角a ,b ,g叫的方向角（ 0£ a,b,g £ p）cos b ay方向余弦： cosa axcosg az；(4)幾種特殊1)：模為 1 的。1： a0 =2)與 a 同向的a基本：與 x 軸、y 軸、z 軸同方向的，記做 i（1，0，0），j（0，1，0），k（0，0，1）。3)負(fù)：與 a 模相同，方向相反的，記為-a。關(guān)注培訓(xùn)：aaaa課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安4)零：模為 0，沒(méi)有確定方向的，記為 0。相等：a=b Û 模相等且方向相同（相等的5)兩視為同一個(gè)）2、運(yùn)算a設(shè)a

4、 (x y , z )； b (x y , z )； c (x y , z )1, 1 12, 223, 33a+b(1)加（減）法a-b(指向被減數(shù))兩相加，服從平行四邊形法則。b： a ± b (x ± x y ± y , z ± z)坐標(biāo)表12, 1212la = (lx1,ly1,lz1 )(2)數(shù)乘(3)數(shù)量積（點(diǎn)乘或點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)cosÐ(a, b)1）定義a · b = ab2）坐標(biāo)公式a · b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 （即：對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積相加）3）重要應(yīng)用a · b =0

5、Û a b （： cosÐ(a, b)=0） 積（叉乘或叉積）是一個(gè)1）定義： a ´ b n0 a b sin Ð(a, b)，其中 n0 是按右手螺旋法則垂直于 a，b 所在平面的。2）幾何意義： a ´ b=a b sin Ð(a, b) ，是以 a，b 為鄰邊的平行四邊形的面積。3） a ´ b 與a 和b 皆垂直，且a ´ b ， a ， ba ´ b右手螺旋法則 ，如下圖所示。ba應(yīng)用：已知兩相交直線(xiàn)的，求過(guò)兩直線(xiàn)的平面（將在后面直線(xiàn)有具體關(guān)注培訓(xùn)：課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安例子）。ijky

6、1z1 i -x1z1x1y1 k=j +xyz4）坐標(biāo)公式a ´ b =111yzxzxy222222xyz222= ( y1 z2 - z1 y2 )i + (z1 x2 - x1 z2 ) j + (x1 y2 - y1 x2 )k注：上述公式利用了行列式展開(kāi)定理，方便記憶： sin Ð(a, b)=0）5）重要應(yīng)用a ´ b = 0 Û a / b （或 a，b 共線(xiàn)）（5、混合積(1)定義abc（ a ´ b ）· c(2) a b c 表示以 a，b，c 為棱的平行六面體的體積。(3)a，b，c 共面Û abc=

7、0（注：第一頁(yè)表述：a，b，c 共面Ûabc=0）abc = (a ´ b)× cxyzyxxzzx1y= x- y+ z3xy22x1x2 x3y1y2 y3z1z2 z3=設(shè)a 、b 、c 均為例 1.【2005 年第 1 題】，下列等式中正確的是：（）。（A） (a + b)× (a - b) =（B） a × (a × b) =a 2- b 2a 2 b（D） (a + b)´ (a - b) = a ´ a - b ´ b（C） (a × b)2 =a 2 × b 2：A：

8、(a + b)× (a - b) = a × a - a × b + b × a - b × b =a × (a × b) = a × a b cosq，選項(xiàng) B 錯(cuò)誤。a 2- b 2 ，選項(xiàng) A 正確。a b cosq， (a × b)2 =a 2 b 2 cos 2 q，選項(xiàng) C 錯(cuò)誤。a × b =(a + b)´(a - b) = a ´ a - a ´ b + b ´ a - b ´ b = a ´ a - 2a ´

9、; b - b ´ b ，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤。關(guān)注培訓(xùn)：課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安例 2.【2008 年第 1 題】設(shè)a= i + 2 j + 3k ， b= i - 3 j - 2k ，則與a， b都垂直的為：（）1（A） ± (i + j - k )（C） ±(- i + j + k )3（B） ±(i - j + k )311（D） ±(i + j - k )3積定義知，a´ b a，a´ b b，故作a， b的：由積，再化則可。ij2- 3ka´b= 113 = (-4 - (-9)i - (-2 - 3)

10、j + (-3 - 2)k = 5i + 5 j - 5k- 2化: ±1(5i + 5 j - 5k ) = ±(i + j - k ) ，故1再（D）。52 + 52 + 523例 3. 【2010 年第 2 題】 設(shè)a，b，g都是非零，若a´ b= a´g，則（）（B）a/ b且a/g（C）a/(b-g)（D）a (b-g)（A）b= g：由a´ b= a´g，有a´ b-a´g= 0 ，即a´ (b-g) = 0 ，所以a/(b-g) 。已知a= i + aj - 3k ， b= ai - 3 j

11、 + 6k ，g= -2i + 2 j + 6k ，若例 4. 【2006 年第 1 題】a， b，g共面，則a 等于：（）。（A）1 或 2（B）-1 或 2（C）-1 或-2（D）1 或-2：C。解法一：若a， b，g共面，則下列行列式的值為零。- 3 661aa - 3-= - a 2 - 18a - 12 = -6(a 2 + 3a + 2)= -6(a + 2)(a + 1) = 0= -a - a +a 2- 22得a = -1或 - 2 。求解該解法二：利用混合積的定義，若a， b，g共面，則有混合機(jī)abg = (a´ b)×g= 0關(guān)注培訓(xùn)：課程名稱(chēng)：高等數(shù)

12、學(xué)教師：西安i1aj a- 3ka´ b=- 3 = (6a - 9)i + (-3a - 6) j + (-a 2 - 3)k6(a´b)×g= (6a - 9,-3a - 6,-a 2 - 3) × (-2,2,6) = 6(a + 2)(a +1) = 0 ，得a = -1或 - 21.1.2 平面與直線(xiàn)1、平面設(shè)平面過(guò)點(diǎn)（x0，y0，z0），法n=A,B,C（1）點(diǎn)法式：A（xx0）+B（yy0）+C（zz0）=01）當(dāng) D=0 時(shí)，平面過(guò)原點(diǎn)；2）當(dāng) A=0(B=0,C=0)時(shí)，平面平行于 x（y，z）軸，這時(shí)若 D0，平面不經(jīng)過(guò) x（y，z）

13、軸，若 D=0，則平面經(jīng)過(guò) x（y，z）軸；3）當(dāng) A=B=0 時(shí)，平面平行于 xoy 面。（4）平面與平面垂直、平行的條件設(shè)兩平面為1：A1x+B1y+C1z+D1=0，2：A2x+B2y+C2z+D2=01）p1 p2 Û n1 n2Û A1A2+B1B2+C1C2=0（即兩個(gè)法垂直，數(shù)量積為 0）；A1B1C12）p /p Û n / n Û=（即兩個(gè)法平行，積為 0）1212ABC2222、空間直線(xiàn)的設(shè)直線(xiàn) L 過(guò)點(diǎn)（x0，y0，z0），方向s=l,m,n，： x - x0y - y0z - z0=對(duì)稱(chēng)式lmn關(guān)注培訓(xùn)：注：求平面的另一種常用是利

14、用已知條件，寫(xiě)出平面式，再確定系數(shù)。（3）截距式： x + y + z = 1 ，（a，b，c 為平面在 x 軸、y 軸、z 軸上的截距）abc注：要求平面的，關(guān)鍵是利用已知條件，找出平面的法和某點(diǎn)坐標(biāo)。（2）：Ax+By+Cz+D=0，（平面法n=A,B,C）課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安注：要求直線(xiàn)的，關(guān)鍵是利用已知條件，找出方向和一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)ì x - x0y - y0=ïlmï2 當(dāng) l,m,n 中有一個(gè)為零，例如 n=0，而 l,m0 時(shí)，組應(yīng)理解為íïïî；z - z = 00ì y - y0= 0組應(yīng)理

15、解為ï當(dāng) l,m,n 中有兩個(gè)為零，例如 n= m=0，而 l0 時(shí)，íï z - z = 0î0例. 【2008 年第 2 題】已知平面p過(guò)點(diǎn)（1,1,0），（0,0,1），（0,1,1），則與平面p垂直且過(guò)點(diǎn)（1,1,1）的直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)為：（B）（A） x -1 =y -1 = z -1（B） x -1 =z -1 ， y = 11（C） x -1 =0z -1111（D） x -1 =y -1 = z -1-11110：因?yàn)橹本€(xiàn)與平面p垂直，故平面p的法就是所求直線(xiàn)的方向，又平面p過(guò)點(diǎn)（1,1,0），（0,0,1），（0,1,1），三點(diǎn)可確定兩個(gè)，即

16、a1 = (1 - 0)i + (1 - 0) j + (0 - 1)k = i + j - k ，a2 = (0 - 0)i + (1 - 0) j + (1 - 1)k = j 。ij11k-1 0平面p的法可取為這兩個(gè)的積，即 n = 1= i + k ，所求直線(xiàn)的方向0ì x -1 =z -1ï11為ï為i + k 。直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式íïïîy -1 = 0（1）ì A1x + B1 y + C1z + D1 = 0í A x + B y + C z + D = 0î 2222關(guān)注培訓(xùn)：課程

17、名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安i A1A2j B1B2k C1C2s = n1 ´ n2 =方向（即前面提到的“已知兩相交直線(xiàn)的，求過(guò)兩直線(xiàn)的平面”。）（2）參數(shù)：x=x0+lt，y=y0+mt，z=z0+nt（3）直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直、平行的條件設(shè)直線(xiàn) L1 的方向s1=l1,m1,n1， L2 的方向s2=l2,m2,n21） l1 l2 Û s1 s2Û l1l2+m1m2+n1n2=0（即兩個(gè)方向垂直，數(shù)量積為 0）；l1m1n12） l / l Û s / s Û=（即兩個(gè)方向平行，積為 0）1212lmn222（4）直線(xiàn)與平面垂直、平行的條件l

18、mn1） l pÛ s / n Û=（即直線(xiàn)方向與平面的法平行，積為 0）；ABC2） l /pÛ s n Û lA + mB + nC = 0 （即直線(xiàn)方向與平面的法垂直，數(shù)量積為 0）例 5.【2005 年第 3 題】過(guò) z 軸和點(diǎn)（1,2，-1）的平面是：（）。（A） x + 2 y - z - 6 = 0（B） 2x - y = 0（C） y + 2z = 0（D） x + z = 0：B為 Ax + By = 0 ，再將點(diǎn)（1,2，-1）代入得 A = -2B ，故有：過(guò) z 軸的平面- 2Bx + By = 0 ，消去 B 得- 2x + y

19、 = 0 。例 6. 【2005 年第 2 題】過(guò)點(diǎn) M (3，- 2，1) 且與直線(xiàn) L : ìx - y - z + 1 = 0平行的直線(xiàn)í2x + y - 3z + 4 = 0î是：（）。（A） x - 3 =y + 2 = z - 1（B） x - 3 =y + 2 = z - 1- 1- 1- 3121（C） x - 3 =y + 2 = z - 1（D） x - 3 =y + 2 = z - 1- 143413：D關(guān)注培訓(xùn)：課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安ìx - y - z + 1 = 0應(yīng)垂直于平面 x - y - z + 1 = 0 和平面

20、：直線(xiàn)í2x + y - 3z + 4 = 0 的方向î2x + y - 3z + 4 = 0 的法，因此所求直線(xiàn)的方向s 應(yīng)是這兩個(gè)法的積，即ijk- 1- 1= 4i - (- j) + 3k = 4i + j + 3k ，故s = 1（D）1- 32【2006 年第 2 題】設(shè)平面p的為3x - 4 y - 5z - 2 = 0 ，以下選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是：例 7.（A）平面p過(guò)點(diǎn)（-1,0，-1）（B）平面p的法為- 3i + 4 j + 5k（C）平面p在 z 軸的截距是- 25（D）平面p與平面- 2x - y - 2z + 2 = 0 垂直3x - 4 y - 5z

21、 - 2 = 0 ，：選項(xiàng)（A），把點(diǎn)（-1,0，-1）代入(-1)´ 3 + 0 + (-1)´(- 5) - 2 = -3 + 5 - 2 = 0 ，正確；選項(xiàng)（B），嚴(yán)格說(shuō)法應(yīng)該為3i - 4 j - 5k ；選項(xiàng)（C），把 x = 0 ， y = 0 代入3x - 4 y - 5z - 2 = 0 ，得 z = - 2 ，正確；5選項(xiàng)（D），兩個(gè)平面法的數(shù)量積為3´ (- 2)+ (- 4)´ (-1)+ (- 5)´ (- 2) = -6 + 4 + 10 = 8 ¹ 0 ，兩平面不垂直，錯(cuò)誤。1.1.3 曲面及其1、柱面關(guān)

22、注培訓(xùn)：課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安設(shè)直線(xiàn) L 平行于某定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn) C 移動(dòng)，則直線(xiàn) L 形成的軌跡叫做柱面。定曲線(xiàn) C叫做柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn) L 叫做柱面的母線(xiàn)。我們只討論準(zhǔn)線(xiàn)在坐標(biāo)面上，而母線(xiàn)垂直于該坐標(biāo)面的柱面。z 母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面為：F（x，y）=0； 母線(xiàn)平行于 y 軸的柱面為：F（x，z）=0； 母線(xiàn)平行于 x 軸的柱面為：F（y，z）=0；母線(xiàn) L小結(jié)：缺某個(gè)變量，就是柱面；0y母線(xiàn)平行于缺少量所在的坐標(biāo)軸。準(zhǔn)線(xiàn) Cx2、旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線(xiàn)繞該平面上一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線(xiàn)和定直線(xiàn)依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線(xiàn)和軸。我們只討論旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)

23、曲面的。設(shè)在 yoz 坐標(biāo)面上有一條已知曲線(xiàn) C，它的為zf（y，z）=0，曲線(xiàn) C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)以 z 軸為M1(0, y1, z1 )M (x, y, z)f ( y, z)軸的旋轉(zhuǎn)曲面。設(shè) M1(0，y1,z1)為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則有 f（y1，z1）=0，O當(dāng)曲線(xiàn) C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)， 點(diǎn) M1 隨繞到另一點(diǎn)(x ，yMxzy,z) ， 這 時(shí) ， z= z1 ， 且 點(diǎn) M 到軸 的 距 離 為yd =x2 + y2 =M(x,y,z)xy1將 z = z, y = ± x2 + y 2，代入曲線(xiàn)f（y1，z1）=0，得11OM1： f (± x2

24、+ y 2 , z) = 0到所求旋轉(zhuǎn)面的小結(jié)：旋轉(zhuǎn)面的重要特征是其兩個(gè)變量的平方項(xiàng)系數(shù)相等；坐標(biāo)面上的曲線(xiàn)繞哪個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，曲線(xiàn)相對(duì)應(yīng)的量就不變，另一個(gè)變量替關(guān)注培訓(xùn)：課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安換為其他兩個(gè)變量平方和開(kāi)根號(hào)。y 2 - z 2 = 1 所代表的圖形是（）例 8【2011 年第 2 題】在三中（A）母線(xiàn)平行 x 軸的雙曲柱面（B）母線(xiàn)平行 y 軸的雙曲柱面（C）母線(xiàn)平行 z 軸的雙曲柱面（D）雙曲線(xiàn)F (x, y, z) = 0 中，缺少某個(gè)變量，那么該方：在空間直角坐標(biāo)系中，如果曲面程表示一個(gè)柱面，并且該柱面的母線(xiàn)平行于缺少量所在的軸線(xiàn)。例 9寫(xiě)出直線(xiàn) y = z或x =

25、z 繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)面。：圓錐面 x2 + y 2 = z 2ì x 22+ z=例 10【2005 年第 4 題】將橢圓ï 91 ，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方í4ïî y = 0：（）x 2y 2 + z 2x 2 + z 2（A）+= 1= 1（B）99494x 2y 2 + z 2x 2y 2 + z 2（C）+= 1（D）+= 1944949：C過(guò)程：由題意可得， z = ± y 2 + z 2 ，代入則得到C。3、二次曲面1）球面： (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R

26、 2x2y 2z 22）橢球面：+= 1a 2b2c2x2y 2z 23）單葉雙曲面：+-= 1a 2b2c2x2y 2z 2x 2y 2z 24）雙葉雙曲面：+-= -1 （上：-= 1 ）a 2b2c2a 2b 2c 2x2y 25）橢圓拋物面：+= z2 p2q（ p, q 同號(hào)）x 2y 26）雙曲拋物面：-= z （ p, q 同號(hào)）2 p2q關(guān)注培訓(xùn)：課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)教師：西安例 11.下列代表單葉雙曲面的是：（）。x2y 2x2y 2（A）+- z = 1 232（B）+ z = 1 232x2 - y 2x2y 2- z = 12（D）+ z = 0232（C）23：A1.1.4 空間曲線(xiàn)1、空間曲線(xiàn)的ìF ( x, y, z) = 0（1）空間曲線(xiàn)的í，即兩曲面的