初中平方根與立方根(教案)

1、平方根與立方根第一課時平方根教學(xué)目的：1、使學(xué)生理解數(shù)的平方根的概念，能運(yùn)用根號表示一個數(shù)的平方根；2、掌握用平方運(yùn)算求某些數(shù)的平方根的方法；教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：平方根的概念及求某些數(shù)的平方根的方法；難點(diǎn)：平方根的概念；關(guān)鍵：對符號“意義的理解。學(xué)法指導(dǎo)：根據(jù)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的原則，始終貫穿“激發(fā)情趣一手腦 并用一啟發(fā)誘導(dǎo)一反饋矯正”的教學(xué)方法。教法指導(dǎo)：1、針對八年級學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本” 的教育理念，發(fā)展學(xué)生的個性特長，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。本堂課主要采用引探式和 啟發(fā)式的教學(xué)方法，教師引導(dǎo)為輔，學(xué)生自主思考解決問題為主。2、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)比較抽象、枯燥，用多媒體輔助教學(xué)

2、， 增加課堂的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教學(xué)過程：一、引入新課：我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、 減、乘、除和乘方運(yùn)算，但在現(xiàn)實(shí)生活中， 有些問題僅運(yùn)用這五種運(yùn)算是無法解決的。例如已知正方形一邊長是4厘米，那么它的一條對角線的長是多少厘米 ？解決這個問題就要運(yùn)用一種 新的運(yùn)算方法，這種運(yùn)算叫做開方。這節(jié)課我們就要學(xué)習(xí)開方運(yùn)算和平 方根。因?yàn)殚_方與平方是互 為逆運(yùn)算，所以適當(dāng)進(jìn) 行平方運(yùn)算的復(fù)習(xí)是 必須的可以先預(yù)練120的平方計(jì)算。二、新課學(xué)習(xí)：1、知識設(shè)疑：(1)計(jì)算：42;(4)2;(23)2;(0.8) 2;(-0.8)16,怎樣求這個數(shù)?(2)如果已知一個數(shù)的平方等于2、知識形成：知識點(diǎn)一：我

3、們可以設(shè)這個數(shù)為 以通過乘方運(yùn)算來解決。2x,則x =16,問題歸結(jié)為求上面例子可以看到 求一個數(shù)的平方 根，可經(jīng)轉(zhuǎn)化為通 過乘方運(yùn)算來求。X。這個問題可因?yàn)?2=16所以x=4;又因?yàn)?-4)2=16,所以x=4。4或一 4 的平方都等于16,可以表不為(±4)2=16。因?yàn)?或一4的平方都等于16,我們把4及一4叫做16的平方根。概括1 : 一般地，如果一個數(shù)的平方等于 a,這個數(shù)就叫做a的平方根(或 二次方根)。就是說，如果 x2=a，那么x就叫做a的乎直拒這些數(shù)都是正 數(shù)，它們都有兩 個平方根，這些 數(shù)的兩個平方根 都分別是互為相 反數(shù)如：23與一23都是529的平方根。因?yàn)?/p>

4、(± 23)2=529,所以土 23是529的平方根。問：(1) 16, 49, 100, 1 100都是正數(shù)，它們有幾個平方根1根之間有什么關(guān)系？(2) 0的平方根是什么？概括2: 一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。知識點(diǎn)二：概括：求一個數(shù) a(a >0)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。它開平方運(yùn)算是已知指數(shù)和哥求底數(shù)。平方與開平方互為逆運(yùn)算。一個數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者是0,它的平方數(shù)只有一個，正數(shù)或負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)，0的平方是0。但一個正數(shù)的平方根卻有兩個，這兩個數(shù)分析：求平方根是開方運(yùn)算，我們可以通過平(方運(yùn)算來解決。一,互為相

5、反數(shù)，0的平方根是0。負(fù)數(shù)沒有平方根。因?yàn)槠椒脚c開平方互為逆運(yùn)算，因此我們可以通過平方運(yùn)算來求一 個數(shù)的平方根，也可以通過平方運(yùn)算來檢驗(yàn)一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根。知識點(diǎn)三:(1)因?yàn)橹挥姓龜?shù):625的平方根是多少？這兩個平方根的和是多少?(2)647和7是哪個數(shù)的平方根？正數(shù)m的平方根怎樣表示？卜列各數(shù)的平方根各是什么？_,c 八 22 2；0 ； ( -0.4) ；(-1-);3和零才有平方根，所(3)已知正方形的面積等于 a,那么它的邊長等于多少?3、例題講解：例1、求下列各數(shù)的平方根：2、何：(1) -4有平方根嗎？ (2)2 .>(_4)與4相等嗎？為什么？(1)81 ;(2

6、)1916 ;(3)0.09 。例2、下列各數(shù)有平方根嗎 ？如果有，求出它的平方根；如果沒有, 請說明理由。42(1) 64;(2)0 ;(3) (4)例4、求下列各式的值：(1) <10000 ;(2)-日44;(3)(4) -v'0.0001 ;(5)±'49三、鞏固訓(xùn)練：P41、3四、知識小結(jié)：1、如果x2= a,那么x就叫做a的平方根，用土 Va來表示。當(dāng)a>0時，a有兩個平方根，當(dāng)a = 0時，a有一個平方根，就是它本身；當(dāng)a<0時，a沒有平方根。2、求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。平方的結(jié)果是唯一的； 在開平方運(yùn)中，被開方數(shù)必須是非

7、負(fù)數(shù), 開平方的結(jié)果不一定是唯一的。五、課后作業(yè)：六、課后反思§ 12.1 平方根與立方根第二課時算術(shù)平方根教學(xué)目的：1、使學(xué)生理解算術(shù)平方根的概念，掌握它的求法及表示方法;2、理解并掌握平方根和算術(shù)平方根這兩個概念的聯(lián)系和區(qū)別;教學(xué)分析：重點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念及求算術(shù)平方根的方法；難點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念，對符號“、廠”意義的理解，能用根號表示一個正數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。教學(xué)過程：一、算術(shù)平方根的概念正數(shù)a有兩個平方根(表示為±癡),我們把其中正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，表示為。的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，因此。的算術(shù)平方根是0, 即 Vo = 0?！埃笔撬阈g(shù)平方

8、根的符號，0a就表示a的算術(shù)平方根。品的意義有兩點(diǎn)：(1)被開方數(shù)a表示非負(fù)數(shù)，即a >0；(2) 后也表示非負(fù)數(shù)，即 <a >0O也就是說，非負(fù)數(shù)的“算術(shù)”平方根是非負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)不存在算術(shù)平方根，即 a<0時，無意義。如：J9 =3, 8是64的算術(shù)平方根， 廠6無意義。弋6既表示對9進(jìn)行開平方運(yùn)算，也表示 9的正的平方根。二、平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別在于：定義不同；個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，而一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個；表示方法不同：正數(shù)a的平方根表示為 土 0a ,正數(shù)a的算術(shù)平方根表不為ja ；取值范圍不同：正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)，正數(shù)的平方根是一正一

9、負(fù).0的平方根與算術(shù)平方根都是0.三、例題講解：例1、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：(1)100 ;(2) 49 ;(3)0.8164例2、求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。144 3240 0.25160.0144 也 400 6.25121例3、100的平方根是 ;0的平方根是;121的算術(shù)平方根是;0.25的平方根是;4949的算術(shù)平方根是;641 ，、，一 "的平方根是;2561.69的算術(shù)平方根是 (-3) 2的平方根是 四、鞏固訓(xùn)練：1、下列說法對嗎？為什么？錯的請你加以改正。(1)9的平方根是一3;(2) 49的平方根是7;(3) 0的算術(shù)平方根是 0;(4) 1的平方根是1

10、;(5) - 1是1的平方根；(6) 7的平方根是土 49;(7) 7） （2） 2的平方根是2；五、知識小結(jié)：1、 、平方根、算術(shù)平方根概念、表示方法和讀法。2、 a） 正數(shù)的平方根有兩個，他們互為相反數(shù)。b） 0 的平方根有一個，為0。c） 負(fù)數(shù)沒有平方根。3、 0 既是 0 的平方根，也是0 的算術(shù)平方根。平方根和算術(shù)平方根是初中代數(shù)中的兩個重要概念，全面掌握它，就必須分清它們的區(qū)別，認(rèn)清它們之間的聯(lián)系六、課后作業(yè)：七、課后反思：12.1 平方根與立方根第三課時平方根和算術(shù)平方根教學(xué)目的：1 、 復(fù)習(xí)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的概念，會求非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。；2、熟練掌握平方根和算術(shù)

11、平方根這兩個概念的聯(lián)系和區(qū)別；教學(xué)分析：重點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念及求算術(shù)平方根的方法；難點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念，對符號“、廠”意義的理解，能用根號表示一個正數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。教學(xué)過程：1、知識回顧(1)什么叫一個數(shù)a的平方根？如何用符號表示數(shù) a(a至0)的平方 根？(2)正數(shù)有幾個平方根？它們之間的關(guān)系是什么 ？負(fù)數(shù)有沒有平方 根？0的平方根是什么？(3)當(dāng)a之0時，式子 7a , 主能,J，的意義各是什么？(4)平方根有哪些性質(zhì)？分析：(1)如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2 = a ,那么x叫做a的平方根，表示為 x= ±、；a。(2)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有

12、平方根， 0的平 方根是0。(3)a >0, Ja表示a的算術(shù)平方根，-J&表示a的負(fù)平方根，士 ja表示a的平方根2、隨堂練習(xí)、選擇題1 .下列說法正確的是(A 、 4的平方根是2C 8的平方根是42 .下列計(jì)算中，正確的是(B 、4的算術(shù)平方根是-2D 、9的平方根是±3A .9 =3 B晨4 c(-3d 8=43 . J81的平方根是()A _9 B 9 c _3 D 34 .與J135最接近的整數(shù)是()A 11 B 12 C 13 D 14二、填空題5 . 1。44的平方根是 ;算術(shù)平方根是 .96 . 士-的平方根是；算術(shù)平方根是257 . 一個數(shù)的平方根是

13、a +1和a -3,則a =,這個數(shù)是8 .已知：n <73 <m，且m, n是兩個連續(xù)整數(shù)，則m = , n = 9 .計(jì)算：J(_2)2 =。10 .已知：va -2 +|a b +6 =0 ,則ab的平方根為 。三、求下列各式中 x的值：1. X2 =252. X2 9 = 03. 9x2 = 254. 16x2 -49 =0 5 .僅-12=46, (x+3f=121a(a 0)12四、小明設(shè)計(jì)一個如下程序：輸入 x014925輸出y1234(1) 在上述)表格的空白處填上恰當(dāng)?shù)臄?shù)值；(2)當(dāng)輸入的數(shù)字為435時，請你估算出與輸出y最接近的一個整數(shù)。五、圖4所示的是計(jì)算函數(shù)

14、值的程序圖,如輸入的x的值為-11 ,因?yàn)?11<-10 ,則 y =x2 書=(一11)2 +1 =122 。(1)若輸入的x的值為6 ,則y的值等x< -1 0輸入X值輸出y值(2)若輸入的x的值為-J123 ,則y的值等于 。(3)若輸出的y的值為5,則x的值等于 。(4)若輸入的x的值為13,請你估算出一個與 y誤差不超過0。5的有理 數(shù)的值。(簡要寫出計(jì)算過程和估算過程)注意：由于正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，零的算術(shù)平方根是零，可將它們概括成：非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即當(dāng)a >0時，ja>0(當(dāng)av0時，ja無意義)用幾何圖形可以直觀地表示算術(shù)平方根的意義如有

15、一個面積為a ( a應(yīng)是非負(fù)數(shù))、邊長為 ja的正方形就表示a的算術(shù)平方根。這里需要說明的是，算術(shù)平方根的符號“、廠”不僅是一個運(yùn)算符號，如a>0時，十已表示對非負(fù)數(shù)a進(jìn)行開平方運(yùn)算，另一方面也是一個性質(zhì)符號，即表示非負(fù)數(shù) a的正的平方根。例2以游戲的方法來進(jìn)行課堂練習(xí)，一方面加強(qiáng)了學(xué)生對本堂課所學(xué)知 識的理解和鞏固，另一方面有挑戰(zhàn)性的游戲，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。鞏固課堂知識，及時反饋課堂效果，更好地進(jìn)行教學(xué)細(xì)節(jié)上的改進(jìn)。§ 12.1平方根與立方根教學(xué)目的：1、使學(xué)生了解一個數(shù)的立方根概念，并會用根號表示一個 數(shù)的立方根；2、理解開立方的概念；3、明確立方根個數(shù)的性質(zhì)，分清一個

16、數(shù)的立方根與平方根的區(qū)別；教學(xué)分析：重點(diǎn)：立方根的概念及求法；難點(diǎn)：立方根與平方根的區(qū)別；關(guān)鍵：立方根的概念與性質(zhì)及求法。教學(xué)過程：一、知識導(dǎo)向：立方根是與平方根等同的兩個概念，在前面學(xué)習(xí)平方根與算 術(shù)平方根概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步來學(xué)習(xí)這個概念與知識，應(yīng)該是 相對輕松的。所以在教材的處理上，主要還是要側(cè)重于兩者的比 較與關(guān)系，這樣比較有利于學(xué)生的掌握。二、新課學(xué)習(xí)：1、知識設(shè)疑：（1）計(jì)算下列各題：各題是已知底數(shù) 和乘方指數(shù)求三 次幕的運(yùn)算，也 叫乘方運(yùn)算 開立方與立方也 是互為逆運(yùn)算， 因此求一個數(shù)的 立方根可以通過 立方運(yùn)算來求。分析：求一個數(shù)0.13、（-23）3、03（2）怎樣求下列括號

17、內(nèi)的數(shù)？各題中已知什么？求什么？（）3=18、 （）3 = 27 125、 （）3=02、知識形成概括1：如果一個數(shù)的立方等于a,這個數(shù)就叫做a的立方根（也 叫做三次方根）。用式子表示，就是，如果x3 = a，那么x叫做a的立方根。數(shù)a的立方根用符號“ 34”表示，讀作“三次根號 a,其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)。(注意：根指數(shù)3不能省略)。概括2:求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。3、例題講解：例1、求下列各數(shù)的立方根：8; 8;00 125;27125;0例2、求下列各式的值：<27、茅二64、 3/21017 、 <-1000三、鞏固訓(xùn)練：1、求下列各數(shù)的立方根：33(1)

18、 512(2) -0.125 (3) (-3)3 (4) -3-82、填空(1)立方根等于本身的數(shù)是 (2)若 x3=-0。729, WJx=(3)若(1 +5y f =216,則 y=(4) - %，成的立方根是 , (-12)3的立方根是四、知識小結(jié)：1、什么叫一個數(shù)的立方根？怎樣用符號表示數(shù)a的立方根？a 的取值范圍是什么？2、數(shù)的立方根與數(shù)的平方根有什么區(qū)別 ？3、我們在學(xué)習(xí)立方根概念時，應(yīng)對照平方根概念進(jìn)行。五、課后作業(yè)：六、課后反思在立方根的學(xué)習(xí)中要讓學(xué)生進(jìn)行類比、 討論和總結(jié)，切實(shí)認(rèn) 識到立方根與平方根之間的異同，為立方根概念的引入打下堅(jiān)實(shí) 基礎(chǔ)。讓學(xué)生在類比中歸結(jié)中記憶，有利于

19、新知識的形成，也有的立方根，我們 可以通過立方運(yùn) 算來求正數(shù)有一個正的 立方根；負(fù)數(shù)有 一個負(fù)的立方 根；零的立方根 仍舊是零立方根的個數(shù)的 性質(zhì)可以概括為 立方根的唯一 性，即一個數(shù)的 立方根是唯一的利于舊知識的鞏固。§ 12.2 實(shí)數(shù)與數(shù)軸教學(xué)目的：1、使學(xué)生了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，掌握實(shí)數(shù)的分類，會 準(zhǔn)確判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)；2、使學(xué)生能了解實(shí)數(shù)絕對值的意義；3、使學(xué)生能了解數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對應(yīng)關(guān)系；4、由實(shí)數(shù)的分類，滲透數(shù)學(xué)分類的思想；教學(xué)分析：重點(diǎn)：無理數(shù)及實(shí)數(shù)的概念；難點(diǎn)：有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別，點(diǎn)與數(shù)的一一對應(yīng)；關(guān)鍵：由實(shí)數(shù)與數(shù)軸的一一對應(yīng)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

20、 教學(xué)過程：一、知識導(dǎo)向：在有理數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)一步將數(shù)系擴(kuò)展到實(shí)數(shù)，從學(xué)習(xí)的角度看，它是以平方根為基礎(chǔ)，從具體的例子(22 )提煉出無理數(shù) 的概念，并類比有理數(shù)的運(yùn)算簡單的實(shí)數(shù)的運(yùn)算。實(shí)數(shù)引入的關(guān)鍵是無理數(shù)的引入，無理數(shù)在數(shù)學(xué)史上一開始 并不被人們接受，對于無理數(shù)的理解是一個難點(diǎn)，因而教學(xué)時要 花較多的時間，真正讓學(xué)生體會到用計(jì)算器求得 J2的值只是一 個近似值，并能在數(shù)軸上給予確定其相對位置。 從而確立了實(shí)數(shù) 與數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)。二、新課拆析：1、知識設(shè)疑：其一、什么叫有理數(shù)？其二、有理數(shù)可以如何分類？2、知識形成概括：無理數(shù)定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。(1)實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)

21、數(shù)。(2)實(shí)數(shù)的相反數(shù)：(3)實(shí)數(shù)的絕對值：(4)實(shí)數(shù)的運(yùn)算3、知識拓展我們在學(xué)有理數(shù)時，接觸過數(shù)軸，請學(xué)生回憶什么叫數(shù)軸。按課本中列表，將各數(shù)間的聯(lián)系介紹一下除了按定義還能 按大小寫出列表規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。每一個有理數(shù)在數(shù)軸都有一個對應(yīng)的位置， 反過來，數(shù)軸上 所有的點(diǎn)都表示有理數(shù)嗎？畫出課本中的數(shù)軸，并畫出2 ,可見數(shù)軸上的數(shù)，不僅有 表示有理數(shù)的點(diǎn)，還有表示無理數(shù)的點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn) 是對應(yīng)的。在此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)一 一對應(yīng)的意義 提示：用數(shù)軸來 表示實(shí)數(shù)，是一 個相當(dāng)重要的數(shù) 學(xué)思想一一數(shù)形 結(jié)合實(shí)數(shù)的大小比較。數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。不過有 時我們還要將

22、無理數(shù)取近似值，用有限小數(shù)來代替無理數(shù)進(jìn)行比 較。試估算(1)50在哪兩個整數(shù)之間？(2) 3。K版 3。2正確嗎？實(shí)數(shù)的計(jì)算。在有理數(shù)范圍的運(yùn)算律及運(yùn)算性質(zhì)以實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用。結(jié)果要求精確到某一位時，在計(jì)算過程中應(yīng)比結(jié)果要求的多 保留一位小數(shù)，最后一步再次進(jìn)行4舍5入，得到一個符合要求 的數(shù)。4、例題講解：例1、下列各數(shù)，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù) ？哪些是正 實(shí)數(shù)？根據(jù)定義來分類0。313 131 ，兀 2, 81 , 23, -3 27, 3。14, 7, 0。4829, 1。020020 002 ，-3 9,-3 0。5例2、求下列各式中的x :(1)若 |x| = n ;(2)若

23、|x-1| = J2。聯(lián)系有關(guān)絕對值 的知識點(diǎn)例3、判斷題：(1)任何實(shí)數(shù)的偶次幕是正實(shí)數(shù)。()(2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若| x| =|y|則乂=丫。()(3) 0是最小的實(shí)數(shù)。()(4) 0是絕對值最小的實(shí)數(shù)。()例4、求下列各數(shù)的相反數(shù)及絕對值：(1)3 64;(2)3 九能通過估值來比 較大小例5、試估計(jì)事十J2與n的大小關(guān)系。例6、計(jì)算：-12/3-3721 )(結(jié)果精確到00 01)2三、鞏固訓(xùn)練：1、下列各數(shù)，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？哪些是實(shí)數(shù)？3, -3 8, 1 0 732, 0 0 2 兀，0。13, 3 5, 2。73478 ,227。2、判斷正誤，并說明理由。(1)在理數(shù)是實(shí)數(shù)；()(2)實(shí)數(shù)是無理數(shù)；()無限小數(shù)都是無理數(shù)；()(4)帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；()(5)0是實(shí)數(shù)；()(6)0是無理數(shù)；()(7)0是有理數(shù)；()(8)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)。()3。求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對值：(1)2。 5;(2) 7;(3)九