立體幾何中的最值問題四則_第1頁
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1、 三易數(shù)學(xué)資源網(wǎng) 立體幾何中的最值問題四則1. 用配方法求距離的最值例1. 如圖1，正方形ABCD、ABEF邊長都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若。試求當(dāng)a為何值時，MN的值最小。圖1分析：此題的解題關(guān)鍵是想用含a的代數(shù)式表示距離，再用配方法求最值。解：過M作，垂足為H，連結(jié)NH，如圖1所示。在正方形ABCD中，所以，因為平面平面AE，所以平面AE，即。因為，所以即，由余弦定理求得。所以當(dāng)時，即M、N分別移到AC、BF的中點時，MN的值最小，最小值為2. 結(jié)合實際找最值位置例2. 在一張硬紙上，摳去一個半徑為的圓洞，然后把此洞套在一個底面邊長為4，

2、高為6的正三棱錐ABCD上，并使紙面與錐面平行，則能穿過這張紙面的棱錐的高的最大值是_。圖2解：如圖2所示，假設(shè)硬紙上的圓洞剛好卡在B'C'D'處。設(shè)正三棱錐的頂點A在平面BCD上的射影為A'，在平面B'C'D'上的射影為O。連結(jié)BA'、B'O并延長分別交CD、C'D'于E、E'點，則平面平面BCD，所以，即。又因為，所以又，所以，即能穿過這張紙面的棱錐的高的最大值是。3. 利用函數(shù)的有界性求體積最值例3. 如圖3，已知在中，平面ABC，于E，于F，當(dāng)變化時，求三棱錐體積的最大值。圖3解：因為平面ABC平面ABC，所以又因為，所以平面PAC，又平面PAC，所以，又，所以平面PBC，即。EF是AE在平面PBC上的射影，因為，所以，即平面AEF。在三棱錐中，所以，因為，所以因此，當(dāng)時，取得最大值為。4. 結(jié)合圖形列方程求解。例4. 棱長為2cm的正方體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應(yīng)該為多大？圖4解：過正方形對角線的截面

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