機械手齊次方程

1、機器人：簡述機器人機械手齊次變換矩陣的定義和作用（舉例說明）物理科學與技術學院 摘要：機械手(mechanical hand),能模仿人手和臂的某些動作功能，用以按固定程序抓取、搬運物件或操作工具的自動操作裝置。它可代替人的繁重勞動以實現生產的機械化和自動化，能在有害環(huán)境下操作以保護人身安全，因而廣泛應用于機械金、制造、冶電子、輕工和原子能等部門。關鍵詞：機器人 機械手 位姿 齊次矩陣 齊次變換 從外形來看，它和人的手臂相似，是由一系列剛性連桿通過一系列柔性關節(jié)交替連接而成的開式鏈。機械手主要由手部和運動機構組成。手部是用來抓持工件的部件，根據被抓持物件的形狀、尺寸、重量、材料和作業(yè)要求而有多

2、種結構形式，如夾持型、托持型和吸附型等。運動機構，使手部完成各種轉動、移動或復合運動來實現規(guī)定的動作，改變被抓持物件的位置和姿勢。運動機構的升降、伸縮、旋轉等獨立運動方式，稱為機械手的自由度。為了抓取空間中任意位置和方位的物體，需有6個自由度。自由度是機械手設計的關鍵參數。自由度越多，機械手的靈活性越大，通用性越廣，其結構也越復雜。一般專用機械手有23個自由度。 為了描述機器人本身的各個連桿之間、機器人和環(huán)境（操作對象和障礙物）之間的運動關系，通常將它們都當成剛體，從而研究各個剛體之間的運動關系，即剛體位姿描述。 位置的描述（位置矢量）：對于直角坐標系，空間任一點的位置可用的列矢量（稱位置矢量

3、）： 表示，其中，是點在坐標系中的三個坐標分量。的上標代表參考坐標系。 方位的描述（旋轉矩陣）：為了規(guī)定空間某剛體的方位，令設一直角坐標系與此剛體固接。用坐標系的三個單位主矢量相對于坐標系的方向余弦組成的矩陣： 來表示剛體相對于坐標系的方位。稱為旋轉矩陣，上標代表參考坐標系，下標代表被描述的坐標系。繞x軸、y軸和z軸旋轉角的旋轉轉矩分別為：總之，采用位置矢量描述點的位置，而用旋轉矩陣描述物體的方位。 位姿的描述（固接坐標系）：為了完全描述剛體在空間的位姿（位置和姿態(tài)），通常將物體與某一坐標系相固接。相對參考系，由位置矢量和旋轉矩陣分別描述坐標系的原點位置和坐標軸的方位。因此，剛體的位姿可由坐標

4、系來描述，即：。當表示位置時，旋轉矩陣（單位矩陣）；當表示方位時，位置矢量?？臻g中任意點在不同坐標系中的描述是不同的。從一個坐標系的描述到另外一個坐標系的描述之間的變換關系有坐標平移、坐標旋轉和一般變換。坐標平移：如果坐標系與具有相同的方位，但是的坐標原點與的不重合，用位置矢量描述它相對于的位置，把稱為相對于的平移矢量，即；坐標旋轉：如果坐標系與有共同的坐標原點，但是兩者的方位不同，用旋轉矩陣描述相對于的方位，有；而最一般的情形是：坐標系的原點與的既不重合，方位也不相同，則有。復合變換式對于點而言是非齊次的，但是可以等價成齊次變換形式：，的列向量表示三維空間的點，稱為點的齊次坐標，仍然記為或，

5、也可以寫成矩陣形式：，而齊次變換矩陣，其綜合地表示了平移變換和旋轉變換，將其分解成兩個矩陣相乘的形式后不難發(fā)現這一點： 其中，是階單位矩陣，等式右端第一個矩陣是平移變換矩陣；而第二個矩陣為旋轉變換矩陣。齊次變換表示同一點相對于不同坐標系和中的變換，也用來描述坐標系相對于另一坐標系的位姿，同時還可以用來作為點的運動算子。 又空間某點的直角坐標和齊次坐標分別為： 和 （其中，是非零常數）并且規(guī)定：列向量（其中）表示空間的無窮遠點，把包括無窮遠點的空間稱為擴大空間，而把第4個元素非零的點稱為非無窮遠點。（沒有意義）。而無窮遠點三要素稱為它的方向數，如：分別代表軸上的無窮遠點，用它們分別表示這三個坐標

6、軸的方向，而無窮遠點則代表坐標原點。因此，利用齊次坐標不僅可以規(guī)定點的位置，還可以用來規(guī)定矢量的方向；當第4個元素非零時代表點的位置；第4個元素為零時則代表方向。利用這一性質，可以賦予齊次變換矩陣又一定義：齊次變換矩陣描述了坐標系相對于的位置和方位，的第4列矢量描述的坐標原點相對于的位置；其他3列矢量分別代表得三個坐標軸相對于的方向。齊次變換矩陣還可以定義齊次變換矩陣的運算。（1）變換矩陣相乘：對于給定的坐標系，已知相對于的描述為，相對于為，則有 從而定義復合變換： 表示坐標系的變換：和分別代表同一坐標系相對于和的描述，表示坐標系從映射為的變換；還可以解釋為：坐標系相對的描述是這樣得到的，最初

7、與重合，首先相對于作運動，到達，然后相對作運動，到達最終位置。還有變換矩陣相乘不滿足“交換律”，變換矩陣的左乘和右乘的運動的解釋是不同的：變換順序“從右向左”，指明運動是相對固定坐標系而言的；變換順序“從左向右”，指明運動是相對運動坐標系而言的。 （2）變換矩陣求逆：由，得，容易驗證，這樣求得的滿足 。 為了描述機器人的操作，必須建立機器人本身各連桿之間，機器人與周圍環(huán)境之間的運動關系。為此要規(guī)定各種坐標系來描述機器人與環(huán)境的相對位姿關系。代表基座坐標系（基座框），代表腕框，是工具框，是工作站框，是目標框，它們之間的位姿關系用相應的齊次變換來描述。例如： 描述工作站框相對于基座框的位姿；描述目

8、標框相對于的位姿；描述腕框相對于基座框的位姿；。對物體進行操作時，工具框相對目標框的位姿直接影響操作效果。它是機器人控制和規(guī)劃的目標。實際上，它與其他變換（位姿）之間的關系類似于空間尺寸鏈，則是封閉環(huán)。工具框相對于基座框的描述可用兩種變換矩陣的乘積來表示： 令上面兩式相等，則得變換方程 ；變換方程中的任一變換矩陣都可用其余的變換矩陣來表示。例如，為了對目標物進行有效操作，工作框相對于目標框的位姿是預先規(guī)定的，需要改變以達到這一目的，根據上述變換方程，可以立即求出： 。 機械手的發(fā)展是由于它的積極作用正日益為人們所認識：其一、它能部分的代替人工操作；其二、它能按照生產工藝的要求，遵循一定的程序、時間和位置來完成工件的傳送和裝卸；其三、它能操作必要的機具進行焊接和裝配，從而大大的改善了工人的勞動條件，顯著的提高了勞動生產率，加快實現工業(yè)生產機械化和自動化的步伐。因而，受到很多國家的重視，投入大量的人力物力來研究和應用。尤其是在高溫、高壓、粉塵、噪音以及帶有放射性和污染的場合，應用的更為廣泛。在我國近幾年也有較快的發(fā)展，并且取得一定的效果，受到機械工業(yè)的重視。參考文獻：1、 熊有倫，機電一體化系列機器人技術基礎【華中科技大學出版社】二、 齊次變換矩陣的四大功能1、 描述矩陣：描述一個坐標