等差數(shù)列、等比數(shù)列的題型分析資料講解

1、等差等比數(shù)列的常見(jiàn)題型分析考點(diǎn)透視：高考對(duì)本講知識(shí)的考查主要是以下兩種形式：1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)解決與項(xiàng)、 和有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題， 屬于基礎(chǔ) 題；2.以解答題的形式考查，主要是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)等知識(shí)交匯綜合命題，考查用數(shù)列知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬低、中檔題.題型一：等差、等比數(shù)列的基本概念與運(yùn)算等差、等比數(shù)列是一個(gè)重要的數(shù)列類型，高考命題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、基本量的運(yùn)算及由概念推導(dǎo)出的一些重要性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解題，可達(dá)到避繁就簡(jiǎn)的目的解決等差、等比數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩

2、類方法：基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān) 于ai和d的方程(組)：巧妙運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì).例1： (2011 江西)設(shè)an為等差數(shù)列，公差 d = - 2, S為其前n項(xiàng)和.若So= Si，貝U ai=().A. 18 B . 20 C . 22 D . 24解析 由 So= S1，得 an= S1 So= 0, a1 = an + (1 11)d= 0+ ( 10) x( 2) = 20.故選 B. 題后反思：本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)、前n項(xiàng)和以及數(shù)列的通項(xiàng)和前 n項(xiàng)和的關(guān)系，解題的突破口是由 S0= S1得出an = 0.變式練習(xí)：1. (2011 天津)已知an為等差數(shù)列，其

3、公差為一2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，S為an的前n項(xiàng)和，n N*,則S10的值為().A. 110 B . 90 C . 90 D . 110解析 因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以 a7= asa9,又因?yàn)楣顬橐?,所以(a1 12)2= (a1 4)( a1 16),解得 a = 20,通項(xiàng)公式為 an= 20+ ( n 1)( 2) = 22 2n.10 ai + a10所以 S0=2= 5 x (20 + 2) = 110，故選 D.*S2. 設(shè)數(shù)列an滿足：2& = an+1(anM0)( n N)，且前n項(xiàng)和為S,則一的值為()a21515A. B. 4 C .

4、4 D. 2a11-24S1 215解析：由題意知，數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，故 一 =T.答案：Aa2a1 x 223. 已知兩個(gè)等比數(shù)列an,bn，滿足a1a (a 0) , d a11 ,b2a22 ,bsa33.(1)若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an唯一，求a的值.思路點(diǎn)撥：(1)根據(jù)條件表示出d,b2,b3，結(jié)合an是等比數(shù)列，求 出其公比，進(jìn)而得通 項(xiàng)公式(2)根據(jù)數(shù)列 an的唯一性，知q的一個(gè)值為0,得a的值審題視點(diǎn) 利用b、b、b3等比求解；(2)利用 問(wèn)的解題思路，結(jié)合方程的相關(guān)知識(shí) 可求解.2 2解 設(shè)an的公比為 q,貝U bi= 1 + a= 2,2

5、+ aq = 2+ q, b3= 3 + aq = 3 + q .由 bi, b2, b3成等比數(shù)列得(2 + q)2= 2(3 + q2),即 q2-4q+ 2= 0,解得 qi= 2+ 2, q2= 2 2,所以 an的通項(xiàng)公式為an= (2 + 2) n 值的順序排列上述數(shù)值，可求a n中連續(xù)的四項(xiàng)，求得q.5. 在數(shù)1和2之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積或&n= (2 一叮2) " I222(2) 設(shè)an的公比為 q,則由(2 + aq) = (1 + a)(3 + aq)，得 aq 4aq+ 3a 1 = 0.(*) 由a&

6、gt;0得，A = 4a2+ 4a>0 ,故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根，1由an唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a=-.3方法錦囊：關(guān)于等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算，一般通過(guò)其通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式構(gòu)造關(guān)于 a和d(或q)的方程或方程組解決， 如果在求解過(guò)程中能夠靈活運(yùn)用等差 (等比)數(shù)列的性質(zhì),不僅可以快速獲解，而且有助于加深對(duì)等差(等比)數(shù)列問(wèn)題的認(rèn)識(shí).4.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，令bn an 1, n N*，若數(shù)列bn的連續(xù)四項(xiàng)在集合53, 23,19,37,82中，貝U q 等于（）A.433、23、4B.c.或-D.或322343【知識(shí)點(diǎn)】遞推公式的應(yīng)用；等比數(shù)

7、列的性質(zhì).解：bn有連續(xù) 四項(xiàng)在-53 , -23 , 19 , 37, 82中且 bn=an+1 a n=bn-1則a n有連續(xù)四項(xiàng)在-54 , -24 , 18 , 36 , 81中 / an是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負(fù)數(shù)項(xiàng)則q v 0,且負(fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng)等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值遞增或遞減，按絕對(duì)值的順序排列上述數(shù)值18, -24 ,36 , -54 , 81相鄰兩項(xiàng)相除24436354183 24236-24 , 36, -54 , 81是a n中連續(xù)的四項(xiàng)，此時(shí)q=3 , -81-則可得，2 5423,同理可求q=22亍.故選B-q=2或q=記為 An,令 an log2 An, nN(1)

8、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記cn4an8n 1-數(shù)列Cn【思路點(diǎn)撥】根 據(jù)bn=an+1可知an=bn-1 ,依據(jù)bn有連續(xù)四項(xiàng)在-53 , -23 , 19, 37 , 82中，則可推知?jiǎng)tan有連續(xù)四項(xiàng)在-54 , -24 , 18, 36 , 81中，按絕對(duì)的前n項(xiàng)和Tn，證明:【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列，裂項(xiàng)求和，放縮法解：設(shè)該遞增的等比數(shù)列公比為q，由題意qn 12而A 12q qqn 2所以ann 2log 2 2 2n 22(2)Cn114an 9n 1n 2n n 1nn 22 q 22 qn1 22 27 1n 3 n 2 n 3TnC1C2(n14 分【思路點(diǎn)撥】本題是一個(gè)求an的

9、典型例子，后面求 Tn的時(shí)候符合裂項(xiàng)求和的架構(gòu)，最后放縮，很自然。題型二：等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)的考查 考點(diǎn)總結(jié)：從近幾年的考題看，數(shù)列性質(zhì)必考，以選擇填空為主，中低檔，難度較大時(shí)一般 出現(xiàn)在解答題中，但是注意做題時(shí)要活。例：2014 石家莊質(zhì)檢一已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列劉中，a4與314的等比中項(xiàng)為2；2,則 2ay+ a11 的最小值為( )A. 16 B . 8 C . 2 .：2 D . 4解析：由題意知 a4> 0,弘0, a4 -a14= 8, a >0, an> 0,則 2a? + an > 2 :'2a? an= 22a4 a14一a? an

10、 = 8,=2 16 = 8，當(dāng)且僅當(dāng)即a?= 2, an = 4時(shí)取等號(hào)，故2a? + an的最小值為8,2a?= an,故選B.變式練習(xí)：1、等差數(shù)列an中，& + a6= 4，則 log 2(2 a1 2a2 2aw)=()A. 10 B . 20 C . 40 D . 2+ log 25解析：依題意得，a1 + a2 + a3 + a。= 5( a5 + a6) = 20 ,因此有l(wèi)og 2(2 a1 2a2 2a10)= a1 + a2 + a3+ ao=20.221m2、已知方程(x m灶2)( x - nx+ 2) = 0的四個(gè)根組成以；為首項(xiàng)的等比數(shù)列，貝卜=()2n3

11、 322A. 2 B. 2或3 C. 3 D .以上都不對(duì) 解析：設(shè)a, b, c, d是方程(x2 mx 2)( x2 nx+ 2) = 0的四個(gè)根，不妨設(shè) a<c<d<b,1則a b=c d= 2,a=-，故b= 4，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到c = 1,d=2，貝Um=a+ b9亠92 n= c+ d= 3,或 m= c+d= 3, n = a+ b= ,m 3亠m 2 "宀則n=-或n= 3.答案：BS12 S8= 12,則 Ss=3、已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若S= 3,解析：由 S, S8 S, S2 S8 成等比數(shù)列，得（S8 S4） 2= S4（

12、 S2 S8）,解得 Ss= 9 或 Ss= 3,又由等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式知 S與S4同號(hào)，故S8= 9.答案：94、設(shè)等差數(shù)列an , bn的前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn,若對(duì)任意自然數(shù)則bs+ b?+ b8+ b4的值為解析：Tan , bn為等差數(shù)列，a3a9a3a9+ a3a6=+a9b5 + b?b8 + b4 2be ' 2b62b6be'Sn a1 + an 2a6 2 x 11 3 19= b1 + bn = 2b6 = 4x 11 3 = 41 ,a619 *b6= 41答案:19415.在等差數(shù)列an中，ai= 2 013其前n項(xiàng)和為Sn,若詈一S = 2

13、，則 S 013的值等于( )A. 2 011 B . 2 012 C .2 010D. 2 013解析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列 也是等差數(shù)列,根據(jù)已知可得這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)耳=a1 = 2 013 ,$ 013公差 d= 1,故 2"01y = 2 013 + (2 013 1) x 1 = 1，所以 s 013 = 2 013.6. 在等差數(shù)列an中，滿足3as= 5as, S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.（1）若ai>0,當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，求n的值；S1 ana1 = 46,記bn = n，求bn的最小值.解（1）設(shè)an的公差為d,則由 3a5= 5a8,得 3®+

14、4d) = 5何+ 7d),2d= 23a1.S= na1+ x a1>0,.當(dāng) n= 12 時(shí),S取得最大值.2(2)由(1)及 a1 = 46，得 d = 23x ( 46) = 4, an = 46 + (n 1) x4= 4n 50,23S = 46 n+n n 122Sn an 2n 52n+ 502 x 4= 2n 48n.=2n+ 區(qū)52> 2/2nx色52= 32,n n當(dāng)且僅當(dāng)2n=，即n= 5時(shí)，等號(hào)成立.n故bn的最小值為32.點(diǎn)評(píng)：在等差數(shù)列問(wèn)題中其最基本的量是首項(xiàng)和公差，只要根據(jù)已知條件求出這兩個(gè)量，其他問(wèn)題就可隨之而解，這就是解決等差數(shù)列問(wèn)題的基本方法，

15、 其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用. 等差數(shù)列的性質(zhì)* 若 m n, p, q N,且 nu n = p+ q,貝 U am+ an= ap+ aq ； S, Sam Sn, S3rn 82m,，仍成等差數(shù)列；a m* am an= (m- n)d?d=(m n N)；m- nan 2n -1 -=:一(Aan 1, Ban 1 分別為an , bn的前 2n 1 項(xiàng)的和).bn B2n 1(3) 數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式f(n)是n的二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng)，即 S = An2 + Bn(A2+扌工0).1 1 *7. 若數(shù)列an滿足一 =d (n n , d為常數(shù))，則稱

16、數(shù)列an為"調(diào)和數(shù)列”.已a(bǔ)n+1 an知正項(xiàng)數(shù)列 1bn為"調(diào)和數(shù)列”，且bi b2 L 鳥(niǎo)90 ,則b4?b6的最大值是()A . 10【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的性質(zhì)與基本不等式求最值.100.200.400解：因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列1為"調(diào)和數(shù)列”，則 bn 1 bn d , bn即數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)b1b2b3 Kb99b5 90 , b5 10 則 b4b62b520，所以2bbb4Bb4b62100，當(dāng)且僅當(dāng)b4b6即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)等號(hào)成立,所以選 B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的新定義可得到數(shù)列bn為等差數(shù)列，從所給的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)特征可發(fā)現(xiàn)等差

17、數(shù)列的性質(zhì)特征，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得到則b4 b6 2b5 20 ,再由和為定值求積的最大值利用基本不等式解答即可.題型三：數(shù)列an與8n的關(guān)系的考查考點(diǎn)總結(jié)：已知an與8n的關(guān)系，有目標(biāo)把該關(guān)系統(tǒng)一到同想和和上，求8n或a.，這是常見(jiàn)的遞推關(guān)系。例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為$且滿足an+ 2S S1= 0( n2), a = *.(1)求證：1是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式.Si審題視點(diǎn)(1)化簡(jiǎn)所給式子，然后利用定義證明.根據(jù)S與an之間關(guān)系求an.(1)證明 T an= S1 S1 -i(n2)，又 an= 2S St,1 1S-1 S = 2Si Si-1, Si 豐 0 ,二6

18、一 = 2(n2).Si Si 111 1由等差數(shù)列的定義知 1是以$=2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.OnS a11 1 解 由(1)知S = S + (n 1)d= 2+ (n 1) x 2= 2n,1 1Sn .當(dāng) n2 時(shí)，有 an= 2SxSi1= ,2n2n n 11又 a1= 2,不適合上式,12，n = 1,an =12nn 1,n2.方法總結(jié)：等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法，而對(duì)于通項(xiàng)公式法和前 n項(xiàng)和公式法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷.變式練習(xí)：1.已知an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a655,a2a?16.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2 )若數(shù)列an

19、和數(shù)列bn滿足等式：an b 烏烏 冬5 N* )，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn .2 22 232n點(diǎn)撥：(1)等差數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個(gè)基本量a1,d ,再進(jìn)一步求通項(xiàng)及前 n項(xiàng)和,當(dāng)然若能利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)計(jì)算，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了.( 2)分組求和、倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等是常用的求和方法，這里利用(1)的結(jié)論以及an,bn的關(guān)系求bn的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式求前 n項(xiàng)和.解: (1)解法1：設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d,則依題設(shè)d>0,由 a2 a716.得 2印 7d 16由 a3 a655,得(a1 2d)(a-i5d)55 由得 2a116 7d 將其代入得(163d

20、)(163d)220.即 2569d2220 ,2d 4,d0 d 2 ,代入得 a11, an 1 (n 1)2 2n 1解法2 :等差數(shù)列an中，a3 a6 55,a2 a7 16 a3 a6 ,公差d 0 ,a3 5,a611 d2 , ai63b(2)設(shè) Cn，則有 an Ci C22兩式相減得an 1 an Cn 1，由(1 )得即當(dāng)n2 時(shí)，bn2n 1，又當(dāng)n1時(shí),bn2, (n 1)于是Sn b1b22n1,(n2)1,an1(n1)22n 1Cn,an 1C1C2Cn 1 ,a11,an1a n2Cn 1,Cn2(n 2),b12a12 ,3Kbn2 2324K2n12n2n

21、 1=2222324K2n14=22 耳 4 2n 26,即 Sn2 1易錯(cuò)點(diǎn)：（1 ）由an,bn的關(guān)系及（1）的結(jié)論找不到bn的通項(xiàng)公式，使解題受阻;(2)在（3）忽略當(dāng)n 1時(shí),求bn的通項(xiàng)公式時(shí)，由Cn 1 2得Cn 2 ,把n 2這個(gè)條件遺漏;b1 2a12 ， 直接寫bn2n 1 ；（ 4 ）計(jì)算數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn b1 b2 bsK g 2 23 24 K 2n 1 時(shí)隨意添加 22項(xiàng).提煉方法：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細(xì)的現(xiàn)象；（2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（3 ）對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要

22、先計(jì)算a1,d,q等量，一旦計(jì)算量大一點(diǎn)，解題受阻2.已知數(shù)列 an滿足遞推關(guān)系式an 1 2an 2nn N)，且an_2n為等差數(shù)列,則的值是【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列遞推式.解：若an_2n為等差數(shù)列，an 12* 1an2nn 丄2an 212門1an an2“2n12* 12nan2n12*1 2* ，為常數(shù)，即12n 12n0，則-1-2=0,解得=-1 ,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得到結(jié)論.題型四：等差等比的綜合應(yīng)用考點(diǎn)總結(jié)：數(shù)列時(shí)一種特殊的函數(shù)，把數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，是 數(shù)列的一個(gè)發(fā)展方向，考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。例：

23、（2008山東卷）將數(shù)列 an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:aia2 a3a4 a5 a 6a7 a 8 a 9 aio記表中的第一列數(shù) ai, a2, a4, a?,構(gòu)成的數(shù)列為 bn ,bi=ai=1. S為數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和,且滿足2bn 2 =1 （ n2） .（ I ）證明數(shù)列丄成等差數(shù)列，并求數(shù)列 bn的通項(xiàng)bnSNS2nSn公式；（n）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且4公比為同一個(gè)正數(shù).當(dāng)a8i時(shí)，求上表中第 k（k>3）行所有項(xiàng)和的和.91解析：(i)由已知得，當(dāng)n2時(shí)2bn 2 =ibnSNS nb2b3又 S

24、n bi2(Sn Sni)bn，所以(Sn Sni)SnSn iSni所以丄SnSn ii2，又 Sib，ani，所以數(shù)列是以1i為首項(xiàng)，一為公差的等差數(shù)列。2i所以丄Sni尹i)Sn2時(shí),bn Snn(n i)又Sibian i因此bni,n i2n(n i)，n因?yàn)?2 312 78,所以表中第行至第12行共含函數(shù)列中的前78項(xiàng)，故表中第13第3列中的數(shù)為a812又513記表中第k（k > 3）行所有項(xiàng)和的和為因此b13 q2491，所以q 214S,則kkbk(1 q )212S kg1 q k(k 1) 1 2侖(1 2k)(k 3)拓展提高：此題主要考察遞推公式，構(gòu)造新數(shù)列，以

25、及求行列式的通項(xiàng)。 變式練習(xí)：1、已知“三角數(shù)陣”每一列成等差數(shù)列,從第三行起每一行成等比數(shù)列，且公比為q,公比相等記第i行第j列個(gè)數(shù)為aj (ij,ij N*)1412341438316（1）求 q,（2）求aij的表達(dá)式,(3)記第n行和為An，求An的前項(xiàng)和Bn,解析:（1）設(shè)公比為q,則a211a11 q 2q, a24a 222(a22 a21),又a22a32q14q4q24q 30,（2 ）第一行的公差為-(舍),2152則a22a1j1)aijj / 1 i 11 i2(2) j (2)(3)Anan1 11(2)2 G)32 2 2（2）n（擴(kuò)n(in12Bn 1(112設(shè)T

26、n則iTn則由以上兩式得m)24142Tn38281 1 2花4n2n3161 12 4n2* 1丄12nn2* 112nn2* 1n 22* 1所以Bnn(n 1) n 2142n 1拓展提高：數(shù)陣題是一種新型題型，解題關(guān)鍵是抓住所給的各行格列所構(gòu)成的數(shù)列的類型 再由特殊項(xiàng)推各行各列的前幾項(xiàng)，進(jìn)而求通項(xiàng)2、等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN ，點(diǎn)（n ,Sn），均在函數(shù)Xy b r（b 0且b 1,b, r均為常數(shù)）的圖像上.（1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時(shí)，記n 1bn（nN ）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn4an解：因?yàn)閷?duì)任意的nbnNr5，點(diǎn)（n ,Sn），均在函數(shù)y bxr

27、(b 0 且 b1,b,r均為常數(shù)）的圖像上.所以得Sn當(dāng)n1 時(shí),a1Sbr ,當(dāng)n2 時(shí),anSnSn1bnr(bn1r) bn bn1 (b 1)bn1 15又因?yàn)?an為等比數(shù)列，所以r1,公比為b,所以an(b 1)bn1.、.n 1n 1n 1n 1n 1（2）當(dāng)b=2時(shí)，an(b1)b2 ,bnn 1n 14an4 22n 1234n 1則TnLn22 23242* 11234,nn1尹232425L-2n1 2*2 1相減,得丄Tn22歹1 12 21 ,1 n 11 5n 1n 22 2 2122 (1 2nJ1 1n 13 1n 1n 1n 24 22231n 13 n 3

28、所以Tn-22n2“ 12 2n 1拓展提高：本題主要考查了等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，以及已知sn求an的基本題型，并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.3、已知直線l n : y x 2n與圓Cn : x2 y2 2a“ n 2（n N ）交于不同點(diǎn)An、b,其1 2中數(shù)列an滿足：a1 1,an1 - AnBn .（ 1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；4、卄n（2）設(shè)bn（an 2）,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn3解析：(i)圓心到直線的距離d .n,an 1(jlA.Bn)22an 2,則 an 122(an 2)易得an32n12bn3(an2)n 2n 1

29、,(2)Sn1 20 2213 22n 2n 12S；n1212223 23n 2n相減得Sn (n 1)2n1n4 (2012 高考四川卷)設(shè)函數(shù)f(x) = 2x cos x, an是公差為二的等差數(shù)列，82f(ai) + f(a2)+ f(a5)= 5n,貝U f(a3) aia5=()121213 2A. 0B n C. n D. n16 8 16(1) 給出以等差數(shù)列前 5項(xiàng)為自變量的函數(shù)值之和.(2) 由等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)把f (a1) + f (a2) + f(a3) + f(aj + f (aj的結(jié)構(gòu)用a表達(dá). 構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性確定a3的值.(4) 將求解結(jié)果

30、用a3表示、化簡(jiǎn).抓信息尋思路【解析】f(a" + fg) + f(a3)+ f(a" + f®)=2( a1 + a2 + a3 + a4 + a5) (cos a+ cos a2+ cos a3 + cos a4 + cos a5)=10a3 cos( a3 -) + cos( a3 -) + cos a3 + cos( a3+ -) + cos( a3+ -)nn=10a3 (2cos + 2cos + 1)cos a3.nn構(gòu)造函數(shù) g(x) = 10x (2cos + 2cos + 1)cos x 5 n,48,nng (x) = 10+ (2cos +

31、 2cos+ 1)si n x>0,4 8n 函數(shù)g(x)在(一3,+ )內(nèi)單調(diào)遞增，由 g(2)= 0,nnnn所以方程 10x (2cos+ 2cos + 1)cos x 5 n = 0 有唯一解 x=，所以 a3=.48222 222nn22 n2 n 2 n所以f(a3) a1a5=f(a3)(a3 )(a3 +) =f(a»a3 +=n ($)+=441621613n 216 .145.已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7 = a6 + 2a5，若存在兩項(xiàng)am,an使得-aman=4a1，貝U+的最m n359十*亠小值為()A. 2B.3C.-D.不存在2342解：因 a7

32、= a6 + 2a5，所以 q q 2 = 0,解得 q= 2 或 q= 1(舍去). 又寸aman=. a1qmn 2 = 4a1，所以 m+ n= 6.則+4=6'+ n (m+ n)=11+m+4m+ 4 > |. mn6mn6 mn 2當(dāng)且僅當(dāng)ST 4m，即n =亦時(shí)，等號(hào)成立此時(shí)停2, n= 4.題型五：與其它知識(shí)點(diǎn)交匯考點(diǎn)總結(jié)：創(chuàng)新題是以基本概念，基本性質(zhì)為主，考查學(xué)生閱讀材料，提取信息，建立數(shù)學(xué) 模型，考查應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力。例：根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為Xl,X2,Xn, X2008,y1, y2,yn ,y2008 - (

33、 1 )求數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式Xn ；（2）寫出y1, y2, y3, yn，由此猜想出數(shù)列yn ；的一個(gè)通項(xiàng)公式y(tǒng)n，并證明你的結(jié)論；(3)求 ZnXiyi X22. Xnyn(x N*, n 2008).點(diǎn)撥：（1 ）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物，因?yàn)槌?序框圖中循環(huán)，與數(shù)列的各項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的 新方向，應(yīng)引起重視；（2 ）由循環(huán)體寫出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公 式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決問(wèn)題的關(guān)健；（3）掌握錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和及數(shù)列求和的一般方法 .解：（1 ）由框圖，知數(shù)列xn中X11, Xn 1Xn2Xn12(n 1)2n 1(nN*, n2008)2 ) y1=2 ,Y2=8 ,y3=2