2017步步高大一輪復習講義數(shù)學48

1、1仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖)2方向角相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等3方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.(×)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，(×)(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系()(4)如

2、圖，為了測量隧道口AB的長度，可測量數(shù)據(jù)a，b，進行計算()1(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析如圖，在ABC中，AB10，A60°，B75°，BC5.2若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且ACBC，則點A在點B的()A北偏東15° B北偏西15°C北偏東10° D北偏西10°答案B解析如圖所示

3、，ACB90°，又ACBC，CBA45°，而30°，90°45°30°15°.點A在點B的北偏西15°.3如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1 km，參考數(shù)據(jù)：1.732)()A11.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km答案B解析AB1 000× km，BC·sin 30° km.航

4、線離山頂h×sin 75°×sin(45°30°)11.4 km.山高為1811.46.6 km.4輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h，則下午2時兩船之間的距離是_n mile.答案70解析設兩船之間的距離為d，則d25023022×50×30×cos 120°4 900，d70，即兩船相距70 n mile.5在ABC中，已知a，b，c分別為A，B，C所對的邊，S為ABC的面積若向量p(4，

5、a2b2c2)，q(，S)滿足pq，則C_.答案解析由題意得pq4S(a2b2c2)，又Sabsin C，所以2absin C(a2b2c2)sin Csin Ccos Ctan C，解得C.題型一求距離、高度問題例1(1)如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°，則A，B兩點的距離為()A50 m B50mC25 m D. m(2)(2015·湖北)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山

6、頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.答案(1)A(2)100解析(1)由正弦定理得AB50(m)(2)在ABC中，AB600，BAC30°，ACB75°30°45°，由正弦定理得，即，所以BC300.在RtBCD中，CBD30°，CDBCtanCBD300·tan 30°100.思維升華求距離、高度問題應注意(1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念；(2)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把

7、未知量放在另一確定三角形中求解(3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理(1)一船自西向東航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°的方向上，距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為_海里/小時(2)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點間的距離為60 m，則樹的高度為_m.答案(1)(2)3030解析(1)由題意知，在PMN中，PM68海里，MPN75°45°120°，MNP45°.由正弦定

8、理，得，解得MN34海里，故這只船航行的速度為海里/小時(2)在PAB中，PAB30°，APB15°，AB60，sin 15°sin(45°30°)sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°××，由正弦定理得，PB30()，樹的高度為PB·sin 45°30()×(3030)m.題型二求角度問題例2(1)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則

9、燈塔A在燈塔B的_方向(2)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD等于()A30° B45°C60° D75°答案(1)北偏西10°(2)B解析(1)由已知ACB180°40°60°80°，又ACBC，AABC50°，60°50°10°，燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.(2)依題意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosC

10、AD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.思維升華解決測量角度問題的注意事項(1)首先應明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30&#

11、176;，則tan 的最大值是_(仰角為直線AP與平面ABC所成角)答案解析如圖，過點P作POBC于點O，連接AO，則PAO.設COx m，則OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m.所以cosBCA.所以AO(m)所以tan .當，即x時，tan 取得最大值為.題型三三角形與三角函數(shù)的綜合問題例3已知函數(shù)f(x)2sin22sincos.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且角A滿足f(A)1.若a3，BC邊上的中線長為3，求ABC的面積S.解(1)由題意知，f(x)sin(1sin 2x)cos 2x

12、sin 2xcos 2x2sin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)由f(A)1，得sin，2A或，即A0或.又A為ABC的內(nèi)角，A.由A，a3，得|a3，又BC邊上的中線長為3，知|6，聯(lián)立，解得·，即|·|·cos ，|·|.ABC的面積為S|·|·sin .思維升華三角形與三角函數(shù)的綜合問題，要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題如圖，在ABC中，已知B，AC4，D為BC邊上一點若ABAD，則ADC的周長的最大值為_

13、答案84解析ABAD，B，ABD為正三角形在ADC中，根據(jù)正弦定理，可得，AD8sin C，DC8sin(C)，ADC的周長為ADDCAC8sin C8sin(C)48(sin Ccos Csin C)48(sin Ccos C)48sin(C)4，ADC，0C，C，當C，即C時，ADC的周長的最大值為84.9函數(shù)思想在解三角形中的應用典例(12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與

14、輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由思維點撥(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時間t的函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；(2)注意t的取值范圍規(guī)范解答解(1)設相遇時小艇航行的距離為S海里，則1分S .3分故當t時，Smin10，v30.即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小6分(2)設小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t22·20·30t·co

15、s(90°30°)，8分故v2900.0<v30，900900，即0，解得t.又t時，v30，故v30時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20.11分故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時12分溫馨提醒(1)三角形中的最值問題，可利用正弦、余弦定理建立函數(shù)模型(或三角函數(shù)模型)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題(2)求最值時要注意自變量的范圍，要考慮問題的實際意義方法與技巧1利用解三角形解決實際問題時，(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(

16、3)三角函數(shù)模型中，要確定相應參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗問題的實際意義2在三角形和三角函數(shù)的綜合問題中，要注意邊角關(guān)系相互制約，推理題中的隱含條件失誤與防范1不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混2在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯誤A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)1在相距2 km的A，B兩點處測量目標點C，若CAB75°，CBA60°，則A，C兩點之間的距離為()A. km B. kmC. km D2 km答案A解析如圖，在ABC中，由已知可

17、得ACB45°，AC2×.2一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里答案A解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)3.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流

18、速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6 min，則客船在靜水中的速度為()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h答案B解析設AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin ，從而cos ，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得v6.選B.4如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m答案C解析如圖，ACD30

19、°，ABD75°，AD60 m，在RtACD中，CD60 m，在RtABD中，BD60(2)m，BCCDBD6060(2)120(1)m.5.如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A5 B15C5 D15答案D解析在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15×15.6江岸邊有一炮臺高30 m，江中

20、有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m.答案10解析如圖，OMAOtan 45°30 (m)，ONAOtan 30°×3010 (m)，在MON中，由余弦定理得，MN10 (m)7在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為_m.答案 解析如圖，由已知可得BAC30°，CAD30°，BCA60°，ACD30°，ADC120°.又AB200

21、m，AC m.在ACD中，由余弦定理得，AC22CD22CD2·cos 120°3CD2，CDAC m.8在RtABC中，C90°，且A、B、C所對的邊a、b、c滿足abcx，則實數(shù)x的取值范圍是_答案(1，解析xsin Acos Asin.又A，sin sinsin ，即x(1，9.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依題意知，BAC120°

22、;，AB12，AC10×220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos 120°784.解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/小時(2)在ABC中，因為AB12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .10.如圖，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P為ABC內(nèi)一點，BPC90°.(1)若PB，求PA；(2)若APB150°，求tanPBA.解(1)由已知得PBC60°，所

23、以PBA30°.在PBA中，由余弦定理得PA232××cos 30°，故PA.(2)設PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化簡得cos 4sin ，所以tan ，即tanPBA.B組專項能力提升(時間：15分鐘)11一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m答案A解析設水柱高度是h m，水柱底端為C，在RtBCD中，CBD30°，BCh.在ABC中，A60°，ACh，AB100，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.12.如圖，一艘船上午930在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午1000到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8n mile.此船的航速是_ n