2000考研數(shù)二真題及解析

1、2000 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1) (2) 設(shè)函數(shù)由方程所確定，則(3) (4) 曲線的斜漸近線方程為(5) 設(shè)，為4階單位矩陣，且則.二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且則常數(shù)滿足 ( )(A) (B)(C) (D)(2) 設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式，且，則 ( )(A)是的極大值.(B)是的極小值.(C)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).(D)不是的極值，點(diǎn)也不是曲線的拐點(diǎn).(3 ) 設(shè)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，

2、且則當(dāng) 時(shí)，有 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 若，則為 ( )(A)0. (B)6. (C)36. (D).(5) 具有特解的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是 ( )(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分5分)設(shè)，計(jì)算.四、(本題滿分5分)設(shè)平面上有正方形及直線.若表示正方形位于直線左下方部分的面積，試求.五、(本題滿分5分)求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù).六、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)，(1)當(dāng)為正整數(shù)，且時(shí)，證明；(2)求.七、(本題滿分7分)某湖泊的水量為，每年排入湖泊內(nèi)含污染物的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含的水量為，流出湖泊的水量為，已知1999年底湖中的含量為，超過國(guó)家規(guī)定指標(biāo).為了治理

3、污染，從2000年初起，限定排入湖泊中含污水的濃度不超過.問至多需要經(jīng)過多少年，湖泊中污染物的含量降至以內(nèi)(注：設(shè)湖水中的濃度是均勻的)八、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證明：在 內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使九、(本題滿分7分)已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小，且在處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.十、(本題滿分8分)設(shè)曲線與交于點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線與曲線圍成一平面圖形.問為何值時(shí)，該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大？最大體積是多少？十一、(本題滿分8分)函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足等式(1)求導(dǎo)數(shù)；(2)證明：當(dāng)時(shí)，成立不等式成立十二、(本題滿

4、分6分)設(shè).其中是的轉(zhuǎn)置，求解方程十三、(本題滿7分)已知向量組與向量組 具有相同的秩，且可由線性表出，求的值.2000 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】(2)設(shè)函數(shù)由方程所確定，則【答案】【詳解】方法1：對(duì)方程兩邊求微分，有 由所給方程知，當(dāng)時(shí). 將，代入上式，有.所以，.方法2：兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，視為該方程確定的函數(shù)，有 當(dāng)時(shí)，以此代入，得，所以.(3)【答案】【詳解】由于被積函數(shù)在處沒有定義，則該積分為廣義積分.對(duì)于廣義積分，可以先按照不定積分計(jì)算，再對(duì)其求極限即可.作積分變量替換，令(4)【答案】【公式】為的斜漸近線的計(jì)算公式：【詳解】 所以，方向

5、有斜漸近線. 當(dāng)時(shí)，類似地有斜漸近線.總之，曲線的斜漸近線方程為.(5)【答案】【詳解】先求出然后帶入數(shù)值，由于，所以二、選擇題(1)【答案】D【詳解】排除法：如果，則在內(nèi)的分母必有零點(diǎn)，從而在處不連續(xù)，與題設(shè)不符.不選，若，則無論還是均有與題設(shè)矛盾，不選和.故選.(2)【答案】C【定理應(yīng)用】判斷極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在出具有二階導(dǎo)數(shù)且，那么：(1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值；【詳解】令等式中，得，無法利用判斷極值的第二充分條件，故無法判斷是否為極值或拐點(diǎn).再求導(dǎo)數(shù)(因?yàn)橄率接疫叴嬖冢宰筮呉泊嬖?：以代入，有，所以.從而知，存在去心鄰域，在此去心鄰域內(nèi)，

6、與同號(hào)，于是推知在此去心鄰域內(nèi)當(dāng)時(shí)曲線是凸的，在此去心臨域內(nèi)時(shí)曲線是凹的， 點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，選(C).(3)【答案】A【分析】由選項(xiàng)答案可知需要利用單調(diào)性證明，關(guān)鍵在于尋找待證的函數(shù). 題設(shè)中已知 想到設(shè)函數(shù)為相除的形式.【詳解】設(shè)，則則在時(shí)單調(diào)遞減，所以對(duì)，即得 ，為正確選項(xiàng).(4)【答案】【分析】本題有多種解法：(1)將含有的要求極限的表達(dá)式湊成已知極限的表達(dá)式，或反之；(2)利用極限與無窮小的關(guān)系，從已知極限中解出代入要求極限式中；(3)將具體函數(shù)用佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開化簡(jiǎn)原極限.【詳解】方法1： 湊成已知極限而 (由于)所以 方法2：由極限與無窮小關(guān)系，由已知極限式解出，從而 所以

7、方法3： 將在處按佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開至項(xiàng)：于是 從而 (5)【答案】B【詳解】由特解，對(duì)照常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程、特征根與解的對(duì)應(yīng)關(guān)系知道，為特征方程的二重根；由可知為特征方程的單根，因此特征方程為由常系數(shù)齊次線性微分方程與特征方程的關(guān)系，得該微分方程為三【詳解】方法1：為了求不定積分，首先需要寫出的表達(dá)式.為此，令，有 分部積分 拆項(xiàng)方法2：作積分變量替換，命， 分部積分 部分分式求和 四S(t)x+y=tO11111【詳解】先寫出面積的(分段)表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，圖形為三角形，利用三角形的面積公式：；當(dāng)時(shí)，圖形面積可由正方形面積減去小三角形面積，其中由于與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，于是，小三

8、角形的邊長(zhǎng)為：，所以；當(dāng)時(shí)，圖形面積就是正方形的面積：，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此 五【詳解】方法1：按萊布尼茨高階導(dǎo)數(shù)公式：為了求的階導(dǎo)數(shù)，設(shè)，；一般地，可得即 設(shè)，利用上述公式對(duì)函數(shù)展開，由于對(duì)求導(dǎo)，從三階導(dǎo)數(shù)開始就為零，故展開式中只含有前三項(xiàng).代入，得：方法2：帶佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式：求可以通過先求的的麥克勞林展開式，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)與的乘積就是在點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)值.由麥克勞林公式，所以 對(duì)照麥克勞林公式從而推知得 六【詳解】因?yàn)?，且，所?定積分的性質(zhì)又因?yàn)榫哂兄芷?，所以在長(zhǎng)度為的積分區(qū)間上的積分值均相等：，從而所以 所以 即 (2) 由(1)有，當(dāng)時(shí)，命取極限，由夾逼定理，得.七【詳

9、解】設(shè)從2000年初(相應(yīng))開始，第年湖泊中污染物的總量為，濃度為，則在時(shí)間間隔內(nèi)，排入湖泊中的量為：，流出湖泊的水中的量為.因而時(shí)間從到相應(yīng)地湖泊中污染物的改變量為：.由分離變量法求解：兩邊求積分：初始條件為，代入初始條件得. 于是，要滿足污染物的含量可降至內(nèi)，命，得. 即至多需經(jīng)過年，湖泊中A的含量降至以內(nèi).八【證明】方法1：令，有由題設(shè)有.又由題設(shè)，用分部積分，有由積分中值定理知，存在使因?yàn)?，所以推知存在使? 再在區(qū)間與上對(duì)用羅爾定理，推知存在，使，即 方法2：由及積分中值定理知，存在，使. 若在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間與內(nèi)異號(hào). 不妨設(shè)在內(nèi)，在內(nèi). 于是由，有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，仍有，

10、得到：. 矛盾，此矛盾證明了在僅有1個(gè)零點(diǎn)的假設(shè)不正確，故在內(nèi)至少有2個(gè)不同的零點(diǎn).九【詳解】為了求曲線在點(diǎn)處的切線方程，首先需要求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率. 而函數(shù)又是以周期為5的函數(shù)，且在處可導(dǎo)，則在處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值.將兩邊令取極限，由的連續(xù)性得 故，又由原設(shè)在處可導(dǎo)，兩邊同除，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得 所以，又因，所以，由點(diǎn)斜式，切線方程為以代入得 即 十【詳解】首先聯(lián)立兩式，求直線與曲線的交點(diǎn)：，得：，而，則交點(diǎn)坐標(biāo)為：. 由點(diǎn)斜式，故直線OA的方程為.由旋轉(zhuǎn)體體積公式，要求的體積就是用大體積減去小體積：為了求的最大值，對(duì)函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)， 命得唯一駐點(diǎn)，所以也是V的最大值

11、點(diǎn)，最大體積為.十一【詳解】(1) 為了求，將兩邊同乘，得 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得即 .上述方程為二階可降階微分方程，令，化為，即兩邊求積分：即 所以 令，則，于是.再以代入原方程，由，有，于是.(2)方法1：用積分證.而 兩邊同乘以，得： ，即 方法2 ：用微分學(xué)方法證.因，即單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí).要證，可轉(zhuǎn)化為證明，令，則，且 ()所以，當(dāng)時(shí)，即.結(jié)合兩個(gè)不等式，推知當(dāng)時(shí)，. 證畢.十二【詳解】由題設(shè)得，.所以 ，；，代入原方程中，得，即其中是三階單位矩陣，令，代入上式，得線性非齊次方程組 (1)顯然方程組得同解方程為 (2)令自由未知量 解得故方程組通解為，(為任意常數(shù))十三【詳解】方法1：先求將矩陣作初等行變換，得知 故，作初等行變換因?yàn)?，所以又可由線性表出，故將作初等行變換由，得，解得，及方法2：由方法1中的初等變換結(jié)果可以看出線性無關(guān)，