2013北約華約自主招生數(shù)學(xué)試題

1、2011年“北約”13校聯(lián)考自主招生數(shù)學(xué)試題2012年北約自主招生數(shù)學(xué)試題1、求的取值范圍使得是增函數(shù)；2、求的實(shí)數(shù)根的個數(shù)；3、已知的4個根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求；4、如果銳角的外接圓的圓心為，求到三角形三邊的距離之比；5、已知點(diǎn)，若點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，求面積的最小值。6、在中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個數(shù)？7、求使得在有唯一解的；8、求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個角都相等，則它為正五邊形；9、求證：對于任意的正整數(shù)，必可表示成的形式，其中2012年自主招生北約聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解答2013年北約自主招生數(shù)學(xué)試題解析1以和為兩根的有理系數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)最小是多少？解析：顯然，多

2、項(xiàng)式的系數(shù)均為有理數(shù)，且有兩根分別為和.于是知，以和為兩根的有理系數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)的最小可能值不大于5.若存在一個次數(shù)不超過4的有理系數(shù)多項(xiàng)式，其兩根分別為和，其中不全為0，則：即方程組：，有非0有理數(shù)解.由（1）+（3）得： （6）由（6）+（2）得： （7）由（6）+（4）得： （8）由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，與不全為0矛盾.所以不存在一個次數(shù)不超過4的有理系數(shù)多項(xiàng)式，其兩根分別為和.綜上所述知，以和為兩根的有理系數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)最小為5.2在的表中停放3輛完全相同的紅色車和3輛完全相同的黑色車，每一行每一列只有一輛車，每輛車占一格，共有幾種停

3、放方法？解析：先從6行中選取3行停放紅色車，有種選擇.最上面一行的紅色車位置有6種選擇；最上面一行的紅色車位置選定后，中間一行的紅色車位置有5種選擇；上面兩行的紅色車位置選定后，最下面一行的紅色車位置有4種選擇。三輛紅色車的位置選定后，黑色車的位置有3！=6種選擇。所以共有種停放汽車的方法.3已知，求的值.解析：根據(jù)條件知：由兩式相減得故或若則，解得.于是知或.當(dāng)時，.當(dāng)時.（2）若，則根據(jù)條件知：，于是，進(jìn)而知.于是知：.綜上所述知，的值為或.4如圖，中，為邊上中線，分別的角平分線，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由.解析：如圖，延長到，使得，連接.易知，所以.又因?yàn)榉謩e為的角平分線，所以，知為

4、線段的垂直平分線，所以.所以.5數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，求.解析：根據(jù)條件知：.又根據(jù)條件知：.所以數(shù)列.又.令，則，所以.即.對，兩邊同除以，有，即.令，則，于是知.所以.于是知：.6模長為1的復(fù)數(shù)，滿足，求的模長.解析：根據(jù)公式知，.于是知：.所以的模長為1.7最多能取多少個兩兩不等的正整數(shù)，使得其中任意三個數(shù)之和都為素?cái)?shù).解析：所有正整數(shù)按取模3可分為三類：型、型、型.首先，我們可以證明，所取的數(shù)最多只能取到兩類.否則，若三類數(shù)都有取到，設(shè)所取型數(shù)為，型數(shù)為，型數(shù)為，則，不可能為素?cái)?shù).所以三類數(shù)中，最多能取到兩類.其次，我們?nèi)菀字?，每類?shù)最多只能取兩個.否則，若某一類型的數(shù)至少取到三個，設(shè)

5、其中三個分別為，則，不可能為素?cái)?shù).所以每類數(shù)最多只能取兩個.結(jié)合上述兩條，我們知道最多只能取個數(shù)，才有可能滿足題設(shè)條件.另一方面，設(shè)所取的四個數(shù)為1、7、5、11，即滿足題設(shè)條件.綜上所述，若要滿足題設(shè)條件，最多能取四個兩兩不同的正整數(shù).8已知，滿足，且，求證：.解析：根據(jù)條件知:，（1）另一方面，令，則中每個數(shù)或?yàn)椋驗(yàn)?設(shè)其中有個，個，則：（2）由（1）、（2）知： （3）而為奇數(shù)，不可能為0，所以.于是知：.從而知：，即得.同理可知：.命題得證.9對任意的，求的值.解析：根據(jù)二倍角和三倍角公式知：.10已知有個實(shí)數(shù)，排列成階數(shù)陣，記作，使得數(shù)陣中的每一行從左到右都是遞增的，即對任意的，當(dāng)

6、時，都有.現(xiàn)將的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個新的階數(shù)陣，記作，即對任意的，當(dāng)時，都有.試判斷中每一行的個數(shù)的大小關(guān)系，并說明理由.解析：數(shù)陣中每一行的個數(shù)從左到右都是遞增的，理由如下：顯然，我們要證數(shù)陣中每一行的個數(shù)從左到右都是遞增的，我們只需證明，對于任意，都有，其中.若存在一組.令，其中，.則當(dāng)時，都有.也即在中，至少有個數(shù)小于，也即在數(shù)陣的第列中，至少排在第行，與排在第行矛盾.所以對于任意，都有，即數(shù)陣中每一行的個數(shù)從左到右都是遞增的. 2011年高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試（華約）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

7、2將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)復(fù)數(shù)z滿足且，則（A）（B） （C）（D）【答案】D2在正四棱錐P-ABCD中，M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，且側(cè)面與地面所成二面角的正切值為。則一面直線DM與AN所成交角的余弦值為（A）（B） （C）（D）【答案】B3過點(diǎn)的直線與曲線相切，且不是切點(diǎn)，則直線的斜率是（A）2（B）1 （C）（D）【答案】C4若，則的最小值和最大值分別為（A） （B） （C）（D）【答案】BB A O1 O O2 C 5如圖，O1和O2

8、外切于點(diǎn)C，O1，O2又都和O內(nèi)切，切點(diǎn)分別為A，B。，則（A）（B）（C）（D）【答案】B或C？6已知異面直線所成60°角，A為空間中一點(diǎn)，則過A與都成45°角的平面（A）有且只有一個（B）有且只有兩個（C）有且只有三個（D）有且只有四個【答案】B7已知向量，。則 的最小值為（A）1 （B） （C） （D）2【答案】B8AB過拋物線焦點(diǎn)F的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，C為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則的正切值為（A）（B）（C）（D）【答案】ABACDEF9如圖，已知ABC的面積為2，D，E分別為邊AB，邊AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，設(shè)，且，則BDF面積的最大值為（A）（B）（

9、C）（D）【答案】D10將一個正11邊形用對角線劃分為9個三角形，這些對角線在正11邊形內(nèi)兩兩不相交，則（A）存在某種分法，所分出的三角形都不是銳角三角形（B）存在某種分法，所分出的三角形恰有2個是銳角三角形（C）存在某種分法，所分出的三角形至少有3個銳角三角形（D）任何一種分法所分出的三角形都恰有1個銳角三角形【答案】二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。11（本小題滿分14分）已知ABC不是直角三角形。（I）證明：；（II）若，且的倒數(shù)成等差數(shù)列，求的值。12（本小題滿分14分）已知圓柱形水杯質(zhì)量為a克，其重心在圓柱軸的中點(diǎn)處（杯底厚度及重量忽略不計(jì)，且水杯直立放置）。質(zhì)量為

10、b克的水恰好裝滿水杯，裝滿水后的水杯的重心還在圓柱軸的中點(diǎn)處。（）若，求裝入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值；（）水杯內(nèi)裝多少克水可以使裝入水后的水杯的重心最低？為什么？13（本小題滿分14分）已知函數(shù)，令，。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：。14（本小題滿分14分）已知雙曲線（），分別為C的左、右焦點(diǎn)，P為C右支上一點(diǎn)，且使，又F1PF2的面積為。（）求C的離心率e；（）設(shè)A為C的左頂點(diǎn)，Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點(diǎn)，問是否存在常數(shù)，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。15（本小題滿分14分）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率。（）

11、求和；（）探究數(shù)列的遞推公式，并給出證明；（）討論數(shù)列的單調(diào)性及其極限，并闡述該極限的概率意義。解答：（1），。（）如果第n次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是；如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是；如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是。如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，那么已經(jīng)出現(xiàn)連續(xù)3次正面，所

12、以不需要考慮。綜上，有（）。其中，。我們先定義幾個函數(shù)：f(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，至少有連續(xù)3次相同，總共有f(n)種情況。g(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，至多連續(xù)2次相同（可以有不同的連續(xù)2次相同），且最后2次連續(xù)相同，總共有g(shù)(n)種情況。h(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，至多連續(xù)2次相同（可以有不同的連續(xù)2次相同），且最后2次不相同，總共有h(n)種情況。顯然，下面的等式成立：f(n)+g(n)+h(n)=2nf(n)=2f(n-1)+g(n-1)g(n)=h(n-1)化簡得：g(n+1)=g(n)+g(n-1)這個著名數(shù)列就不再啰嗦了最后由g(n)求得f(n

13、)當(dāng)然，最后的結(jié)果是f(n)/2,因?yàn)檫B續(xù)正與連續(xù)負(fù)的情況是相等的2012年高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試（華約）數(shù)學(xué)部分注意事項(xiàng)：1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2. 將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、 選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）在銳角中，已知,則的取值范圍為（ ）(A) (B) (C) (D) （2）紅藍(lán)兩色車、馬、炮棋子各一枚，將這6枚棋子排成一列，其中每對同字的棋子中，均為紅棋子在前，藍(lán)棋子在后，滿足這種條件的不同的排列方式共有（ ）(A

14、) 36種 (B) 60種 (C) 90種 (D)120種（3）正四棱錐中，側(cè)棱與底面所成角為，側(cè)面與底面所成二面角為，側(cè)棱與底面正方形的對角線所成角為，相鄰兩側(cè)面所成二面角為， 則之間的大小關(guān)系是（ ） (A) (B) (C) (D) （4）向量，。若，則（ ）(A) (B) (C) (D) （5）若復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，是復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是( )(A) 一條直線 (B) 一條線段 (C) 一個圓 (D)一段圓?。?）橢圓長軸長為4，左頂點(diǎn)在圓上，左準(zhǔn)線為軸，則此橢圓離心率的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) （7）已知三棱錐的底面為正三角形，點(diǎn)在側(cè)面上的射影是的垂心，二

15、面角為30°，且，則此三棱錐的體積為（ ）(A) (B) (C) (D) （8）如圖，在銳角中，邊上的高與邊上的高交于點(diǎn)。以為直徑作圓與的另一個交點(diǎn)為。已知，則的長為（ ）(A) (B) (C)10 (D) （9）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，。是數(shù)列的前項(xiàng)和。則（ ）(A) 0 (B) (C) (D) （10）已知，當(dāng)取得最大值時，在 這十個數(shù)中等于的數(shù)共有（ ）(A) 1個 (B) 2個 (C)3個 (D) 4個二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（11）(本小題滿分14分)在中，的對邊分別為。已知 求的大小 若，求的值（12）(本小題滿分14分)已知兩點(diǎn)，動點(diǎn)在軸上的射

16、影是，且 求動點(diǎn)的軌跡的方程 已知過點(diǎn)的直線交曲線于軸下方不同的兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，過于點(diǎn)作直線，求直線斜率的取值范圍。（13）(本小題滿分14分)系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件正常工作的事件相互獨(dú)立，如果系統(tǒng)中有多于一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作。系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性。（1） 某系統(tǒng)配置有個元件，為正整數(shù)，求該系統(tǒng)正常工作概率的表達(dá)式（2） 現(xiàn)為改善（1）中系統(tǒng)的性能，擬增加兩個元件。試討論增加兩個元件后，能否提高系統(tǒng)的可靠性。(14) (本小題滿分14分)記函數(shù)證明：當(dāng)是偶數(shù)時，方程沒有實(shí)根；當(dāng)是奇數(shù)時，方程有唯一的實(shí)根，且。(15) (本小題滿分14分)某乒

17、乓球培訓(xùn)班共有位學(xué)員，在班內(nèi)雙打訓(xùn)練賽期間，每兩名學(xué)員都作為搭檔恰好參加過一場雙打比賽。試確定的所有可能值并分別給出對應(yīng)的一種安排比賽的方案。2012年華約數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題ACBCA B略DDC二、解答題11解：（1）C=2/3；（2）=3/412解：（1） 設(shè)P(x,y),則H(0，y),由（2） 令CD:代入，整理得因?yàn)橹本€在x軸下方交P點(diǎn)軌跡于C()，D()兩點(diǎn)所以上式有兩個負(fù)根，由根據(jù)韋達(dá)定理，得CD中點(diǎn)M的坐標(biāo)為代入直線MQ的方程y+2=kx,(k為其斜率)得所以，k=,(1.13解答：顯然,注意到，所以=因此，當(dāng)p時，遞增，當(dāng)P時，遞減。14證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明有唯一解且嚴(yán)

18、格單調(diào)遞增，無實(shí)數(shù)解，顯然n=1時，此時有唯一解，且嚴(yán)格單調(diào)遞增，而無實(shí)數(shù)解，現(xiàn)在假設(shè)有唯一解且嚴(yán)格單調(diào)遞增，無實(shí)數(shù)解，于是注意到時，對任意的0kn有x+2k+10,于是，所以又因?yàn)樗杂蓢?yán)格遞增知有唯一根0，對于有，所以（，）上，遞減，在（，+）上，遞增，所以因此，無實(shí)數(shù)解綜上所述，對任意正整數(shù)n,當(dāng)為偶數(shù)時無解，當(dāng)為奇數(shù)有唯一解。再證，事實(shí)上，由的嚴(yán)格單調(diào)性，只需驗(yàn)證，注意到，由上述歸納法證明過程中，所以，因此，綜上所述，原命題得證。15假設(shè)比賽了K場，那么由題目假設(shè)，一場比賽出現(xiàn)了2對隊(duì)友，所以=2k，也就是說4k=n(n-1)，那么得到n=4l或者4l+1,期中l(wèi)N，下邊證明，對于任意

19、的n=4l，或者4l+1,其中l(wèi)N,都可以構(gòu)造出滿足要求的比賽：n=4l+1,的時候，對于L使用數(shù)學(xué)歸納法：（1） 當(dāng)L=1的時候，N=5，此時假設(shè)這5名選手為A,B,C,D,E,那么如下安排比賽即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.（2） 設(shè)當(dāng)L=M時結(jié)論成立，則L=M+1時，設(shè)4M+5選手為A,B,C,D,E，由歸納假設(shè)，可以安排E,之間的比賽，使得他們之間每兩位選手的作為隊(duì)友恰好只參加過一次比賽，還剩下A,B,C,D，E,相互的比賽和A,B,C,D與之間的比賽，A,B,C，D與之間的比賽安排如下：A與B,A與B,C與D,C與D,滿足要求。最后將這些比賽總計(jì)起來

20、，就是滿足要求的4M+5位選手之間的的比賽了。由數(shù)學(xué)歸納法得證，N=4L時，對L使用數(shù)學(xué)歸納法，可以類似方法證明（略）。綜上所述，N的所有可能取值是N=4L或4L+1，其中LN. 2013年華約自主招生數(shù)學(xué)試題解析1.設(shè)，且中元素滿足：任意一個元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9；（1）求中的兩位數(shù)和三位數(shù)的個數(shù)；（2）是否存在五位數(shù)，六位數(shù)？（3）若從小到大排列中元素，求第1081個元素.解析：將0，1，9這10個數(shù)字按照和為9進(jìn)行配對，考慮（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），中元素的每個數(shù)位只能從上面五對數(shù)中每對至多取一個數(shù)構(gòu)成.

21、（1）兩位數(shù)有個；三位數(shù)有個；（2）存在五位數(shù)，只需從上述五個數(shù)對中每對取一個數(shù)即可構(gòu)成符合條件的五位數(shù)；不存在六位數(shù)，由抽屜原理易知，若存在，則至少要從一個數(shù)對中取出兩個數(shù)，則該兩個數(shù)字之和為9，與中任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9矛盾，因此不存在六位數(shù).（3）四位數(shù)共有個，因此第1081個元素是四位數(shù)，且是第577個四位數(shù)，我們考慮千位，千位1，2，3的四位數(shù)有個，因此第1081個元素是4012.2.已知，求.解析：由，平方相加得，另一方面由得，由得，除以得，因此.3.點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，其中，且在軸同側(cè).（1）求中點(diǎn)的軌跡；（2）曲線與拋物線相切，求證：切點(diǎn)分別在兩條定直線上，并求切線方程.解析：（1）設(shè)，則，由得，即，又，于是的軌跡方程為，于是中點(diǎn)的軌跡的焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為2的雙曲線.（2）