1999考研數(shù)三真題及解析

1、1999 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。把答案填在題中橫線上。)(1) 設(shè)有一個(gè)原函數(shù)，則 (2) (3) 設(shè)，而為整數(shù)，則 (4) 在天平上重復(fù)稱量一重為的物品，假設(shè)各次稱量結(jié)果相互獨(dú)立且同服從正態(tài)分布.若以表示次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，則為使，的最小值應(yīng)不小于自然數(shù) (5) 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，則行列式的數(shù)學(xué)期望 二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在提后的括號(hào)內(nèi)。)(1) 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是的原函數(shù)，則 ( )(A) 當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，必是偶函數(shù)。(B)

2、當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，必是奇函數(shù)。(C) 當(dāng)是周期函數(shù)時(shí)，必是周期函數(shù)。(D) 當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，必是單調(diào)增函數(shù)。(2) 設(shè)連續(xù)，且，其中是由所圍成的區(qū)域，則等于 ( )(A) (B) (C) (D)(3) 設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由向量組()線性表示，記向量組()，則 ( )(A) 不能由(I)線性表示，也不能由()線性表示。(B) 不能由(I)線性表示，但可由()線性表示。(C) 可由(I)線性表示，也可由()線性表示。(D) 可由(I)線性表示，但不可由()線性表示。(4) 設(shè)為階矩陣，且與相似，為階單位矩陣，則 ( )(A) (B)與有相同的特征值和特征向量.(C)與都相似于一個(gè)對(duì)角矩

3、陣. (D)對(duì)任意常數(shù)，與相似.(5) 設(shè)隨機(jī)變量，且滿足，則 等于( )(A) 0. (B) . (C) . (D) 1.三、(本題滿分6分)曲線的切線與軸和軸圍成一個(gè)圖形，記切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試求切線方程和這個(gè)圖形的面積，當(dāng)切點(diǎn)沿曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該面積的變換趨勢(shì)如何？四、(本題滿分7分)計(jì)算二重積分，其中是由直線以及曲線所圍成的平面區(qū)域。五、(本題滿分6分)設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品必須投入兩種要素，和分別為兩要素的投入量，為產(chǎn)出量；若生產(chǎn)函數(shù)為，其中為正常數(shù)，且.假設(shè)兩種要素的價(jià)格分別為和，試問：當(dāng)產(chǎn)出量為12時(shí)，兩要素各投入多少可以使得投入總費(fèi)用最??？六、(本題滿分6分)設(shè)有微分方程，其中試求:

4、在內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，使之在和內(nèi)都滿足所給方程，且滿足條件.七、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)連續(xù)，且.已知，求的值.八、(本題滿分7分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.試證：(1)存在，使； (2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在，使得.九、(本題滿分9分)設(shè)矩陣，且.又設(shè)的伴隨矩陣有特征值，屬于的特征向量為，求及的值.十、(本題滿分7分)設(shè)為實(shí)矩陣，為階單位矩陣.已知矩陣，試證：當(dāng)時(shí)，矩陣為正定矩陣.十一、(本題滿分9分)假設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布.記， (1) 求和的聯(lián)合分布； (2) 求和的相關(guān)系數(shù).十二、(本題滿分7分)設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，證明統(tǒng)計(jì)量服從自由度為2的分布.1999 年全國(guó)

5、碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】由題設(shè)可知.由分部積分法，得(2)【答案】4【詳解】考慮冪級(jí)數(shù)，由可知，該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為，則.記，兩邊從到積分，得所以 所以 (3) 【答案】【詳解】，根據(jù)矩陣的乘法，以及數(shù)與矩陣相乘，矩陣的每一個(gè)元素都要乘以該數(shù)，有故有 或由，式子左右兩端同右乘，得，即，得 或由，式子左右兩端同右乘，得，式子左右兩端再同乘，得，依次類推，得 所以 (4)【答案】 【概念和性質(zhì)】(1) 獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì)：服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布；(2) 期望的性質(zhì)：， (其中為常數(shù))；(3) 方差的性質(zhì): ；

6、若獨(dú)立，則(4) 正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化：若，則【詳解】由題知：，且相互獨(dú)立，故，其中 ，所以 所以 ，標(biāo)準(zhǔn)化得 則只需將中大括號(hào)里的不等式兩端同除以標(biāo)準(zhǔn)差，即有：因 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知 所以，解得. 因?yàn)檎麛?shù)，所以最小為16.(5)【答案】 【概念和性質(zhì)】(1) ；(2)若獨(dú)立，則有【詳解】由行列式的定義知，行列式是由個(gè)元素的乘積組成的項(xiàng)和式，每一項(xiàng)都是個(gè)元素的乘積，這個(gè)元素取自行列式中不同行和不同列，在這全部項(xiàng)中每項(xiàng)都帶有正號(hào)或負(fù)號(hào).由于隨機(jī)變量獨(dú)立，所以有所以前面無(wú)論取正號(hào)或者負(fù)號(hào)，對(duì)和式的期望等于各項(xiàng)期望之和. 即有而同分布，且所以 (行列式的性質(zhì)：若行列式兩行(列)成比例，則行列式為0).

7、二、選擇題(1)【答案】( A )【詳解】應(yīng)用函數(shù)定義判定函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性.的原函數(shù)可以表示為于是當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，從而有即 F(x)為偶函數(shù). 故(A)為正確選項(xiàng).(B)、(C)、(D)可分別舉反例如下：是偶函數(shù)，但其原函數(shù)不是奇函數(shù)，可排除(B)；是周期函數(shù)，但其原函數(shù)不是周期函數(shù)，可排除(C)；在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，但其原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)非單調(diào)增函數(shù)，可排除(D).(2)【答案】(C)【詳解】因?yàn)闉橐淮_定的數(shù)，不妨設(shè)，則，所以 ，解之得，所以，故應(yīng)選(C).(3)【答案】(B)【詳解】方法1：可由向量組線性表示，即存在常數(shù)使得 (*)不能由線性表出，從而知（若，則，這和不能由線性表出

8、矛盾.）(*)可變?yōu)?，上式兩端同除能?)線性表示，排除(A)(D).不能由線性表示，若能，即存在常數(shù)使得，代入(*)得這和不能由線性表出矛盾，排除(C).故應(yīng)選(B).方法2：若取，則，即可由線性表出.假設(shè)存在常數(shù)，滿足因?yàn)椋捶匠探M的系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，故方程組無(wú)解，即不存在常數(shù)，滿足，不能由線性表出，是滿足題設(shè)條件的一個(gè)特例，此時(shí)，不能由()線性表示，若存在常數(shù)，滿足因?yàn)?，即方程組的系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，故方程組無(wú)解，不存在常數(shù)，滿足，故不能由()線性表示，但因?yàn)?，即可?)線性表示，故應(yīng)選(B).(4)【答案】(D)【詳解】方法1：相似于，根據(jù)矩陣相似的定義，則存

9、在可逆陣，使得，則根據(jù)矩陣相似的定義，則相似于，應(yīng)選(D).方法2：排除法(A) 不成立. 若，則，而已知只是相似.(B) 不成立. 與相似，根據(jù)矩陣相似的定義，即存在可逆陣，使得，從而有(把代入) () (矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積) (矩陣逆的行列式等于行列式的逆，故)從而，有相同特征多項(xiàng)式，故有相同的特征值.若，在的兩邊同時(shí)左乘，右乘，得，故，在上式兩邊左乘，得，根據(jù)特征值和特征向量的定義，的屬于特征值的特征向量是，而的屬于特征值的特征向量，它們并不相同.(C)不成立. 相似時(shí)，也可能它們本身都不相似于對(duì)角陣. 例如，因存在可逆陣，使得，則根據(jù)矩陣相似的定義，知，但都不相似于對(duì)角陣

10、.若能相似于對(duì)角陣，即可相似對(duì)角化. 先求特征值，特征多項(xiàng)式為，令得的兩個(gè)特征值0.若相似于對(duì)角陣，則存在可逆矩陣，使得，上式兩端同時(shí)左乘，右乘，得，與矛盾，故不可相似對(duì)角化.若能相似于對(duì)角陣，即可相似對(duì)角化.先求特征值，特征多項(xiàng)式為，令得的兩個(gè)特征值0. 若相似于對(duì)角陣，則存在可逆矩陣，使得，上式兩端同時(shí)左乘，右乘，得，與矛盾，故不可相似對(duì)角化.(5)【答案】 ()【詳解】給定和的概率分布，求和的聯(lián)合分布，所給條件為，這就需要從這個(gè)條件入手. 由于事件包括事件：所以從正面研究其概率是研究不清的，在這種情況下，往往需要通過其對(duì)立事件來(lái)研究.根據(jù)，有所以有 而根據(jù)概率的非負(fù)性有：而 又根據(jù)邊緣概

11、率的定義：( 通俗點(diǎn)說(shuō)就是在求關(guān)于的邊緣分布時(shí)，就把對(duì)應(yīng)的所有都加起來(lái)，同理求關(guān)于的邊緣分布時(shí)，就把對(duì)應(yīng)的所有都加起來(lái) )由 故 同理可得又 而由已知，所以得 故三【詳解】曲線在曲線上點(diǎn)處的切線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程得切線方程 ，分別令得到與軸，軸的交點(diǎn)分別為與. 于是切線與軸和軸圍成一個(gè)直角三角形，由三角形的面積公式得.當(dāng)切點(diǎn)按軸正項(xiàng)趨于無(wú)窮大時(shí)，這時(shí)，所以當(dāng)切點(diǎn)按軸正項(xiàng)趨于無(wú)窮大時(shí)，這時(shí)，所以四【詳解】O xD D1y2解法1：區(qū)域和如圖所示，有顯然 在極坐標(biāo)系下，有因此于是 解法2：如圖所示， 令，有，則 五【詳解】設(shè)兩種要素的總投入費(fèi)用為，則由題意得，題目問產(chǎn)出量為12時(shí)，兩要素

12、各投入多少可以使得投入總費(fèi)用最小，即是求函數(shù)在約束條件下的條件最值. 按格朗日數(shù)乘法，作函數(shù)，為求駐點(diǎn)求偏導(dǎo)并令其為零，即由前兩式可得，解出代入第三個(gè)式子，得，因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題在，的范圍內(nèi)存在最小值，故，時(shí)為最小.六【公式】形如 ，方程的通解為【詳解】由于所求函數(shù)在和都滿足所給微分方程，故在兩個(gè)區(qū)間上分別求微分方程，即 ，解得 ，其中為常數(shù).化簡(jiǎn)得 由題設(shè)，其中，可知，解得所以有 又因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，所以即 解之得 故所求連續(xù)函數(shù)為 七【詳解】中的變量是，故設(shè)法把“轉(zhuǎn)移”到外，令，則，所以代入得 方法1：將等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得 化簡(jiǎn)得 令得，化簡(jiǎn)得 方法2：引入的一個(gè)原函數(shù)，則于是 所以 ，

13、兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 即 即 令得，八【詳解】(1) 構(gòu)造函數(shù)，則在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，所以由介值定理得，存在一點(diǎn)，使得即存在一點(diǎn)，使得，原命題得證.(2) 令，解微分方程得 ，即 令 因?yàn)?，所以，在上由羅爾定理知，必然存在點(diǎn)，使得即 即 九【詳解】(1) 因?yàn)橛钟刹糠趾蛿?shù)列有 因此 (2) 先估計(jì)的值，因?yàn)?，令，則，即所以 所以 由于，所以收斂，從而也收斂.十【詳解】方法1：，根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的定義，故是實(shí)對(duì)稱陣.對(duì)任意的非零向量，有因，故有.(設(shè)，則中至少一個(gè)不為零，則中至少一個(gè)大于零，故)(設(shè)，因?yàn)橛锌赡転榱?，即有可能，故這里可能取等號(hào).)故當(dāng)時(shí)，.對(duì)任意的，均有由正定矩陣的定義，得證：

14、是正定矩陣.方法2：正定的全部特征值大于零設(shè)有特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為，由特征值和特征向量的定義，將代入，得，其中上式兩邊左乘，得變形得 因，設(shè)，則中至少一個(gè)不為零，則中至少一個(gè)大于零，故(設(shè)，因?yàn)橛锌赡転榱?，即有可能，故這里可能取等號(hào).)故 所以，當(dāng)時(shí)，有，故知的特征值全部大于零，是正定矩陣.十一【定義】(1)相關(guān)系數(shù)); (2)協(xié)方差; (3)離散型隨機(jī)變量期望; (4)方差的定義：【詳解】(1) 由題知均服從分布， ，1O21二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布(根據(jù)二維均勻分布的性質(zhì)，各部分所占的概率是其面積與總面積之比)所以，如圖所示：有四個(gè)可能值：(2) 由根據(jù)邊緣概率的定義：有 而 即 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 所以 ，所以 又 ，所以 ，故 十二【概念和性質(zhì)】(1) ；