二次函數(shù)存在性問題

1、 二次函數(shù)與幾何綜合類存在性二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題問題第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相似三角形常常綜合在二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相似三角形常常綜合在一起運(yùn)用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把一起運(yùn)用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)數(shù)”與與“形形”結(jié)合起來，互相滲透存在探索型問題是指在給定條件結(jié)合起來，互相滲透存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的問下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的問題解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，題解決這

2、類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例例1 1 20132013重慶重慶 如圖如圖42421 1，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸為直線x x1 1的拋的拋物線物線y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)與與x x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為A A、B B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，0)0)(1)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)B B的坐標(biāo)；的坐標(biāo)

3、；(2)(2)已知已知a a1 1，C C為拋物線與為拋物線與y y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)若點(diǎn)若點(diǎn)P P在拋物線上，且在拋物線上，且S SPOCPOC4S4SBOCBOC，求點(diǎn)求點(diǎn)P P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q Q是線段是線段ACAC上的動(dòng)點(diǎn)，作上的動(dòng)點(diǎn)，作QDxQDx軸交拋物線于點(diǎn)軸交拋物線于點(diǎn)D D，求線段，求線段QDQD長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值探究一探究一 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合二次函數(shù)與三角形的結(jié)合圖圖42421 1第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 例題分層分析例題分層分析 (1)(1)拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定拋物線的解析式未知，

4、不能通過解方程的方法確定點(diǎn)點(diǎn)B B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，能求出的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，能求出B B點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？(2)(2)要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？由由a a1 1，A(A(3 3，0)0)，B(1B(1，0)0)三個(gè)條件試一試；三個(gè)條件試一試；(3)(3)根據(jù)根據(jù)S SPOCPOC4S4SBOCBOC列出關(guān)于列出關(guān)于x x的方程，解方程求出的方程，解方程求出x x的值；的值；(4)(4)如何用待定系數(shù)法求出直線如何用待定系數(shù)法求出直線ACAC的解析式？的解析式？(5)D(5)D點(diǎn)的坐標(biāo)怎么用點(diǎn)的坐標(biāo)怎么用x x來表示？來表示？(

5、6)QD(6)QD怎樣用含怎樣用含x x的代數(shù)式來表示？的代數(shù)式來表示？(7)QD(7)QD與與x x的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大值？值？第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題解題方法點(diǎn)析解題方法點(diǎn)析 以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點(diǎn)存在性問題是以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點(diǎn)存在性問題是以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，判斷三角形滿足某以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，判斷三角形滿足某些關(guān)于點(diǎn)的條件時(shí)，是否存在的問題，這類問題有關(guān)于些關(guān)于點(diǎn)的條件時(shí)，是否存在的問題，這類問題有關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)、線段、三角形等類

6、型之分這類試題集代點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)、線段、三角形等類型之分這類試題集代數(shù)、幾何知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變數(shù)、幾何知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變 第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 解解第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例例2 2 20132013棗莊棗莊 如圖如圖42422 2，在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)二次函數(shù)y yx x2 2bxbxc c的圖象與的圖象與x x軸交于軸交于A A、B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，B B點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為

7、(3(3，0)0)，與，與y y軸交于軸交于C(0C(0，3)3)，點(diǎn)，點(diǎn)P P是直線是直線BCBC下下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(1)(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)(2)連接連接POPO、PCPC，并將，并將POCPOC沿沿y y軸對(duì)折，得到四邊形軸對(duì)折，得到四邊形POPCPOPC，那么是否存在點(diǎn)，那么是否存在點(diǎn)P P，使得四邊形，使得四邊形POPCPOPC為菱形？為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P P的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；不存在，請(qǐng)說明理由；(3)(3)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形四邊形ABPCA

8、BPC的面積最大？求的面積最大？求出此時(shí)出此時(shí)P P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形A ABPCBPC的最大面積的最大面積探究二探究二 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 圖圖42422 2第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析例題分層分析(1)(1)圖中已知拋物線上幾個(gè)點(diǎn)？圖中已知拋物線上幾個(gè)點(diǎn)？將將B B、C C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；(2)(2)畫出四邊形畫出四邊形POPCPOPC，若四邊形，若四邊形POPCPOPC為菱形，那么為菱形，那么P P點(diǎn)必點(diǎn)必在在OCOC的垂直平分線上，由此能求出的垂直平分

9、線上，由此能求出P P點(diǎn)坐標(biāo)嗎？點(diǎn)坐標(biāo)嗎？(3)(3)由于由于ABCABC的面積為定值，求四邊形的面積為定值，求四邊形ABPCABPC的最大面積，即的最大面積，即求求BPCBPC的最大面積的最大面積解題方法點(diǎn)析解題方法點(diǎn)析求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補(bǔ)法把四邊形面求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補(bǔ)法把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 解解第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

10、第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題探究三探究三 二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合 圖圖42423 3第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析例題分層分析(1)將將_代入代入yax22axc，求出拋物線的解，求出拋物線的解析式；析式；(2)根據(jù)根據(jù)_的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解的解析式；析式；(3)根據(jù)拋物線和直線根據(jù)拋物線和直線AC的解析式如何表示出點(diǎn)的解析式如何表示出點(diǎn)P、點(diǎn)、點(diǎn)M的的坐標(biāo)和坐標(biāo)和PM的長(zhǎng)？的長(zhǎng)？(4)由于由于PFC和和AEM都是直角，都是

11、直角，F(xiàn)和和E對(duì)應(yīng)，則若以對(duì)應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：討論：PFC_，PFC_第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題解題方法點(diǎn)析解題方法點(diǎn)析 此類問題常涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函此類問題常涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三直角三角形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確時(shí)，要分類討論，以免漏角形的對(duì)應(yīng)邊和

12、對(duì)應(yīng)角不明確時(shí)，要分類討論，以免漏解解第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 解解第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題探究四探究四 二次函數(shù)與圓的結(jié)合二次函數(shù)與圓的結(jié)合 例例4 4 20132013巴中巴中 如圖如圖42424 4，在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)為O O，A A點(diǎn)坐標(biāo)為

13、點(diǎn)坐標(biāo)為(4(4，0)0)，B B點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為( (1 1，0)0)，以以ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)P P為圓心，為圓心，ABAB為直徑作為直徑作PP與與y y軸的正半軸交于軸的正半軸交于點(diǎn)點(diǎn)C.C.(1)(1)求經(jīng)過求經(jīng)過A A、B B、C C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)(2)設(shè)設(shè)M M為為(1)(1)中拋物線的頂點(diǎn)，求中拋物線的頂點(diǎn)，求直線直線MCMC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(3)(3)試說明直線試說明直線MCMC與與PP的位置關(guān)系，的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論圖圖42424 4第第42講講二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析例題分層分析(1)(1)已知拋物線上的哪兩個(gè)點(diǎn)？設(shè)經(jīng)過已知拋物線上的哪兩個(gè)點(diǎn)？設(shè)經(jīng)過A A、B B、C C三點(diǎn)的拋三點(diǎn)的拋物線解析式是物線解析式是y ya(xa(x4)(x4)(x1)1)，如何求出，如何求出C C點(diǎn)坐標(biāo)？點(diǎn)坐標(biāo)？(2)(2)怎么求出頂點(diǎn)怎么求出頂點(diǎn)M M的坐標(biāo)？的坐標(biāo)？(3)(3)若直線若直線MCMC與與PP相切，如何去求證？相切，如何去求證？解題方法點(diǎn)析解題方法點(diǎn)析 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)理