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1、角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)第一課時第一課時 不利用工具,請你將一張用紙不利用工具,請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法?么辦法?AOBC活活 動動1(對折)(對折)1、如圖,是一個角平分儀,、如圖,是一個角平分儀,其中其中AB=AD,BC=DC。將點將點A放在角的頂點放在角的頂點,AB和和AD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一畫一條射線條射線AE,AE就是角平分線,就是角平分線,你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎?活活 動動2ADBCE 如果前面活動中的紙片換成木板、如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角,又該怎么辦呢?鋼

2、板等沒法折的角,又該怎么辦呢?p2、證明: 在ACD和和ACB中中 AD=AB(已知)(已知) DC=BC(已知)(已知) CA=CA(公共邊)(公共邊) ACD ACB(SSS) CAD=CAB(全等三角形的(全等三角形的 對應(yīng)邊相等)對應(yīng)邊相等) AC平分平分DAB(角平分線的定義)(角平分線的定義)ADBCE 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線?(不用角平分作一個角的平分線?(不用角平分儀或量角器)儀或量角器)OABCE活活 動動3NOMCENM分別以,為分別以,為圓心大于圓心大于 的長為的長為半徑作弧兩弧在半徑作弧兩弧在AOB的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于21作

3、法:作法:以為圓心,適當(dāng)以為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,交于,長為半徑作弧,交于,交于交于作射線作射線OC則則射線即為所求射線即為所求 1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過上面的步驟,得到射線通過上面的步驟,得到射線OCOC以后,以后,把它反向延長得到直線把它反向延長得到直線CDCD,直線,直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關(guān)系?是什么關(guān)系? 3 3結(jié)論:結(jié)論:作平角的平分線即可平分平角,作平角的平分線即可平分平角,由此也得到由此也得到過直線上一點作這條直線的垂過直線上一點作這條直線的垂線的方法。線的方法?;罨?動動4ABOCD探究角平分線的性質(zhì) (1)實驗實驗:將:將AOB對折,再折

4、出一個直角對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?活活 動動5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分線上的點到角的角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等兩邊的距離相等. .證明:證明:OC平分平分 AOB (已知)(已知) 1= 2(角平分線的定義)(角平分線的定義) PD OA,PE OB(已知)(已知) PDO= PEO(垂直的定義)(垂直的定義) 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO(已證)(已證) 1= 2 (已證)(已證) OP=O

5、P (公共邊)(公共邊) PDO PEO(AAS) PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)(全等三角形的對應(yīng)邊相等) P PA AOOB BC CE EDD12已知:如圖,已知:如圖,OCOC平分平分AOBAOB,點,點P P在在OCOC上,上,PDOAPDOA于點于點DD,PEOBPEOB于點于點E E求證求證: PD=PE: PD=PE探究角平分線的性質(zhì)探究角平分線的性質(zhì)活活 動動5(3)驗證猜想驗證猜想(4)得到角得到角平分線的平分線的性質(zhì):性質(zhì):活活 動動5 利 用 此 性 質(zhì)利 用 此 性 質(zhì)怎樣書寫推理過怎樣書寫推理過程程?(幾何語言幾何語言) 1= 2, PD OA, PE OB(

6、已知)(已知)PD=PE(全等三(全等三角形的對應(yīng)邊相等)角形的對應(yīng)邊相等)P PA AOOB BC CE EDD12OABED思考:思考:如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點一點,問問PE=PD?為什么為什么?CPPD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不它們不是角平分線上任一點這個角兩是角平分線上任一點這個角兩邊的距離邊的距離,所以不一定相等直所以不一定相等直 如 圖 : 在如 圖 : 在 A B C 中 ,中 ,C=90 AD是是BAC的平分的平分線,線,DEAB于于E,F(xiàn)在在AC上,上,BD=DF; 求證:求證:CF=EBACDEBF 分析分

7、析:要證要證CF=EB,首先我們想到的是要證它首先我們想到的是要證它們所在的兩個三角形全等們所在的兩個三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個條件現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等),還需還需要我們找什么條件要我們找什么條件DC=DE (因為角的平分線的性質(zhì)因為角的平分線的性質(zhì)) 再用再用HL證明證明.試試自己寫試試自己寫證明。你一證明。你一定行!定行!從這節(jié)課中你從這節(jié)課中你有哪些收獲?有哪些收獲?1 1:畫一個已知角的角平分線;:畫一個已知角的角平分線;( (注意作圖痕跡和幾何語言的表達(dá)注意作圖痕跡和幾何語言的表達(dá)) )及畫一條已知直線的垂線;及畫一條已知直線的垂線;2 2:角平分線的性質(zhì):角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點到角的兩邊的角的平分線上的點到角的兩邊的距離距離相等相等 3:角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用:角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用BOACDPE1.如圖,如圖,OC是是AOB的平分線,的平分線, PD=PEPDOA,PEOB2.如圖如圖,在在ABC中,中,ACBC,AD為為BAC的平的平分線,分線,DEAB,AB7,AC3,求,求BE的長。的長。EDCBA3.在在RtABC中,中,BD平分平分A

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