一元函數(shù)的積分學(xué)

1、第三章 一元函數(shù)的積分學(xué)§1 不定積分【考試要求】1理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式.2掌握不定積分的換元積分法和分部積分法.3會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的積分和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分.一、基本概念 1原函數(shù)與不定積分定義若，則稱是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).（一般地，“在區(qū)間內(nèi)”幾個(gè)字常省略）.若是的一個(gè)原函數(shù)，則也是的原函數(shù)（其中為任意常數(shù)），的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記作.若是的一個(gè)原函數(shù)，則.2不定積分與原函數(shù)的關(guān)系（1）不定積分與原函數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者是個(gè)集合，后者是該集合中的一個(gè)元素，因此.（2）設(shè)，是的任意兩個(gè)原函數(shù)，則（）.（3）原函數(shù)的幾

2、何意義：稱為的積分曲線，其上橫坐標(biāo)為處的切線互相平行. 3原函數(shù)存在定理設(shè)在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)必有原函數(shù).4不定積分的基本性質(zhì)（1） (為常數(shù))； （2）；（3）求導(dǎo)與求不定積分互為逆運(yùn)算 ， ； ， ；5基本積分公式(熟練掌握)（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； (7) ； (8) ；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）；（19）； （20）；（21）； （22）.6初等函數(shù)的原函數(shù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必有原函數(shù)，但它的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)不能用初等函數(shù)來(lái)表示（積不出來(lái)）的不定積分如下： ， ， ， ，

3、 ， ， ，等二、不定積分的積分法1公式法 將被積函數(shù)變形，直接利用公式2換元法 引入新的變量，再積分 第一類換元法(湊微分法)設(shè)的原函數(shù)為，有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 湊微分 換元 積分 變量還原常見的湊微分公式（1），；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14） 第二類換元法設(shè)單調(diào)，有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且， 如果，則 . 換元 積分 變量還原3分部積分法 設(shè)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 或 稱為分部積分公式.4特殊函數(shù)類的積分有理函數(shù)：先化為多項(xiàng)式與簡(jiǎn)單分式，再逐項(xiàng)積分三角函數(shù)有理式：令，化為有理函數(shù)的積分 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)：引入代換去掉根號(hào)，

4、化為有理函數(shù)的積分 常用的分項(xiàng)公式如下：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.常用的三角公式如下：（1）；（2）；（3）三、典型例題題型1 直接積分法 （即將被積函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的代數(shù)和再分項(xiàng)積分）例1 求下列不定積分（1） ； （2）；（3） ；解 原式. （4）；解 原式.題型2 換元積分法（第一類和第二類）例1 求下列不定積分（1）； （2）； 解 原式 .（3）；解 原式 . （4）；解 原式（5）； （6）.例2 求 . 解：原式例3 求 .解：原式例4 求 .解：原式例5 求下列不定積分（1）； （2）； 解 令 ，原式 .（3）.解 令，原式.注 對(duì)，令 或 ；對(duì)，令 或

5、 或 ；對(duì)，令 或 或 ；三角代換變量還原時(shí)利用輔助三角形例6 求下列不定積分（1）；解 原式 . （2）.解 原式. （注 對(duì)二次三項(xiàng)式或其平方根，配方后使用公式）例7 求下列不定積分（1）； （2）.（注 稱為倒代換，當(dāng)分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時(shí)，可考慮用此代換）例8 求 （注 可考慮指數(shù)代換或）例9 求 ，（令：）解 令，原式.題型3 分部積分法關(guān)鍵：正確地選擇和，選擇，的原則： 好求； 要比簡(jiǎn)單 例1 求下列不定積分（1）； （2）；（3）； （4）解 原式所以 原式.（5）； 解 原式 .（6）.解 原式.例2 求 .解 原式 例3 求 （先換元，后分部積分）解： 原式 . 題型4

6、分項(xiàng)-分部積分法（將積分分成兩項(xiàng)（或多項(xiàng)）的積分和，然后利用分部積分抵消不可積部分）例1 求 ； 例2 求 題型5 有理函數(shù)積分例1 求； 例2 求.題型6 三角有理函數(shù)積分例1 求 例2 求 題型7 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分例1 求； 例2 求 .例3 求 .解：原式； 題型8 分段函數(shù)的積分例1 求 例2 求的一個(gè)原函數(shù)，且題型9 含有抽象函數(shù)的不定積分例1設(shè)，求例2設(shè)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求.解 方程化為，代入原方程得，令，兩邊積分，得，又 ，.例3設(shè)可微，且，求.例4設(shè)在上可導(dǎo)，且滿足，求.四、不定積分常用的計(jì)算技巧總結(jié)（考生自看）1加減常數(shù)法例1 求 .解：原式.2加減函數(shù)法例2 求 .

7、解：原式.例3 求 .解：原式.3乘除函數(shù)法例4 求 .解：原式.4分母整體化法例5 求 .解：原式.例6 求 .解：原式.5依分母分解法例7 求 .解：因?yàn)榕c的導(dǎo)數(shù)互相轉(zhuǎn)化，所以可設(shè) 故得：.原式.6還原法例8 求 .解：.7待定函數(shù)法 例9 (上例)解：因?yàn)楸环e函數(shù)是一個(gè)函數(shù)與的乘積，它的一個(gè)原函數(shù)必定也是某一個(gè)函數(shù)與的乘積. 令 ，其中為待定函數(shù)，兩邊求導(dǎo)數(shù) ， 故 原式.8相關(guān)積分法例10 求 , .解：；.五、練習(xí)題1若的導(dǎo)函數(shù)是，則的一個(gè)原函數(shù)為（ ）. (A) (B) (C) (D) 2若為連續(xù)函數(shù)，則（ ）.(A) (B) (C) (D) 3若是以為周期的連續(xù)函數(shù)，則其原函數(shù)（

8、 ）.(A) 是以為周期的連續(xù)函數(shù) (B) 是周期函數(shù)，但周期不是 (C) 不是周期函數(shù) (D) 不一定是周期函數(shù)4設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，求 5. 6. . 7. 8. . 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.16. 17. 18. 19. . 20. 21. .22. . 23. . 24. 25（可令）； 26. （可令或依分母分解法）； 27設(shè)，求28設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，又， 求29，且當(dāng)時(shí)，有，又， 求 30求. 31設(shè)，計(jì)算. 32. 33. 3-1參考答案1.A 2.C 3.D 4. 5. 6. 7. 8 9. 10.11. 12. 13 14. 15. 16

9、.17. 18.19. . 20. . 21. . 22. .23. . 24.25. . 26. 27. . 28. 29. 30. 31. 32. 33.§2 定 積 分【考試要求】1理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)及定積分中值定理.2掌握定積分的換元積分法和分部積分法.3理解積分上限函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓 萊布尼茨公式.4了解反常(廣義)積分的概念，會(huì)計(jì)算反常（廣義）積分. 一、基本概念 1定積分定義設(shè)在上有定義且有界，做下述四步：（1）分割：用個(gè)分點(diǎn)分割區(qū)間；（2）作乘積：，其中，；（3）求和：；（4）取極限：，其中，如果上述極限存在，則稱在上可積，并稱上述極限為

10、在上的定積分，記作 .注 的值與對(duì)區(qū)間的分法無(wú)關(guān)，與的取法無(wú)關(guān)，與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)；與有關(guān)，與有關(guān)， 即 .2定積分的存在性定理設(shè)在上連續(xù)，或在上有界且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則一定存在3幾何意義 定積分表示由曲線，及軸所圍平面圖形面積的代數(shù)和4定積分的運(yùn)算性質(zhì)： （1） （4）.（2）. （5）.（3）. （6）.5定理定理1 （定積分的比較定理）若在上恒有，則.推論1 若與在上連續(xù)，且至少有一點(diǎn)，使，則.推論2 若在上恒有，則.推論3 定理2（估值定理）若在上，則定理3（積分中值定理） （1）若在上連續(xù)，則，使（2）若在上連續(xù)，在上不變號(hào)，且在上可積，則，使.定理4（變上限積分函

11、數(shù)及其導(dǎo)數(shù)）設(shè)在上連續(xù)，稱為變上限積分函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)為 .推論1 設(shè)，則 .推論2 設(shè)，則 .推論3 設(shè)，則 .定理5（變上限積分函數(shù)與不定積分的關(guān)系）設(shè)在上連續(xù)，則變上限積分函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)， 即 .注：不定積分只能作為運(yùn)算符號(hào)，不能表示一個(gè)具體的原函數(shù)，特別當(dāng)為一個(gè)抽象的函數(shù)時(shí)，無(wú)法用來(lái)討論它的某一原函數(shù)的性質(zhì)；而為某一確定的原函數(shù)，可以用它來(lái)討論此原函數(shù)的性質(zhì).定理6（牛頓萊布尼茲公式）設(shè)在上連續(xù)，是的一個(gè)原函數(shù)，則 6定積分的計(jì)算方法（1） 換元法：設(shè)在上連續(xù)，在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)從變到時(shí)，從單調(diào)地變到，則要點(diǎn)：換元要換限，變量不還原，不換元?jiǎng)t不換限（2）分部積分法：設(shè)，在上有連續(xù)的

12、導(dǎo)數(shù)，則 或 注：求不定積分時(shí)適用的積分法，相應(yīng)地也適用定積分的求法7廣義積分的概念與計(jì)算（1）無(wú)窮限的廣義積分 設(shè)在上連續(xù)，則 ； 設(shè)在上連續(xù)，則 ； 設(shè)在上連續(xù)，則 僅當(dāng)?shù)仁接疫叺膬蓚€(gè)極限都存在時(shí)，左邊的無(wú)窮限廣義積分收斂，否則發(fā)散.注意： 式中等式右邊的兩個(gè)極限若有一個(gè)不存在，則發(fā)散.（2）無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分） 設(shè)在上連續(xù)， 則，稱為瑕點(diǎn) 設(shè)在上連續(xù)， 則，稱為瑕點(diǎn) 設(shè)在上除點(diǎn)外均連續(xù)，則 稱為瑕點(diǎn)僅當(dāng)?shù)仁接疫叺臉O限存在時(shí)，瑕積分收斂，否則發(fā)散.注意：式中等式右邊的兩個(gè)極限若有一個(gè)不存在，則瑕積分發(fā)散.二、重要結(jié)論（1）利用定積分定義求項(xiàng)和的極限設(shè)連續(xù)，則 . .（2）奇、偶函數(shù)

13、的積分 設(shè)連續(xù)，若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；若為奇函數(shù)，則對(duì)任意，為偶函數(shù). 設(shè)在上連續(xù)，則（3）周期函數(shù)的積分設(shè)在上連續(xù)，且以為周期，則 ； ； .即：周期函數(shù)在每個(gè)周期長(zhǎng)度區(qū)間上的積分均相等，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)（4）常用結(jié)論 ，令； ，令； ，；注意：遞推公式三、典型例題題型1 有關(guān)定積分概念和性質(zhì)的問題例1 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且滿足 ，求例2 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，其中，則( ).(A) 依賴于和 (B) 依賴于不依賴于 (C) 依賴于不依賴于 (D) 不依賴于和 解 由于，可知的值依賴于，不依賴于.故選(B)正確.例3 設(shè)為連續(xù)的偶函數(shù)，是的原函數(shù)，且，則( ). (A) (B) (C) (D) 解 選(

14、B). 分析 為連續(xù)的偶函數(shù)，為奇函數(shù).因?yàn)?是的原函數(shù)，又滿足.即，因此選(B)正確.例4 設(shè)，求極限.題型2 變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例1 解 原式.例2 設(shè)，其中，為連續(xù)函數(shù)，求 例3 設(shè) （），連續(xù)，且滿足設(shè)，求.例4 設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且對(duì)任何滿足，求 解 先將看做常數(shù)，對(duì)求導(dǎo)得， （看做常數(shù)時(shí)，也看做常數(shù)）.令. 則（右邊兩項(xiàng)可導(dǎo)，所以左邊也可導(dǎo)）上式兩邊對(duì)求導(dǎo)得，積分得 .又.例5 設(shè)，求解 ，又.例6 設(shè)在上可導(dǎo)，且其反函數(shù)為，若，求解 兩邊對(duì)求導(dǎo)得 積分得 又故.例7 設(shè)，其中由確定，求 例8 設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，求.例9 設(shè)，求的表達(dá)式 題型3 換元積分法例1 求下列定積分（1）；

15、（2）；（3）； （4）例2 設(shè)在內(nèi)滿足，且當(dāng)時(shí)，求題型4 分部積分法例1 求下列定積分（1）； （2）； （3）； （4）. 例2 設(shè)，求題型5 被積函數(shù)含有變限積分的定積分例1 已知，求例2 求例3 已知，求例4 設(shè)，求 (注：，) 題型6 對(duì)稱區(qū)間上的積分解題提示： 當(dāng)積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間時(shí)，應(yīng)首先想到利用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì) 當(dāng)對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)非奇非偶時(shí)，拆項(xiàng)積分或令（負(fù)代換），或直接利用公式： 例1 求 例2 求 解法1 .解法2 （用遞推公式）.例3 求 解 .例4 求 解 （利用奇偶性）設(shè)，則，所以，為奇函數(shù).所以.例5 求 例6 求題型7 周期函數(shù)的積分例1 設(shè)，則(

16、). （A）為正常數(shù) （B）為負(fù)常數(shù) （C）恒為零 （D）不為常數(shù)例2 求例3 求注 周期函數(shù)在每個(gè)周期上的積分相等，； 在定積分中必須注意開方要加上絕對(duì)值例4 .解：令：， ，所以 2，即：.題型8 分段函數(shù)的積分例1 （如圖）連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的 是( ). （A） (B) （C） （D）（提示：本題實(shí)質(zhì)上是求分段函數(shù)的定積分，利用定積分的幾何意義，可得）.例2 求. 例3求例4 寫出的非積分表達(dá)式，并求題型9 抽象函數(shù)的積分解題提示：含有抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)的積分一般可考慮用分部積分.例1 設(shè)，求例2

17、設(shè)在上連續(xù)，且，求題型10 廣義積分例1 例2 求 例3 解 . 例4求例5解 令 ，.注： 注意識(shí)別定積分是否廣義積分； 計(jì)算廣義積分時(shí)可以使用換元法和分部積分法，但要注意驗(yàn)證所涉及的極限的存在性.換元法：設(shè)在上連續(xù)，在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且單調(diào)，則分部積分法：設(shè)，在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，若存在，收斂，則 ，其中 題型11 定積分等式的證明解題提示：（1）換元法；（2）分部積分法；（3）泰勒公式等.例1 設(shè)為可微函數(shù)的反函數(shù)，且，證明： 例2設(shè)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，證明： 例3 設(shè)在上連續(xù)，且，證明：，使.證：設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，所以，將在點(diǎn)展開二階泰勒公式，即：，將，分別代入上式得，所以 ，由于在上

18、連續(xù)，必有最大值和最小值，即: , 又由介值定理知：，使，故 .題型12 定積分不等式的證明解題提示：（1）利用積分的比較、估值定理；（2）利用單調(diào)性（參數(shù)變易法）；（3）微分、積分中值定理；（4）泰勒公式等.根據(jù)題設(shè)條件，在上分別有以下三種可能情況： 被積函數(shù)連續(xù)，（用利用單調(diào)性（參數(shù)變易法）；被積函數(shù)一階可導(dǎo)，且或，（用微分、積分中值定理）：，或 . 被積函數(shù)二階及二階以上可導(dǎo)，用泰勒公式（帶有拉格朗日余項(xiàng)）： 點(diǎn)一般可考慮選取左、右端點(diǎn) 或或區(qū)間的中間點(diǎn)；題設(shè)已知導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)；再就是極值點(diǎn) 或最值點(diǎn)（一般有）. 例1 比較下列各組積分值的大小（1）與積分區(qū)間相同，而被積函數(shù)不同（2）與積分區(qū)

19、間不同，被積函數(shù)相同解（2） 一般情況下先作代換，統(tǒng)一積分積分區(qū)間，即變化到（1）的情況（在同一區(qū)間上）比較函數(shù)的大小.令則.（3）與區(qū)間與函數(shù)均不同解（3） ，例2 證明.（注：利用估值公式，求在上的最值）例3 設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)為正整數(shù)，且時(shí)，證明：；（2）求 . 例4 設(shè)是上非負(fù)單調(diào)不增的連續(xù)函數(shù)，且，證明： 例5 設(shè)在上連續(xù)，且，證明，其中證由拉格朗日中值定理可知 ， （.則 ，.例6 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，證明證 將在展開一階泰勒公式， ，（在與之間） 故 .四、練習(xí)題1.求解下列各題（1）設(shè)，求； （2）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且滿足，求；（3）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且滿足，求.2.求解下列各題 (1)

20、 設(shè)在內(nèi)可微，且，求；（2）求連續(xù)函數(shù)，使得； （3）設(shè)可微，且滿足，求；（4）設(shè)連續(xù)，且，求； （5）設(shè) （），求. 3.求解下列定積分(1) ； （2） （3）；（4）； （5）； （6）； 4.求解下列定積分(1) ； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； 5求 ， （為任意實(shí)數(shù)）（提示： 設(shè)）6設(shè)，求7 求.8，求的分段表達(dá)式. 9設(shè)在上連續(xù)，且，求10設(shè)，則( ).（A） （B） （C） （D）11設(shè)，則正確的是( ).（A） （B） （C） （D）12. 求下列積分（1）； （2）； （3） （4）. 13. 試求正數(shù)，使得 14證明：（用估值定理）15設(shè)連續(xù)，證明 16

21、設(shè)在上連續(xù)，且，證明，使 17設(shè)，且在上連續(xù)，又，證明： .18 求 19 20 3-2參考答案1（1）； （2）； （3）或.2（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.3.（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； 4. (1) ；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）.5. 7. 8.910. . 11D. 12B.13.（1）； （2）； （3）； （4）.14. ，15提示：16提示：令： .17設(shè)在上連續(xù)，且，證明，使 提示：令，用羅爾定理.18提示：法1：令，用單調(diào)性；法2：用積分中值定理.19求 20 21.§3 定積分應(yīng)用【考試要求】1掌握用定積分表達(dá)

22、和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體體積、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等）及函數(shù)的平均值.(其中：平行截面面積為已知的立體體積、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等數(shù)學(xué)三不要求)2會(huì)利用定積分求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題(數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二不要求). 一、基本概念1定積分的定義：2微元法（元素法）：將某個(gè)量表達(dá)為定積分的方法：（1）先選適當(dāng)?shù)姆e分變量，確定其變化區(qū)間；（2）任取一個(gè)小區(qū)間，求出對(duì)應(yīng)的微元；（3）將表示為定積分3求平面圖形的面積（1）在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式設(shè)，則：面積元素，（以為積分變量）；

23、 設(shè)，則：面積元素， （以為積分變量）；設(shè)，則：面積元素， （以為積分變量）注：型區(qū)域選為積分變量，被積函數(shù)為“上下”； 型區(qū)域選為積分變量，被積函數(shù)為“右左”.（2）在參數(shù)方程下的計(jì)算公式設(shè)曲邊梯形的曲邊由方程，給出：其中連續(xù)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且不變號(hào)，則（以參數(shù)為積分變量），其中，.（3）在極坐標(biāo)系下的計(jì)算公式設(shè)，則面積元素，；設(shè)，則面積元，.4求立體的體積（1）旋轉(zhuǎn)體的和體積 設(shè)平面圖形由，()以及軸圍成， 若繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則：體積元素，（以為積分變量）；若繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則體積元素，（柱殼法）（以為積分變量）； 設(shè)平面圖形在極坐標(biāo)系下由，以及，()圍成若繞極軸旋轉(zhuǎn)一周， 則 .（吉米多維奇

24、2482）（2）平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)立體是由曲面及平面，圍成，是用垂直于軸的平面切割立體所得的截面面積，已知連續(xù)，則：體積元素 ， 所以5求平面曲線的弧長(zhǎng)（弧長(zhǎng)元素）（1）在直角坐標(biāo)系下 ， 則 （2）在參數(shù)方程下 ，則 （3）在極坐標(biāo)系下，則 6旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè) 在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線段（）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為 .（注：，其中：是面積元素，是弧長(zhǎng)元素）7物理應(yīng)用功、壓力、引力、質(zhì)心（1）求變力沿直線作功在變力的作用下，物體沿軸由移動(dòng)到，變力所作的功為：.（2）求液體的側(cè)壓力設(shè)液體比重為，則平面一側(cè)所受液體的壓力為，壓強(qiáng)面積 （為比重） 壓強(qiáng)比重水深 （3）求細(xì)桿對(duì)質(zhì)

25、點(diǎn)的引力、兩質(zhì)點(diǎn)之間的引力為，為兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離，為引力常數(shù)，細(xì)桿上各點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，方向也變化，（方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向）一般情況：通過微元法轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算.8求函數(shù)的平均值 .二、典型例題題型1 求平面圖形的面積步驟：（1）畫圖；（2）求交點(diǎn)；（3）選擇積分變量；（4）積分例1 求曲線與在上所圍成圖形的面積例2 設(shè)在區(qū)間上，令，則( ).（A） （B） （C） （D）分析 圖形法，痛過作圖直接判斷（B）成立.或用加強(qiáng)條件法，取，直接計(jì)算后比較大小.例3 求過點(diǎn)，的拋物線，使其開口朝下，對(duì)稱軸平行于軸，并且它與軸所圍成的面積最小解設(shè)拋物線方程為 ，因?yàn)?，開口朝下，所以，將點(diǎn)，代

26、入上式得，所以拋物線與軸的交點(diǎn)為與，所以，拋物線與軸所圍成的面積為令 ，得駐點(diǎn)（舍去），當(dāng)時(shí)，當(dāng)， 所以 為最小值，故.例4 求星形線所圍圖形的面積 例5 求兩橢圓和所圍圖形公共部分的面積. 例3圖題型2 旋轉(zhuǎn)曲面的面積例1設(shè)有曲線，過原點(diǎn)作其切線，求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.題型3 求空間立體的體積例1 證明：由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成立的旋轉(zhuǎn)體的體積為：.例2 求由曲線與軸所圍圖形繞著軸旋轉(zhuǎn)立體的體積例3 過點(diǎn)作拋物線的切線，與上述拋物線及軸圍成一平面圖形，求由此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 例4 過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成的

27、平面圖形，（1）求的面積； （2）求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積例5 設(shè)平面圖形由與所確定，求圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積（如例5圖）. 例6 設(shè)有一立體，以長(zhǎng)半軸，短半軸的橢圓為底，而垂直于長(zhǎng)軸的截面都是等邊三角形，試求該立體的體積（如例6圖）例5圖 例6圖題型4 求平面曲線的弧長(zhǎng)例1求曲線上相應(yīng)于的一段弧的長(zhǎng)度解 . 例2求心形線的全長(zhǎng)解 由 對(duì)稱性知 . 例3求曲線的全長(zhǎng)解 要使有意義，則，即；所以的取值范圍為.所以.例4求曲線的全長(zhǎng)解 要使上兩積分都存在，須且.所以 .題型5求函數(shù)的平均值 例1 求函數(shù)在區(qū)間上的平均值可題型6 物理應(yīng)用（1）變力沿直線所作的功例1 已知彈簧自

28、然長(zhǎng)度為，的力使它伸長(zhǎng)到，問使彈簧從伸長(zhǎng)到時(shí)需要作多少功？ 例2 為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（如右圖例2），已知井深，抓斗自重，纜繩每米重， 抓斗抓起的污泥重，提升速度為，在提升過程中，污泥以的速率從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功？（注：抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì)）. 解 由于抓斗將污泥從井底提升至井口克服重力作功包括抓斗自身、懸提抓斗的纜繩和抓斗中的污泥三方面克服重力所作的功，而在纜繩上升的過程中其自身重量及抓斗中污泥的重量隨繩長(zhǎng)的變化而變化，因此，需要用定積分計(jì)算其功.作軸如圖例2（b）所示，將抓起污

29、泥的抓斗提升至井口需做功其中是克服抓斗自重所作的功；是克服纜繩重力所作的功；為提出污泥所作的功.由題意知將抓斗由處提升到處，克服纜繩重力所作的功為從而. 在時(shí)間間隔內(nèi)提升污泥需作功為將污泥從井底提升至井口共需時(shí)間為，所以 例2圖此，共需作功. 例3 某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層，汽錘每次擊打樁時(shí)，將克服土層對(duì)樁的阻力而作功，設(shè)土層對(duì)樁的阻力大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為），汽錘第一次擊打時(shí)打地下，若汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)，問：（1）汽錘擊打三次后，可將樁打進(jìn)地下多深？（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？解（1） 由題意可設(shè)第此擊打后，樁被打進(jìn)地下米，第次擊打時(shí)汽錘所作的功為，由題意知（如右例3圖）.又 當(dāng)樁被打進(jìn)地下米時(shí)，土層對(duì)樁的阻力為，所以.由題意知. 例3圖又因?yàn)?即汽錘擊打3次后將樁打進(jìn)地下米.（2）由歸納法知設(shè)，則由于，故 .于是.故若擊打次數(shù)不限時(shí)，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下米深.（2）壓力問題例4 設(shè)有邊長(zhǎng)為和矩形薄板斜沉于水下，上端的邊在水下深處并與水面平行，邊與水面成角，求板的一側(cè)所受的壓力 解 建立坐標(biāo)系如圖所示，求液體的凈壓力一定要用帕斯卡定律：靜壓力=液體比重液體深度. 例4圖選取為積分變量，積分區(qū)間為，取，（對(duì)于小條薄