第十講圓錐曲線齊次式與點乘雙根法

1、第十講圓錐曲線齊次式與點乘雙根法、圓錐曲線齊次式與斜率之積（和）為定值1上兩個動點，且 OQiOQ2，過原點0作直線QQ2的垂D（xo,y°）,設(shè)直線Q1Q2方程為yx2 v2例1： Q,Q2為橢圓頑古kx m，y kx m聯(lián)立x2y22b2 b2化簡可得：i2 222(2 b k b )x4kmb2x2 2 22b (m b ) O，所以X-|X22b2(m22b2k,2, 2 2 2、b (m 2b k )2, 2 22 b k b因為OQ,OQ2所以X1X2y“22 2 22b (m b )22 2-2b k b222 2b (m 2b k )2222b k b2(m2 b2)

2、k21m2 2b2k22 k21=02223m2 2b2(1 k2)L又因為直線 Q1Q2方程等價于為yyoXo(X yoXo)，yoXo2yoyo對比于Xo.yo2Xo yo yo解法二（齊次式）：y kX m，則代入中，化簡可得:2Xo2yo3b22b2b2b22b2x22b22 22x y(mx ny) o化簡可得：一222b b2 m xn y2mnxy整理成關(guān)于x, y x, y 的齊次式：(2 2b2n2'2)y(1 2m2b2)x224mnb xy o ,進(jìn)而兩邊同時除以x2，則(2 2b2n2)k2 4mn b2k 1 2m2b2 ok)k21 2m2b2n2 2b2因

3、為 OQ1 OQ2 OQ1 OQ2 所以 k1k22m2b212 2b2n23 2b2(m2 n2)L又因為直線 Q1Q2方程等價于為yyo西(X xo)，yo竺x yo2生Yo對比于yomx ny 1 ,Xo22xoyom代入中,化簡可得:2Xo例2:已知橢圓x22Xoyo2yo2yo-b2.31，設(shè)直線I不經(jīng)過點P(0,1)的直線交于代B兩點，若直線PA, PB的斜率之和為1，1P 廠2Vk證明：直線I恒過定點.解：以點P為坐標(biāo)原點，建立新的直角坐標(biāo)系x'py'，如圖所示:舊坐標(biāo) 新坐標(biāo)(x,y)(x',y')即(0,1)(0,0)丁x'xAA

4、9;所以y'y 1BB'原來kpAkpB1y1 1 y2 1x!x2即 k1' k2'' 1設(shè)直線I方程為：mx' ny' 11則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：里準(zhǔn) 1x-i' x2'原方程：x2 4y2 4則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：x'2 4( y' 1)2 422展開得：x' 4y'8y'0構(gòu)造齊次式：x'2 4y'2 8y'(mx' ny')0整理為：(4 8n)y'2 8mx' y' x'20兩邊同時除以x'2

5、，則(4 8n)k'2 8mk' 10所以 k<' k2'8m 1 所以 2m 2n 1 m n 14 8 n2而 mx' ny'(n1x')x' ny' 1n(x' y')1 0對于任意n都成立.x' y'y'2，故對應(yīng)原坐標(biāo)為x 2所以恒過定點(2, 1).2y 12 2例3:已知橢圓8 21，過其上一定點 P(2,1)作傾斜角互補的兩條直線，分別交于橢JTP/ J< J解：以點P為坐標(biāo)原點，建立新的直角坐標(biāo)系x'py'，如圖所示:>1irr-P

6、廠 XA oV/$<4舊坐標(biāo)新坐標(biāo)(x,y)(x',y')即(2,1)(0,0)十，x'x 2AA'所以y'y 1BB'原來kpAkpB0y1%0則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：y/止X12X2X1 'X2'即 k,' k2'0設(shè)直線AB方程為：mx'ny'1原方程：2 2x 4y8則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：（x' 2）2 4（y'1)28展開得：2 2x' 4y'4x'8y'00ny')0構(gòu)造齊次式：x'2 4y'2 4x'(

7、mx' ny') 8y'(mx'整理為：y'2(48n) x'y'(4n 8m)(1 4m)x'2,2兩邊同時除以x'2，則(4 8n)k'2 (4n 8m)k' 14m所以K k2'如竺4 8n0所以n 2m而 mx' ny' 1 mx' ( 2m)y'1 mx 2my 10 .所以 k=_2一 1平移變換，斜率不變，所以直線AB斜率為定值.2二、點乘雙根法例4 :設(shè)橢圓中心在原點 o，長軸在X軸上，上頂點為 A，左右頂點分別為 F1, F2，線段 0片，0卩2中點

8、分別為B1,B2，且 AB1B2是面積為4的直角三角形.(1 )求其橢圓的方程(2)過B1作直線I交橢圓于P,Q兩點，使PB2 QB2，求直線I的方程.2 2解：(1) L 1204(2)易知：直線I不與軸垂直，則設(shè)直線I方程為：y k(x 2)P(x-i, y1), Q(x2, y2)uuun uuuu因為 PB2 QB2，則 PB2gQB2=0，所以(X12, y1)(X22, y2)0(X1 2)(X22)k2(x12)(x22)0Ly k(x 2)現(xiàn)聯(lián)立 x2y2x25k2 (x 2)2 200204則方程 x2 5k2(x 2)2200可以等價轉(zhuǎn)化(125k )(X1X)(X2x)0即 x2 5k2(x 2)220(15k2)(x x)(x2x)280k2 16令 x 2，4 80k20(15k )