二次函數(shù)的應(yīng)用

1、2007江蘇南通課改，15分）已知等腰三角形的兩個頂點分別是，第三個頂點在軸的正半軸上，關(guān)于軸對稱的拋物線經(jīng)過，三點，且點關(guān)于直線的對稱點在軸上（1）求直線的解析式；（2）求拋物線的解析式及點的坐標；yxABDO（3）點是軸上一動點，求的取值范圍答案：解：（1），是等腰三角形，且點在軸的正半軸上，2分設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為4分（2）拋物線關(guān)于軸對稱，5分yxABDOCPMQ又拋物線經(jīng)過，兩點解得拋物線的解析式是7分在中，易得在中，易得是的角平分線直線與軸關(guān)于直線對稱點關(guān)于直線的對稱點在軸上，則符合條件的點就是直線與拋物線的交點8分點在直線：上，故設(shè)點的坐標是又點在拋物線上，解得，故所

2、求的點的坐標是，10分（3）要求的取值范圍，可先求的最小值I）當(dāng)點的坐標是時，點與點重合，故顯然的最小值就是點到軸的距離為，點是軸上的動點，無最大值，13分II）當(dāng)點的坐標是時，由點關(guān)于軸的對稱點，故只要求的最小值，顯然線段最短易求得的最小值是6同理沒有最大值，的取值范圍是綜上所述，當(dāng)點的坐標是時，當(dāng)點的坐標是時， 15分2007江蘇泰州課改，14分）如圖，中，它的頂點的坐標為，頂點的坐標為，點從點出發(fā)，沿的方向勻速運動，同時點從點出發(fā)，沿軸正方向以相同速度運動，當(dāng)點到達點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為秒（1）求的度數(shù)（2）當(dāng)點在上運動時，的面積（平方單位）與時間（秒）之間的函數(shù)圖象為拋

3、物線的一部分，（如圖），求點的運動速度（3）求（2）中面積與時間之間的函數(shù)關(guān)系式及面積取最大值時點的坐標（4）如果點保持（2）中的速度不變，那么點沿邊運動時，的大小隨著時間的增大而增大；沿著邊運動時，的大小隨著時間的增大而減小，當(dāng)點沿這兩邊運動時，使的點有幾個？請說明理由（圖）ACBQDOPxy3010O5tS（圖）答案：（1）2分（2）點的運動速度為2個單位/秒4分（3）（）6分當(dāng)時，有最大值為，此時9分（4）當(dāng)點沿這兩邊運動時，的點有2個11分當(dāng)點與點重合時，當(dāng)點運動到與點重合時，的長是12單位長度，作交軸于點，作軸于點，由得：，所以，從而圖所以當(dāng)點在邊上運動時，的點有1個13分同理當(dāng)點在

4、邊上運動時，可算得而構(gòu)成直角時交軸于，所以，從而的點也有1個所以當(dāng)點沿這兩邊運動時，的點有2個14分（2007江蘇無錫課改，10分）如圖，平面上一點從點出發(fā)，沿射線方向以每秒1個單位長度的速度作勻速運動，在運動過程中，以為對角線的矩形的邊長；過點且垂直于射線的直線與點同時出發(fā)，且與點沿相同的方向、以相同的速度運動（1）在點運動過程中，試判斷與軸的位置關(guān)系，并說明理由（2）設(shè)點與直線都運動了秒，求此時的矩形與直線在運動過程中所掃過的區(qū)域的重疊部分的面積（用含的代數(shù)式表示）xyOlBPMA答案：解：（1）軸1分理由：中，2分設(shè)交于點，交軸于點，矩形的對角線互相平分且相等，則，過點作軸于，則，軸3分

5、（2）設(shè)在運動過程中與射線交于點，過點且垂直于射線的直線交于點，過點且垂直于射線的直線交于點，則，4分當(dāng)，即時，6分當(dāng)，即時，設(shè)直線交于，交于，則，8分當(dāng)，即時， 10分(2007江蘇徐州課改，8分)某隧道橫斷面由拋物線與矩形的三邊組成，尺寸如圖所示（1）以隧道橫斷面拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為軸，建立直角坐標系求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）某卡車空車時能通過此隧道，現(xiàn)裝載一集裝箱，箱寬3m，車與箱共高4.5m，此車能否通過隧道？并說明理由5m3m6m2m答案：（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為1分該拋物線過點，2分拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為3分（2）隧道高為，車與箱共高，其

6、頂部所在直線為，4分代入上式，得，5分高處的隧道寬為6分因為，所以此車不能通過隘道8分2007江蘇揚州課改，3分）煙花廠為揚州煙花三月經(jīng)貿(mào)旅游節(jié)特別設(shè)計制作一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度與飛行時間的關(guān)系式是，若這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為（）答案：B（2007江蘇揚州課改，12分）連接上海市區(qū)到浦東國際機場的磁懸浮軌道全長約為，列車走完全程包含啟動加速、勻速運行、制動減速三個階段已知磁懸浮列車從啟動加速到穩(wěn)定勻速動行共需秒，在這段時間內(nèi)記錄下下列數(shù)據(jù)：時間（秒）050100150200速度（米秒）0306090120路程（米）075030006750120

7、00（1）請你在一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中選擇合適的函數(shù)來分別表示在加速階段（）速度與時間的函數(shù)關(guān)系、路程與時間的函數(shù)關(guān)系（2）最新研究表明，此種列車的穩(wěn)定動行速度可達180米秒，為了檢測穩(wěn)定運行時各項指標，在列車達到這一速度后至少要運行100秒，才能收集全相關(guān)數(shù)據(jù)若在加速過程中路程、速度隨時間的變化關(guān)系仍然滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系式，并且制動減速所需路程與啟動加速的路程相同根據(jù)以上要求，至少還要再建多長軌道就能滿足試驗檢測要求？（3）若減速過程與加速過程完全相反根據(jù)對問題（2）的研究，直接寫出列車在試驗檢測過程中從啟動到停車這段時間內(nèi)，列車離開起點的距離（米）與時間（秒）的函數(shù)關(guān)系式（不

8、需要寫出過程）答案：（1）通過描點或找規(guī)律，確定與是一次函數(shù)，與是二次函數(shù)，（2）由得當(dāng)時，秒，則米千米米千米因為減速所需路程和啟動加速路程相同，所以總路程為所以還需建千米（3）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，（一般式為）2007江西課改，8分）如圖，在中，若動點從點出發(fā)，沿線段運動到點為止，運動速度為每秒2個單位長度過點作交于點，設(shè)動點運動的時間為秒，的長為AEDBC（1）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時，的面積有最大值，最大值為多少？答案：解：（1），1分又，3分自變量的取值范圍為4分（2）6分當(dāng)時，有最大值，且最大值為8分（或用頂點公式求最大值）2007江西課改，10分）

9、實驗與探究（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形的頂點的坐標（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點的坐標，它們分別是， ， ；圖1圖2圖3（2）在圖4中，給出平行四邊形的頂點的坐標（如圖所示），求出頂點的坐標（點坐標用含的代數(shù)式表示）；圖4歸納與發(fā)現(xiàn)（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點的坐標的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形處于直角坐標系中哪個位置，當(dāng)其頂點坐標為（如圖4）時，則四個頂點的橫坐標之間的等量關(guān)系為 ；縱坐標之間的等量關(guān)系為 （不必證明）；運用與推廣（4）在同一直角坐標系中有拋物線和三個點，（其中）問當(dāng)為何值時，該拋物線上存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條

10、件的點坐標答案：該題格式出現(xiàn)錯誤，建議將其刪除后再導(dǎo)出！（2007遼寧大連課改，12分）已知拋物線（1）當(dāng)時，求此拋物線的頂點坐標和對稱軸；（2）若代數(shù)式的值為正整數(shù)，求的值；（3）當(dāng)時，拋物線與軸的正半軸相交于點；當(dāng)時，拋物線與軸的正半軸相交于點若點在點左邊，試比較與的大小答案：解：（1）方法一：當(dāng)時，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線2分方法二：當(dāng)時，拋物線頂點坐標為，對稱軸為直線2分（2）代數(shù)式的值為正整數(shù)，函數(shù)的值為正整數(shù)又函數(shù)的最大值為，的正整數(shù)值只能為1或24分當(dāng)時，解得5分當(dāng)時，解得6分的值為，0或1（3）方法一：當(dāng)時，拋物線過軸正半軸上的點，同理8分10分又點在軸的正半軸上，且點

11、在點的左邊，即12分方法二：拋物線的對稱軸為，當(dāng)時，此時拋物線的對稱軸在軸的左側(cè)又拋物線與軸相交于點，拋物線與軸的正半軸無交點不合題意8分當(dāng)時，即， 經(jīng)過點的拋物線的對稱軸為，xyMN12O經(jīng)過點的拋物線的對稱軸為，10分點在點的左邊，且拋物線經(jīng)過點（此時兩條拋物線如圖所示）直線在直線的左側(cè)，12分2007遼寧大連課改，10分）如圖1，直線交軸于點，交拋物線于點，點到各頂點的距離相等，直線交軸于點當(dāng)時，在直線和拋物線上是否分別存在點和點，使四邊形為特殊的梯形？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由附加題（5分）：在上題中，拋物線的解析式和點的坐標不變（如圖2）當(dāng)，在直線和這條拋物線上，是否分別

12、存在點和點，使四邊形為以為底的等腰梯形若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由yxDO圖2答案：解：如圖：設(shè)直線的解析式為經(jīng)過點，解得DCBAOxyE拋物線經(jīng)過點，又點到各頂點距離相等，即點是三邊的垂直平分線的交點，連結(jié)，并延長交于，點的坐標為在中，設(shè)直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，解得直線交軸于點，則點，當(dāng)時，時，四邊形為等腰梯形（如圖）2分由題意得，為等邊三角形，是直線與拋物線的交點，解得（舍），當(dāng)時，點的坐標為，當(dāng)時，點的坐標為4分時，四邊形為直角梯形（如圖）DCBAOxy過點且平行軸的直線交拋物線于點，解得（負值舍去）點的坐標為把代入直線中，得，點的坐標為6分當(dāng)時，時，四邊形是等腰梯形

13、如圖過點且平行于的直線為，交拋物線于點，解得或（舍）把代入中，得，點的坐標為（與點重合）又為等邊三角形，設(shè)過點且平行于的直線，交于點，則，解得把代入中，點的坐標為8分時，四邊形為直角梯形由上解法知，點的坐標（與點重合），過與垂直的直線為，設(shè)與的交點為，解得點的坐標為10分綜上所述：當(dāng)，和，（與點重合）時，四邊形為等腰梯形；當(dāng)，和，（與點重合）時，四邊形為直角梯形附加題：解：由第26題知點，拋物線為，設(shè)為的中點，過點作垂直于軸，交直線于點DHOx附加題yQPG連接，設(shè)直線為解得直線直線與拋物線相交于點，解得（負值舍去）3分點的坐標為，4分點的坐標為5分（2007內(nèi)蒙赤峰課改，14分）如圖，一元二

14、次方程的二根（）是拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，且此拋物線過點（1）求此二次函數(shù)的解析式（2）設(shè)此拋物線的頂點為，對稱軸與線段相交于點，求點和點的坐標（3）在軸上有一動點，當(dāng)取得最小值時，求點的坐標xyA（3，6）QCOBP答案：解：（1）解方程得1分拋物線與軸的兩個交點坐標為：2分設(shè)拋物線的解析式為3分在拋物線上 4分拋物線解析式為：5分（2）由6分拋物線頂點的坐標為：，對稱軸方程為：7分設(shè)直線的方程為：在該直線上解得直線的方程為：9分將代入得點坐標為10分（3）作關(guān)于軸的對稱點，連接；與軸交于點即為所求的點11分設(shè)直線方程為解得直線：12分令，則13分xyA（3，6）QCOBP點坐標為14

15、分(2007浙江臺州課改,12分)善于不斷改進學(xué)習(xí)方法的小迪發(fā)現(xiàn)，對解題進行回顧反思，學(xué)習(xí)效果更好某一天小迪有20分鐘時間可用于學(xué)習(xí)假設(shè)小迪用于解題的時間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖1所示，用于回顧反思的時間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益的關(guān)系如圖2所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間（1）求小迪解題的學(xué)習(xí)收益量與用于解題的時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求小迪回顧反思的學(xué)習(xí)收益量與用于回顧反思的時間的函數(shù)關(guān)系式；（3）問小迪如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這20分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？Ox21Ox16410（圖1）（圖2）yy答案：解：（1

16、）由圖1，設(shè)當(dāng)時，解得，Oxy21圖1Oxy16410（第23題圖2）A（2）由圖2，當(dāng)時，設(shè)當(dāng)時，即當(dāng)時，因此 （3）設(shè)小迪用于回顧反思的時間為分鐘，學(xué)習(xí)收益總量為，則她用于解題的時間為分鐘當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，隨的增大而減小，因此當(dāng)時，綜上，當(dāng)時，此時答：小迪用于回顧反思的時間為3分鐘，用于解題的時間為17分鐘時，學(xué)習(xí)收益總量最大（2007遼寧12市課改，14分）如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（8，0），點N的坐標為（6，4）（1）畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標（點M的對應(yīng)點為A， 點N的對應(yīng)點為B， 點H的

17、對應(yīng)點為C）；（2）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F(xiàn)，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由； （4）在（3）的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由答案：（1） 利用中心對稱性質(zhì)，畫出梯形OABC 1分A，B，C三點與M，N，H分別關(guān)于點O中心對稱，A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分（寫錯一個點的坐標扣1分）OMNHACEFDB

18、8(6，4)xy（2）設(shè)過A，B，C三點的拋物線關(guān)系式為，拋物線過點A（0，4）， 則拋物線關(guān)系式為 4分將B（6，4）， C（8，0）兩點坐標代入關(guān)系式，得5分 解得6分所求拋物線關(guān)系式為：7分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8分 OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA （ 04） 10分 當(dāng)時，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12分（4）當(dāng)時，GB=GF，當(dāng)時，BE=BG（2007山東濟寧課改，9分）某小區(qū)有一長100m，寬80m 空地，現(xiàn)將其建成花園廣場，設(shè)計圖案如圖，陰影區(qū)域為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），

19、空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m，預(yù)計活動區(qū)每平方米造價60元，綠化區(qū)每平方米造價50元（1）設(shè)一塊綠化區(qū)的長邊為xm，寫出工程總造價與的函數(shù)關(guān)系式（寫出的取值范圍）；（2）如果小區(qū)投資46.9萬元，問能否完成工程任務(wù)，若能，請寫出為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請說明理由（參考值）答案：該題格式出現(xiàn)錯誤，建議將其刪除后再導(dǎo)出?。?007山東日照課改，10分）容積率t是指在房地產(chǎn)開發(fā)中建筑面積與用地面積之比，即t=，為充分利用土地資源，更好地解決人們的住房需求，并適當(dāng)?shù)目刂平ㄖ锏母叨?，一般地容積率t不小于1且不大于8.房地產(chǎn)開發(fā)商在開發(fā)某小區(qū)時，結(jié)合往年開發(fā)經(jīng)

20、驗知，建筑面積M（m2）與容積率t的關(guān)系可近似地用如圖（1）中的線段l來表示；1 m2建筑面積上的資金投入Q（萬元）與容積率t的關(guān)系可近似地用如圖（2）中的一段拋物線c來表示（）試求圖（1）中線段l的函數(shù)關(guān)系式；并求出開發(fā)該小區(qū)的用地面積；（）求出圖（2）中拋物線c的函數(shù)關(guān)系式.（2007四川綿陽課改，12分）已知x1，x2 是關(guān)于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的兩個實數(shù)根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當(dāng)實數(shù)m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值（2007四川綿陽課改，14分）如圖，已知拋物線y = ax2 + bx3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，M的半徑為設(shè)M與y軸交于D，拋物線的頂點