高等數(shù)學(xué)講義第六章

1、數(shù)學(xué)應(yīng)考必備第六章 多元函數(shù)微分學(xué)6.1 多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性(甲)內(nèi)容要點一、多元函數(shù)的概念1二元函數(shù)的定義及其幾何意義設(shè)D是平面上的一個點集，如果對每個點P(x,y)D，按照某一對應(yīng)規(guī)則f，變量z都有一個值與之對應(yīng)，則稱z是變量x，y的二元函數(shù)，記以z=f（x，y），D稱為定義域。二元函數(shù)z=f（x，y）的圖形為空間一塊曲面，它在xy平面上的投影域就是定義域D。例如 二元函數(shù)的圖形為以原點為球心，半徑為1的上半球面，其定義域D就是xy平面上以原點為圓心，半徑為1的閉圓。2三元函數(shù)與n元函數(shù)空間一個點集，稱為三元函數(shù)它們的幾何意義不再討論，在偏導(dǎo)數(shù)和全微分中會用到三元函數(shù)。條件極值中

2、，可能會遇到超過三個自變量的多元函數(shù)。二、二元函數(shù)的極限設(shè)的鄰域內(nèi)有定義，如果對任意只要則記以稱當(dāng)?shù)臉O限存在，極限值為A。否則，稱為極限不存在。92 / 16值得注意：是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿任意曲線趨于，所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復(fù)雜，但考試大綱只要求知道基本概念和簡單的討論極限存在性和計算極限值不象一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。三、二元函數(shù)的連續(xù)性1二元函數(shù)連續(xù)的概念若若內(nèi)每一點皆連續(xù)，則稱在D內(nèi)連續(xù)。2閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1 （有界性定理）設(shè)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上一定有界定理2 （最大值最小值定理）設(shè)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上一定有最大值和最小值定理3

3、（介值定理）設(shè)在閉區(qū)域D上連續(xù)，M為最大值，m為最小值，若則存在（乙）典型例題一、求二元函數(shù)的定義域例1 求函數(shù)的定義域解：要求 又要求綜合上述要求得定義域 或 例2 求函數(shù)解：要求 即 函數(shù)定義域D在圓的內(nèi)部（包括邊界）和拋物線的左側(cè)（不包括拋物線上的點）二、有關(guān)二元復(fù)合函數(shù)例1 設(shè)解： 設(shè)解出 代入所給函數(shù)化簡 故 例2 設(shè)解： 例3 設(shè)解： 由條件可知 三、有關(guān)二元函數(shù)的極限例1 討論解：原式=而又例2 討論解：沿原式 沿例3 討論解： 而 用夾逼定理可知 原式=06.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分（甲）內(nèi)容要點一、偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念1偏導(dǎo)數(shù)二元：設(shè) 三元：設(shè)2二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) ， ， 3全

4、微分設(shè) 增量若 當(dāng) 則稱 可微，而全微分定義：定理：可微情況下， 三元函數(shù) 全微分 4相互關(guān)系連續(xù)存在 5方向?qū)?shù)與梯度（數(shù)學(xué)一）二、復(fù)合函數(shù)微分法鎖鏈公式三、隱函數(shù)微分法設(shè) 則 四、幾何應(yīng)用（數(shù)學(xué)一）1空間曲面上一點處的切平面和法線2空間曲線上一點處的切線和法平面（乙）典型例題例1 求 的偏導(dǎo)數(shù) 解 ， 例2 設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)分別由下列兩式確定 解 由解出 由 解出 所以 例3 設(shè)所確定的函數(shù)，其中f具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 求 解 分別在兩方程兩邊對x求導(dǎo)得 解出 例4 設(shè) 解一：令, 解二： 在 解出 代入 合并化簡也得 例5 設(shè) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 u

5、 x f v y 解： 故： 所以：例6 已知 均有連續(xù)編導(dǎo)數(shù)，求證 證：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)公式 則得 例7 設(shè) 解：對 6.3 多元函數(shù)的極值和最值（甲）內(nèi)容要點一、求第一步 第二步 進(jìn)一步 二、求多元（）函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子法求 約束條件 求出 是有可能的條件極值點，一般再由實際問題的含義確定其充分性，這種方法關(guān)鍵是解方程組的有關(guān)技巧。三、多元函數(shù)的最值問題（略）（乙）典型例題一、普通極值例1 求函數(shù)的極值解 要求 故知 由此解得三個駐點 又 在點（1，1）處極小值 在點（-1，-1）處極小值 在點（0，0）處這時 取而 取不是極值點例2 確定的函數(shù)，求的極值點和極值。解 因為 每一項對

6、x求導(dǎo)，z看作x，y的函數(shù)，得 （1）每一項對y求導(dǎo)，z看作x，y的函數(shù)，得 （2）令 故 將上式代入，可得把（1）的每一項再對x求導(dǎo)，z和看作x,y的函數(shù)，得把（1）的每一項再對y求導(dǎo)，z和看作x,y的函數(shù)，得把（2）的每一項再對y求導(dǎo)，z和看作x,y的函數(shù)，得所以 故 ，極小值為類似地，由可知 ，極大值為二、條件極值問題例1 在橢球面第一卦限上P點處作切平面，使與三個坐標(biāo)平面所圍四面體的體積最小，求P點坐標(biāo)。解：設(shè)P點坐標(biāo)(x,y,z)，則橢球面在P點的切平面的法向量為切平面：約束條件 用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得則 將（5）分別找代入（1），（2），（3）得所以 P點坐標(biāo)為（）

7、而最小體積例2 求坐標(biāo)原點到曲線C：的最短距離。解：設(shè)曲線C上點（x, y, z）到坐標(biāo)原點的距離為d，令約束條件用拉格朗日乘子法，令首先，由（1），（2）可見，如果取解得這樣得到兩個駐點再由（1）（2）得是矛盾的，所以這種情形設(shè)有駐點。最后，討論情形，由（1）（2），（3）可得此方程無解，所以這種情形也沒有駐點。綜合上面討論可知只有兩個駐點，它們到坐標(biāo)原點的距離都是1，由實際問題一定有最短距離，可知最短距離為1。另外， 由于C為雙曲線，所以坐標(biāo)原點到C的最大距離不存在。例3 已知函數(shù)在橢圓域解法1 由再由令在橢圓其最大值為再與比較，可知在橢圓域D上的最大值為3，最小值為-2。解法2 同解法1，得駐點(0,0).用拉格朗日乘數(shù)法求此函數(shù)在橢圓上的極值。設(shè) 解得4個可能的極值點(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).又f (0,2)=-2, f (0,-