萬學(xué)海文鐵軍高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義（Word）

1、講義 高等數(shù)學(xué)考研第一章函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)是微積分的研究對象，極限是微積分的理論基礎(chǔ)，而連續(xù)性是可導(dǎo)性與可積性的重要條件。它們是每年必考的內(nèi)容之一。第一節(jié)數(shù)列極限與函數(shù)極限 【大綱內(nèi)容】數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義以及它們的性質(zhì)；函數(shù)的左極限與右極限；無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系；無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較；極限的四則運(yùn)算；極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則；單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則；兩個(gè)重要極限：；洛必達(dá)（）法則?！敬缶V要求】理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限；掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法

2、；理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限；掌握用洛必達(dá)（）法則求未定式極限的方法?！究键c(diǎn)分析】數(shù)列極限的考點(diǎn)主要包括：定義的理解，極限運(yùn)算法則的理解，單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則求極限，利用定積分的定義求和式的極限等等。函數(shù)極限的考點(diǎn)主要包括：用洛必達(dá)法則求未定式的極限，由已知極限求未知極限，極限中的參數(shù)問題，無窮小量階的比較等等。一、數(shù)列的極限1.數(shù)列的極限無窮多個(gè)數(shù)按一定順序排成一列：稱為數(shù)列，記為數(shù)列，其中稱為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。設(shè)有數(shù)列 和常數(shù)A。若對任意給定的，總存在自然數(shù)，當(dāng)n>N時(shí)，恒有，則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為或。沒有極限的數(shù)

3、列稱為發(fā)散數(shù)列。收斂數(shù)列必為有界數(shù)列，其極限存在且唯一。2.極限存在準(zhǔn)則（1）定理（夾逼定理）設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有，且有， 則極限存在，且等于A .注對其他極限過程及數(shù)列極限，有類似結(jié)論. （2）定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 3.重要結(jié)論：（1）若1 / 200，則，其中為任意常數(shù)。（2）。（3）?！究键c(diǎn)一】（1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限. （2）單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞增且無上界的數(shù)列的極限為.（3）單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且無下界的數(shù)列的極限為.【評注】（1）在應(yīng)用【考點(diǎn)一】進(jìn)行證明時(shí)，有些題目中關(guān)于單調(diào)性與有界性的證明有先后次序之分，需要及時(shí)進(jìn)行調(diào)整證明次序。

4、（2）判定數(shù)列的單調(diào)性主要有三種方法：計(jì)算. 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，計(jì)算. 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。令，將n改為x，得到函數(shù)。若可導(dǎo)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減?！纠?·證明題】設(shè)數(shù)列滿足證明數(shù)列的極限存在并求極限.【答疑編號911010101】1.X0>0X0>0 ,假設(shè) Xn>0 , n2 Xn>0 , 假設(shè)成立 Xn>0 , , n1 ，n1 時(shí) Xn+1Xn 且令，因?yàn)椋蓸O限的保號性知令n， a2=2【例2·證明題】設(shè)f（x）是區(qū)間上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，證明數(shù)列的極限存在?！敬鹨删幪?1101010

5、2】例2 f（x）且 f（x）0 f（x） 又 f（x）00 0an0 ， 且an+1an 存在【考點(diǎn)二】（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)有正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則.【評注】在使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，需要對通項(xiàng)進(jìn)行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”應(yīng)該是盡可能地大，而“放大”應(yīng)該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，那么就說明夾逼準(zhǔn)則不適用于這個(gè)題目，要改用其他方法。【例3·計(jì)算題】計(jì)算極限：【答疑編號911010103】例3 SinX0 ,根據(jù)積分的不等式定理若在a ，b f（x）g（x），則。 令n0 0 0（取右端點(diǎn)） （取左端點(diǎn)）【考點(diǎn)三】用定積分的定義計(jì)算和式的極限：由定積分的定義知，當(dāng)連續(xù)

6、時(shí)，有， 【例4·計(jì)算題】求下列極限：【答疑編號911010104】 【例5·選擇題】等于（）【答疑編號911010105】 【考點(diǎn)四】設(shè)，則。也就是說，將數(shù)列中的正整數(shù)改為連續(xù)變量，令，則數(shù)列的極限等于相應(yīng)的函數(shù)的極限。綜合題也很重要。 【例6·解答題】設(shè)在x=0某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且.求極限.【答疑編號911010201】6. f（0）=1 ，f（0）=2 令 1 再利用重要極限 【例7·選擇題】設(shè), 則極限等于（）【答疑編號911010202】 而 【例8·證明題】設(shè)，證明：（1）對于任何自然數(shù)n，方程在區(qū)間中僅有一根。（2）設(shè)【答疑編號911

7、010203】要證:有根令 （1）令 ，至少存在使F（xn）=0 F（x）在嚴(yán)格單減則F（xn）=0 且 xn 唯一8.（2） 在內(nèi)在上嚴(yán)格單減二、函數(shù)的極限【考點(diǎn)五】也就是說，函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是，左極限與右極限都存在，并且都等于A。 【評注】在求極限時(shí)，如果函數(shù)中包含或項(xiàng)，則立即討論左右極限和，再根據(jù)【考點(diǎn)五】判斷雙側(cè)極限是否存在?！纠?·解答題】確定常數(shù)a的值，使極限存在。【答疑編號911010204】不存在 X<0X0 , x>0令a=3-a【考點(diǎn)六】使用洛必達(dá)（）法則求型未定式的極限之前，一定要將所求極限盡可能地化簡?；喌闹饕椒ǎ海?）首先用

8、等價(jià)無窮小進(jìn)行代換。注意：等價(jià)無窮小代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用，而不能在極限的加減運(yùn)算中使用，但在極限的加減運(yùn)算中高階無窮小可以略去；（2）將極限值不為零的因子先求極限；（3）利用變量代換（通常是作倒代換，令）（4）恒等變形：通過因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數(shù)拆項(xiàng)、合并或通分達(dá)到化簡的目的。（5）常見的等價(jià)無窮小代換：當(dāng)X0時(shí)，我們有：未定式極限： ， 0×1 ，00 ，0【例10·解答題】求極限.【答疑編號911010205】x0,xln（2cosx）ln3 【例11·解答題】求極限【答疑編號911010206】解： x0 ln（1+x）x 【例

9、12·解答題】設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處可微，又設(shè)，函數(shù)，求極限【答疑編號911010207】 【考點(diǎn)七】求型未定式極限的方法： （1）分子、分母同時(shí)除以最大的無窮大 （2）使用洛必達(dá)（ ）法則【例13·解答題】求極限 .【答疑編號911010301】13. 【考點(diǎn)八】化和型未定式為型和型的方法是： （1）通分法（2）提因子法（3）變量代換法，0×【例14·解答題】求極限.【答疑編號911010302】14.（，-）x0 ,（1+x）2-12x【例14】求極限.【例15·解答題】求極限： 【答疑編號911010303】 【例16·解答題

10、】求極限 .【答疑編號911010304】【例17·解答題】求極限.【答疑編號911010305】17. 【考點(diǎn)九】（1）求冪指函數(shù)型不定式的極限，常用“換底法”或“用e抬起法”，化為型后再使用洛必達(dá)法則，即（2）計(jì)算型極限的最簡單方法是使用如下的 型極限計(jì)算公式：。推導(dǎo)如下（為簡便，略去自變量 ）： 【例18·解答題】（北京大學(xué)，2002年）求極限.【答疑編號911010306】【例19·解答題】計(jì)算.【答疑編號911010307】19.（1）當(dāng)a1時(shí)，19.當(dāng)0a1時(shí)【考點(diǎn)十】（1）已知 ，則有：（2）已知 ，若 ，則 .【評注】在已知函數(shù)的極限求未知的參數(shù)問

11、題時(shí)，【考點(diǎn)十】是主要的分析問題與解決問題的方法。若且則【例20·解答題】設(shè) ，則.【答疑編號911010401】 【例21·選擇題】設(shè)為兩實(shí)常數(shù)，且有，則的值分別為（）【答疑編號911010402】（A），（B） ， （C），（D）， 【考點(diǎn)十一】在已知條件或欲證結(jié)論中涉及到無窮小量階的比較的話，則“不管三七二十一”，先用無窮小量階的比較的定義處理一下再說。【評注】無窮小量階的比較，是一個(gè)重要考點(diǎn)。其主要方法是將兩個(gè)無窮小量相除取極限，再由定義比較階的高低。設(shè)是同一過程下的兩個(gè)無窮小，即。若若 則稱是比低階的無窮??；若若則稱與是等價(jià)無窮小。若C0,0,則稱是的階無窮小?！?/p>

12、例22·解答題】已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，與是等價(jià)無窮小，求常數(shù)和。【答疑編號911010403】 （k0） 【例23·選擇題】當(dāng)時(shí)，和都是關(guān)于的n階無窮小量，而是關(guān)于的m階無窮小，則（）?！敬鹨删幪?11010404】 （A）必有m=n（B）必有 （C）必有（D）以上幾種情況都有可能若則時(shí)，是的n階無窮小量；若A+B=0則時(shí)，是比還高階的無窮??； 【例24·證明題】設(shè)函數(shù)f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。證明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小?！敬鹨删幪?11010405】 證明方程組有唯一解 第二節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 【考點(diǎn)分析】主要

13、考點(diǎn)包括：函數(shù)連續(xù)的充要條件，間斷點(diǎn)的類型及其判斷，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理及其應(yīng)用等。一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn).函數(shù)連續(xù)性概念連續(xù)： 定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，并稱為連續(xù)點(diǎn)。定義2若函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左（右）鄰域內(nèi)有定義，并且，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左（右）連續(xù)。顯然，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是在點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。定義3函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，是指在內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)；在閉區(qū)間上連續(xù)，是指在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)。使函數(shù)連續(xù)的區(qū)間，稱為的連續(xù)區(qū)間。.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類定義函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)，即在點(diǎn)處有下列三種情況之一出現(xiàn)：（1）在點(diǎn)附近

14、函數(shù)有定義，但在點(diǎn)無定義；（2）不存在；（3）與都存在，但，則稱在點(diǎn)處不連續(xù)，或稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)的分類：設(shè)為函數(shù)的間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的分類是以點(diǎn)的左、右極限來劃分的。 第一類間斷點(diǎn)：若與都存在，則稱為第一類間斷點(diǎn)： （1）若，則稱為跳躍型間斷點(diǎn)，并稱為點(diǎn)的跳躍度； （2）若存在（即=），則稱為可去間斷點(diǎn)。此時(shí)，當(dāng)在無定義時(shí)，可以補(bǔ)充定義，則在連續(xù)；當(dāng)存在，但時(shí)，可以改變在的定義，定義極限值為該點(diǎn)函數(shù)值，則在連續(xù)。 第二類間斷點(diǎn)：若與中至少有一個(gè)不存在，則稱為第二類間斷點(diǎn)，其中若與中至少有一個(gè)為無窮大，則稱為無窮型間斷點(diǎn)；否則稱為擺動(dòng)型間斷點(diǎn)?！纠?5·解答題】設(shè)函數(shù) 問a為何值

15、時(shí)，在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是的可去間斷點(diǎn)？【答疑編號911010501】 在處連續(xù)【例26·解答題】設(shè)，其中試求的表達(dá)式，并求函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左、右極限?！敬鹨删幪?11010502】 由于 【例27·解答題】試確定和的值，使有無窮間斷點(diǎn)，且有可去間斷點(diǎn).【答疑編號911010503】 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1:（有界性定理） 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù) 必在a,b上有界。定理2:（最大值最小值定理） 閉區(qū)間a,b上的函數(shù)，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在兩點(diǎn) ，使得對a,b上的一切x，恒有.此處與就是 在a,b上最小值與最大值。定

16、理3:（介值定理） 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，m與M分別為 在a,b上的最小值與最大值，則對于任一實(shí)數(shù)c（mcM），至少存在一點(diǎn)，使。定理4:（零點(diǎn)定理或根的存在定理） 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使?！纠?8·解答題】設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，且。利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)，使?！敬鹨删幪?11010504】補(bǔ)充知識：在a,b上連續(xù)，且，則 若，則 【例29·解答題】設(shè)為正常數(shù)，證明方程有且僅有三個(gè)實(shí)根，它們分別位于區(qū)間內(nèi)?！敬鹨删幪?11010505】將方程左端進(jìn)行通分, 是一個(gè)三次多項(xiàng)式,最多有3個(gè)零點(diǎn)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)證零點(diǎn)均為方程的根原

17、方程有且僅有3個(gè)實(shí)根-高等數(shù)學(xué)-第一章函數(shù)、極限、連續(xù)一、單項(xiàng)選擇題1.區(qū)間a,+)，表示不等式（    ）2.若3.函數(shù)  是（ ）。（A）偶函數(shù) （B）奇函數(shù) （C）非奇非偶函數(shù)  （D）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)4.函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù) y=f-1（x）的圖形對稱于直線（ ）。5.函數(shù)6.函數(shù)7.若數(shù)列xn有極限a,則在a的鄰域之外，數(shù)列中的點(diǎn)（ ）（A）必不存在 （B）至多只有有限多個(gè)（C）必定有無窮多個(gè) （D）可以有有限個(gè)，也可以有無限多個(gè)8.若數(shù)列 xn 在（a-, a+）鄰域內(nèi)有無窮多個(gè)數(shù)列的點(diǎn)，則（ ），（其中 為某一

18、取定的正數(shù)）（A）數(shù)列 xn 必有極限，但不一定等于a（B）數(shù)列 xn 極限存在且一定等于a（C）數(shù)列 xn 的極限不一定存在（D）數(shù)列 xn 一定不存在極限9.數(shù)列（A）以0為極限 （B）以1為極限（C）以（n-2）/n為極限 （D）不存在極限10.極限定義中與的關(guān)系是（ ）（A）先給定后唯一確定（B）先確定后確定，但的值不唯一（C）先確定后給定 （D）與無關(guān)11.任意給定12.若函數(shù)f（x）在某點(diǎn)x0極限存在，則（ ）（A） f（x）在 x0的函數(shù)值必存在且等于極限值（B） f（x）在x0的函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值（C） f（x）在x0的函數(shù)值可以不存在（D）如果f（x0）存在則必

19、等于極限值13.如果14.無窮小量是（ ）（A） 比0稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù) （B）一個(gè)很小很小的數(shù)（C）以0為極限的一個(gè)變量 （D）0數(shù)15.無窮大量與有界量的關(guān)系是（ ）（A）無窮大量可能是有界量 （B）無窮大量一定不是有界量（C）有界量可能是無窮大量 （D）不是有界量就一定是無窮大量16.指出下列函數(shù)中當(dāng)X0+ 時(shí)，（ ）為無窮大量。17.若18.設(shè)19.求20.求21.求22.求23.求24.無窮多個(gè)無窮小量之和（ ）（A）必是無窮小量 （B）必是無窮大量（C）必是有界量 （D）是無窮小，或是無窮大，或有可能是有界量25.兩個(gè)無窮小量與之積仍是無窮小量，且與或相比（ ）。（A）是高階無窮小

20、（B）是同階無窮?。–）可能是高階無窮小，也可能是同階無窮?。―）與階數(shù)較高的那個(gè)同階26.設(shè) （A）0 （B）1（C）1/3 （D）327.點(diǎn)X=1是函數(shù) 的（ ）。（A）連續(xù)點(diǎn)（B）第一類非可去間斷點(diǎn) （C）可去間斷點(diǎn) （D）第二類間斷點(diǎn)28.方程x4-x-1=0至少有一個(gè)根的區(qū)間是（ ）。（A） （0,1/2）（B） （1/2,1）（C） （2,3）（D） （1,2）29.設(shè)（A）可去間斷點(diǎn) （B）無窮間斷點(diǎn)（C）連續(xù)點(diǎn)（D）跳躍間斷點(diǎn)30.若二、簡答題1.若2.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：3.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：4.求當(dāng)x0時(shí)  的左、右極限，并說明它們在x0時(shí)的極限是否存在

21、。5.設(shè)6.求極限:7.求極限：8.求極限：9.求極限：10.求極限：11.求極限：12.求極限：13.求極限：14.求15.求16.求三、填空題。1.設(shè)則f(x)的定義域是_，f(0)=_，f(1)=_2.的定義域是_，值域是_.3.若  ，則f(f(x) =_,f(f(f(x) =_.4.若，則f(x)=_.5.設(shè)6.求7.求8.已知9.求10.求11.如果a應(yīng)等于_12.設(shè) 則處處連續(xù)的充分必要條件是b=_13.若 若無間斷點(diǎn)，則a=_14.函數(shù)15.設(shè)16.已知答案部分一、單項(xiàng)選擇題1.【正確答案】 B【答疑編號4079】2.【正確答案】 D【答

22、疑編號4080】3.【正確答案】 B【答案解析】 【答疑編號4081】4.【正確答案】 C【答疑編號4082】5.【正確答案】 D【答案解析】 【答疑編號4083】6.【正確答案】 B【答案解析】 【答疑編號4084】7.【正確答案】 B【答疑編號4085】8.【正確答案】 C【答疑編號4086】9.【正確答案】 B【答案解析】 首先寫出一般項(xiàng)，即(n-1)/(n+1) ，當(dāng)n趨于無窮時(shí)，極限是1，所以是以1為極限的。【答疑編號4087】10.【正確答案】 B【答案解析】&#

23、160;這就是對極限定義的考查。【答疑編號4088】11.【正確答案】 A【答案解析】 這就是對極限定義的考查?！敬鹨删幪?089】12.【正確答案】 C【答疑編號4090】13.【正確答案】 C【答疑編號4091】14.【正確答案】 C【答疑編號4092】15.【正確答案】 B【答疑編號4093】16.【正確答案】 D【答案解析】 【答疑編號4094】17.【正確答案】 C【答案解析】 無窮小量乘以有界變量是無窮小量?！敬鹨删幪?095】18.【正確答案】 C【答疑編號4096】19

24、.【正確答案】 C【答案解析】 【答疑編號4097】20.【正確答案】 D【答案解析】 【答疑編號4098】21.【正確答案】 C【答案解析】 【答疑編號4099】22.【正確答案】 C【答案解析】 【答疑編號4100】23.【正確答案】 A【答案解析】 這個(gè)重要極限：【答疑編號4101】24.【正確答案】 D【答疑編號4102】25.【正確答案】 A【答疑編號4103】26.【正確答案】 C【答案解析】 【答疑編號4104】27.【正確答案】 

25、C【答案解析】 【答疑編號4105】28.【正確答案】 D【答案解析】 【答疑編號4106】29.【正確答案】 A【答案解析】 【答疑編號4107】30.【正確答案】 D【答案解析】 【答疑編號4108】二、簡答題1.【正確答案】 證明：【答疑編號4109】2.【正確答案】 （1）證明：（2）證明：【答疑編號4110】3.【正確答案】 （1）證明：由于（2）證明：由于【答疑編號4111】4.【正確答案】 【答疑編號4112】5.【正確答案】 【答疑編號4113】6.【正確答案

26、】 【答疑編號4114】7.【正確答案】 【答疑編號4115】8.【正確答案】 【答疑編號4116】9.【正確答案】 【答疑編號4117】10.【正確答案】 【答疑編號4118】11.【正確答案】 【答疑編號4119】12.【正確答案】 【答疑編號4120】13.【正確答案】 【答疑編號4121】14.【正確答案】 【答疑編號4122】15.【正確答案】 【答疑編號4123】16.【正確答案】 【答疑編號4124】三、填空題。1.【正確答案】 -1，3)；2；0【答疑編號40

27、63】2.【正確答案】 （-，+）；0，【答案解析】 值域是0，【答疑編號4064】3.【正確答案】 1、 2、X【答案解析】 【答疑編號4065】4.【正確答案】 X2+1【答案解析】 【答疑編號4066】5.【正確答案】 【答案解析】 【答疑編號4067】6.【正確答案】 1/2【答案解析】 【答疑編號4068】7.【正確答案】 4/3【答案解析】 【答疑編號4069】8.【正確答案】 b=6； a任意?！敬鸢附馕觥?#160;【答疑編號40

28、70】9.【正確答案】 【答案解析】 【答疑編號4071】10.【正確答案】 【答案解析】 【答疑編號4072】11.【正確答案】 2【答疑編號4073】12.【正確答案】 0【答疑編號4074】13.【正確答案】 0 ；0【答疑編號4075】14.【正確答案】  2【答疑編號4076】15.【正確答案】 4；10【答疑編號4077】16.【正確答案】 2；-8【答疑編號4078】-高等數(shù)學(xué)-第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分是一元函數(shù)微分學(xué)中的兩個(gè)重要概念，在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，其內(nèi)涵豐富，應(yīng)用廣

29、泛，是考試的主要內(nèi)容之一，應(yīng)深入加以理解，同時(shí)應(yīng)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的各種計(jì)算方法?！究键c(diǎn)分析】本章考點(diǎn)的核心是：導(dǎo)數(shù)與微分的定義，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。?？键c(diǎn)包括：求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；已知某些極限求指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；在可導(dǎo)條件下求某些極限；在可導(dǎo)條件下求某些參數(shù)；求曲線的切線與法線等。此外，也考到函數(shù)增量與函數(shù)微分之間的關(guān)系，作為填空題或選擇題。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念 一、導(dǎo)數(shù)的定義 定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在處有增量（點(diǎn)，），相應(yīng)地函數(shù)有增量，如果極限 存在，則稱該極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（也稱變化率或微商）。此時(shí)，也稱在點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)或在點(diǎn)可導(dǎo)。在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)記為 ,即.若令，

30、則導(dǎo)數(shù)也可用下式表示. 定義2：左、右導(dǎo)數(shù)若令，可得【注意】1.導(dǎo)數(shù)是一種特定形式的極限，使用中常呈現(xiàn)這里h是泛指一個(gè)變量，只要在給定過程下即可。 2.導(dǎo)函數(shù)可用下式表示 或 3.若在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，并且都存在，則稱在a,b上可導(dǎo)。4.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若在點(diǎn)可導(dǎo)，則它必在點(diǎn)連續(xù)。注意，逆命題不真，即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但在點(diǎn)不一定可導(dǎo)?！究键c(diǎn)十二】（1）導(dǎo)數(shù)是特殊形式的極限，可把它看作是兩種重要極限之外的第三種重要極限。（2）常用導(dǎo)數(shù)的定義求一些抽象函數(shù)構(gòu)成的分式函數(shù)的極限，其思路是：先將分式函數(shù)的分子和分母化成下列標(biāo)準(zhǔn)形式，即 然后再用導(dǎo)數(shù)的定義求出未知極限。【例1·解答題】設(shè)在內(nèi)

31、有定義.（1）若極限存在，則在點(diǎn)處是否可導(dǎo)？若在點(diǎn)處可導(dǎo)，請給出證明；若在點(diǎn)處不可導(dǎo)，請給出反例?！敬鹨删幪?11020101】（2）若在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，證明：?！敬鹨删幪?11020102】解：（1）若存在，則在點(diǎn)不一定可導(dǎo)【例2·選擇題】設(shè)可導(dǎo)的充要條件為（）（A）存在 （B）存在（C）存在 （D）存在【答疑編號911020103】【例3·解答題】已知函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足【答疑編號911020104】【考點(diǎn)十三】（1）在處可導(dǎo)（2）求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先用求導(dǎo)法則及基本公式，求出各分段區(qū)間內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；然后對各分段點(diǎn)用可導(dǎo)定義或利用左右導(dǎo)數(shù)和上述可導(dǎo)的充要條件進(jìn)行討論。如

32、果某分段點(diǎn)不連續(xù)，當(dāng)然不可導(dǎo)?！纠?·選擇題】設(shè)函數(shù)f（x）可導(dǎo)，則是在處可導(dǎo)的（）條件。（A）充要 （B）充分非必要 （C）必要非充分 （D）非充分非必要【答疑編號911020201】答案：A【例5·選擇題】設(shè)在x=0處連續(xù)，則（）（A）b為任意常數(shù)，而a=0 （B）b為任意常數(shù)，而a=e（C）a為任意常數(shù)，而b=0 （D）a為任意常數(shù)，而b=e【答疑編號911020202】 由題意可以知道所以b=e表示在x=0處連續(xù)答案：D【考點(diǎn)十四】設(shè)，其中處連續(xù)，則當(dāng)且僅當(dāng)處可導(dǎo)?！咀C明】這是因?yàn)椋?【例6·選擇題】函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）（A）3 （B）2 （C）1

33、（D）0【答疑編號911020203】x3+x2-2x=x（x2+x-2）=x（x+2）（x-1）其中arctanx就相當(dāng)于考點(diǎn)十四中的不可導(dǎo)的個(gè)數(shù)有2個(gè)（-2、1）答案：B【考點(diǎn)十五】（1）過曲線上的點(diǎn)的切線方程為特別地，若，則在點(diǎn)的切線方程為；若，則在點(diǎn)的切線方程為。（2）過曲線上的點(diǎn)的法線方程為特別地，若，則在點(diǎn)的法線方程為；若，則在點(diǎn)的法線方程為。（3）兩條曲線相切包含兩層含義： 兩條曲線有公共的交點(diǎn)，即切點(diǎn)；兩條曲線在公共切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，即切線的斜率相等?！纠?·解答題】已知f（x）是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=0的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式：f（1+sinx）-3f（1-sin

34、x）=8x+，其中是當(dāng) 時(shí)，比x高階的無窮小，且f（x）在x=1處可導(dǎo)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（6,f（6）處的切線方程?！敬鹨删幪?11020204】【例8·選擇題】設(shè)周期函數(shù)f（x）在內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又極限，則曲線y=f（x）在點(diǎn)處的法線斜率為（）。 （A） （B）0 （C）1 （D）-2【答疑編號911020205】 【例9·解答題】當(dāng)參數(shù)a為何值時(shí)，拋物線與曲線相切？并求兩條曲線在切點(diǎn)處的公共切線?！敬鹨删幪?11020206】切點(diǎn)（2，1），公共切線：y-1=1×（x-2）【例10·解答題】已知曲線的極坐標(biāo)方程是，求該曲線上對應(yīng)于處的切線與法

35、線的直角坐標(biāo)方程。【答疑編號911020207】第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則【考點(diǎn)十六】（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是最重要的求導(dǎo)法則，計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要按照復(fù)合次序由最外層起，采取層層剝筍的辦法，向內(nèi)一層一層對中間變量求導(dǎo)數(shù)，直到對自變量求導(dǎo)數(shù)為止。（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo)，且（3）注意：符號的意義不同，符號的意義也不同?！纠?1·解答題】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）【答疑編號911020301】解： 【例12·選擇題】設(shè)，則等于（）【答疑編號911020302】 答案：D【考點(diǎn)十七】反函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)y=f（x）【例13·

36、填空題】設(shè)y=f（x）為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，為其反函數(shù)，且，則.【答疑編號911020303】已知y=f（x）求解x=g（y）y=g（x）【例14·解答題】設(shè)函數(shù)上可導(dǎo)，且其反函數(shù)為g（x）。若 求【答疑編號911020304】 【考點(diǎn)十八】（1）求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的程序：設(shè)y=y（x）是由方程F（x,y）=0所確定的可導(dǎo)函數(shù)，將x看作自變量，y看作是x的函數(shù)，y的函數(shù)是x的復(fù)合函數(shù).在方程的兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得到一個(gè)含有的方程，從中解出.（2）對數(shù)求導(dǎo)法的本質(zhì)是：將函數(shù)先化成隱函數(shù)再用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo).冪指函數(shù)，兩端取對數(shù)得，則函數(shù)表達(dá)式為若干因子連乘積、乘方、開方或

37、商的形式，則函數(shù)兩端先取對數(shù)，然后在等式的兩端再對x求導(dǎo).【例15·解答題】求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù).【答疑編號911020305】求導(dǎo)：【例16·解答題】設(shè)函數(shù)確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且【答疑編號911020306】 【考點(diǎn)十九】由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y=y（x）是由參數(shù)方程確定的函數(shù)，（1）若 都可導(dǎo)，且，則【注意】不要把分子與分母寫反了.（2）若二階可導(dǎo)，且，則【注意】不要遺漏了分母中的.【例17·解答題】設(shè)【答疑編號911020401】【例18·解答題】設(shè)，求在處的值.【答疑編號911020402】第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)【考點(diǎn)二十】求高階導(dǎo)數(shù)的方法：（1）定

38、義法：用高階導(dǎo)數(shù)的定義來求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)y=f（x）導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，即，記作 。函數(shù)y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)為，也記作。（2）公式法：萊布尼茲公式：設(shè)u（x）,v（x）具有n階導(dǎo)數(shù)，則（3）間接法：對于有理分式函數(shù)，可以先化成部分分式之和，再利用常見高階導(dǎo)數(shù)公式對每個(gè)部分分式求高階導(dǎo)數(shù)； 對于三角函數(shù)有理式，可以通過和差化積等三角公式化為的形式，然后再求高階導(dǎo)數(shù)。（4）常見的高階導(dǎo)數(shù)公式：【例19·解答題】設(shè)，求.【答疑編號911020403】【例20·解答題】設(shè)，其中在x=a處具有n-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求.【答疑編號911020404】

39、由于第四節(jié)微分【考點(diǎn)二十一】（1）微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x及在該區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)的增量，若，其中A（x）僅與x有關(guān)，與無關(guān)，是比高階的無窮小，則稱在x點(diǎn)可微，且微分.【評注】利用微分的定義進(jìn)行解題，是考研試題的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。（2）求微分的方法：設(shè)x為自變量，y為因變量.先求出導(dǎo)數(shù)，用寫出微分。利用一階微分形式不變性，兩端同時(shí)求微分，解出dy【例21·填空題】設(shè)函數(shù)y=f（x）在x=x0處可導(dǎo)，則.【答疑編號911020405】y=f（x）在x=x0處可導(dǎo)y=f（x）在x0可微兩邊同時(shí)除以dy得：【例22·填空題】設(shè)函數(shù)上有定義，對任意x,y,f（x）滿足關(guān)系式：

40、 f（x+y）-f（x）=f（x）-1y+（y），其中?！敬鹨删幪?11020406】f（x+y）-f（x）=f（x）-1y+（y）令y=xf（x+x）-f（x）=f（x）-1 x +（x）【例23·選擇題】設(shè)函數(shù)y=f（x）具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量x在點(diǎn)處的增量，分別為f（x）在點(diǎn)處對應(yīng)的增量與微分，若，則（）【答疑編號911020407】 答案：A2010年數(shù)學(xué)(一)基礎(chǔ)班第二章一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)f（0）=0,則f（x）在點(diǎn)x=0可導(dǎo)的充要條件為()2.設(shè)函數(shù)f（x）=|x3-1|（x）,其中（x）在x=1處連續(xù)，則（1）=0是f（x）在x=1處可導(dǎo)的（）A.充分必要條件.

41、B.必要但非充分條件C.充分但非必要條件 . D.既非充分也非必要條件.3.函數(shù)f（x）=（x2-x-2）|x3-x|不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.3B.2C.3D.04.設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)|f（x）|在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充分條件是（）A.f(a)=0且f(a)=0B.f(a)=0且f(a)0C.f(a)>0且f(a)>0D.f(a)<0且f(a)<05.設(shè)函數(shù)f（x）可導(dǎo)，F(xiàn)（x）=（ex+|sin2x|）f（x）,則f（0）=0是F（x）在x=0處可導(dǎo)的（）條件。A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 非充分非必要6.設(shè)A.b為任意常數(shù)，

42、而a=0 B.b為任意常數(shù)，而a=eC.a為任意常數(shù)，而b=0D.a為任意常數(shù)，而b=e7.設(shè)f（x）在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，則f（x）在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）8.設(shè)9.設(shè)g（x）可導(dǎo)，f（x）=g（x）（1+|sinx|），則g（0）=0是f（x）在x=0處可導(dǎo)的()A.充分必要條件B.充分但非必要條件C.必要但非充分條件 D.既非充分又非必要條件10.若 是()A.與x等價(jià)的無窮小 B.與x同階但不等價(jià)的無窮小 C.比x低階的無窮小 D.比x高階的無窮小11.若（A） 無窮間斷點(diǎn) （B） 可去間斷點(diǎn) （C）連續(xù)點(diǎn) （D） 振蕩間斷點(diǎn)12.已知導(dǎo)數(shù)上的圖形為下圖，則函數(shù)y=f（x

43、）在（a,b）上是（）（A）增加且凹的 （B）減少且凹的（C）增加且凸的（D）減少且凸的13.設(shè)  則在x=a處，有（）（A）（B）f（x）取得極大值；（C）f（x）取得極小值；（D）f（x）的導(dǎo)數(shù)不存在14.的垂直漸近線為 （ ）A.x=1，x=-2 B.x=-1C.y=1，y=2 D.y=-115.曲線 的漸近線情況是（ ）A.一條漸近線 B.二條漸近線C.三條漸近線 D.無漸近線二、計(jì)算題1.設(shè)f（x）=10x2，按導(dǎo)數(shù)定義求f（-1）2.已知3.設(shè)4.已知5.已知6.設(shè)求f(0)7.已知求y8.設(shè)9.求dy10.求y11.已知12.求13.求曲線y=xex的水平漸近線。三、綜

44、合題1.設(shè)f（x）在x=a可導(dǎo)，且f（a）0，求極限2.設(shè)f（x）在（0,+oo）上有定義，且對任意x（0,+oo）,y（0,+oo）,有f（x,y）=f（x）+f（y）,又f（1）存在且等于a，試求x>0時(shí)f（x）3.設(shè)4.設(shè)5.設(shè)g（0）=1,g（0）=-1,求f（x）并討論f（x）在（-oo,+oo）上的連續(xù)性6.設(shè) 求證：7.如果四、填空題。1.設(shè)f（x）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)x=0處連續(xù)，則f(0)=_2.若曲線y=x3在（x0，y0）處切線斜率等于12，求點(diǎn)（x0，y0）的坐標(biāo)_。3.拋物線y=x2 在_處切線與Ox軸正向夾角為/4，并且求該處切線的方程_。4.曲線處

45、切線和法線方程_。5.若拋物線y=ax2與曲線y=lnx相切, 則 a=_。6.已知：7.曲線  在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率=_。8.設(shè)函數(shù)9.設(shè)10.求的導(dǎo)數(shù)是_。11.求12.求曲線13.極限14.下列觀點(diǎn)中屬于主觀唯心主義的有（）A.物是感覺的復(fù)合B.存在就是被感知C.我思故我在D.世界不過是意志的表象五、證明題。1.設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域I內(nèi)有定義。證明：導(dǎo)數(shù)f（x0）存在的充分條件是存在這樣的函數(shù)g（x），它在I內(nèi)有定義，在點(diǎn)x0處連續(xù)，且使得在I內(nèi)成立等式：f（x）=f（x0）+（x-x0）g（x）。又此時(shí)必有f（x0）=g（x0）2.證明雙曲線xy=a2上任一點(diǎn)

46、處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于2 a2。3.設(shè)所給的函數(shù)可導(dǎo)。證明：奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。答案部分一、單項(xiàng)選擇題1.【正確答案】 B【答案解析】  【答疑編號13519】2.【正確答案】 A【答案解析】 應(yīng)選（A）.因?yàn)橐阎瘮?shù)f（x）=|x3-1|（x）含有絕對值，應(yīng)當(dāng)作分段函數(shù)看待，利用f（x）在x=1處左右導(dǎo)數(shù)定義討論也可得到正確答案. 【答疑編號13522】3.【正確答案】 【答疑編號13523】4.【正確答案】 B【答疑編號13524】5.【正確答案】 A【答案解析】 【答疑編號13525】6.【正確答案】 D【答案解析】 【答疑編號13530】7.【正確答案】 D【答疑編號4781】8.【正確答案】 B【答案解析】 【答疑編號4782】9.【正確答案】 A【答疑編號4783】10.【正確答案】 B【答案解析】 提示：【答疑編號4784】11.【正確答案】 B【答疑編號4785】12.【正確答案】 C【答案解析】 在（a，b）上y=f（x）>