八上全等三角形經(jīng)典培優(yōu)習(xí)題匯集學(xué)而思

1、 全等三角形經(jīng)典習(xí)題匯集 第一講全等三角形的性質(zhì)及判定【例1】 如圖，求證：【補(bǔ)充】如圖所示：，求證：【例2】 已知：如圖，、四點(diǎn)在同一條直線上，求證：【補(bǔ)充】已知：如圖，求證： 【補(bǔ)充】如圖，在梯形中，為中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：【例3】 如圖，相交于點(diǎn)，、為上兩點(diǎn)，求證：【補(bǔ)充】已知，如圖，求證：【例4】 如圖，垂足分別為，試說(shuō)明【例10】 如圖所示， 已知，證明：【例11】 、分別是正方形的、邊上的點(diǎn)，且求證：【補(bǔ)充】、分別是正方形的、邊上的點(diǎn)，求證：【例12】 在凸五邊形中，為中點(diǎn)求證：【補(bǔ)充】如圖所示：，求證：【例13】 （1）如圖，ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形

2、ABDE和正方形ACFG，連結(jié)EG，試判斷ABC與AEG面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.圖2（2）園林小路，曲徑通幽，如圖所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成.已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米？【例14】 如圖，中，是上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)求證：【例15】 中，為上一點(diǎn)，使得，為上一點(diǎn)，使得，連、交于點(diǎn)試求的度數(shù)，并寫(xiě)出你的推理證明的過(guò)程【例16】 如圖，是的內(nèi)心，且若，求和的大小【例17】 已知：是的高，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，求證：；【例18】 如左下圖，在矩形中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且，為的中點(diǎn)求證： 如右下圖，在

3、中，、分別為邊、的高，為的中點(diǎn)，于求證： 18.補(bǔ)充：如圖，已知，且求證：是等腰三角形 【例19】 如圖，為邊長(zhǎng)是的等邊三角形，為頂角是的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交于，于，連接，形成一個(gè)求的周長(zhǎng)家庭作業(yè)【習(xí)題1】 已知：如圖， 求證：【習(xí)題2】 已知：DEFMNP，且EFNP，F(xiàn)P，D48°，E52°，MN12cm，求：P的度數(shù)及DE的長(zhǎng).【習(xí)題3】如圖，矩形中，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，矩形周長(zhǎng)為，且，求的長(zhǎng)【習(xí)題4】在四邊形中，的平分線交于求證：當(dāng)是的角平分線時(shí)，有月測(cè)備選【備選1】 如圖所示：，、相交于點(diǎn)求證：平分【備選2】 如圖所示，在中，于點(diǎn)，求證：

4、【備選3】 如圖，ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DEDF，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EG、EF.（1）求證：BGCF.（2）請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.第二講 全等三角形與中點(diǎn)問(wèn)題版塊一 倍長(zhǎng)中線【例1】 在中，則邊上的中線的長(zhǎng)的取值范圍是什么？【補(bǔ)充】已知：中，是中線求證：【例2】 已知：如圖，梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)求證：【例3】 如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，分別是及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，求證：【例4】 如圖，中，是中線求證：【例5】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，求證：【例6】 如圖所示，在和中

5、，、分別是、上的中線，且，求證 【例7】 如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線【例8】 已知為的中線，的平分線分別交于、交于求證：【例9】 在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且以線段、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？【例10】 已知ABC，B=C，D，E分別是AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G，求證GD=GE 【例11】 如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，垂直于，如果，求證(勾股定理的內(nèi)容，選做) 【例10】 在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿足若，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)家庭作業(yè)【習(xí)題1】

6、如圖，在等腰中，是的中點(diǎn)，過(guò)作，且求證： 【習(xí)題2】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于，與相等嗎？為什么？【習(xí)題3】 如右下圖，在中，若，為邊的中點(diǎn)求證：【備選1】如圖，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線分別交DA、BC的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)求證：E=F【備選2】如圖，中，是中點(diǎn)，與交于，與 交于求證：，第三講 全等三角形與角平分線問(wèn)題【例1】 在中，為邊上的點(diǎn)，已知，求證：【例2】 已知中，、分別是及平分線求證：【例3】 如圖，在中，、分別平分、，且與的交點(diǎn)為求證：【例4】 如圖，已知的周長(zhǎng)是，分別平分和，于，且，求的面積ADOCB【補(bǔ)充】如圖所示：，、相交

7、于點(diǎn)求證：平分【例5】 已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【例6】 如圖，已知是上的一點(diǎn)，又，求證：【例7】 如圖所示，是和的平分線，求證：【例8】 如圖所示，已知中，平分，、分別在、上，求證：【例10】 如圖，在四邊形中，平分，過(guò)作，并且，則等于多少？【補(bǔ)充】長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=7，BAD的角平分線交BC于點(diǎn)E，EFED交AB于F，則EF=_【補(bǔ)充】在中，是的平分線是上任意一點(diǎn)求證： 【例11】 如圖，在中，的平分線交與求證：【例12】 如圖，中，平分交于點(diǎn)求證：【鞏固】已知等腰，的平分線交于，則 【例13】 如圖所示，在中，平分，于，求證 【例14

8、】 如圖，中，、分別為兩底角的外角平分線，于，于求證： 【例15】 如圖，平分，平分，點(diǎn)在上 探討線段、和之間的等量關(guān)系 探討線段與之間的位置關(guān)系 家庭作業(yè) 【習(xí)題2】如圖，在中，的平分線交與求證：【習(xí)題3】是的角平分線，交的延長(zhǎng)線于，交于求證： 【習(xí)題4】如圖所示，AD平行于BC，AD=4，BC=2，那么AB=_【習(xí)題5】中，為中點(diǎn)，交的平分線于點(diǎn)，于 于求證： 月測(cè)備選【備選1】在中，平分，求的值 【備選2】如圖，已知在中，求證： 【備選3】如圖所示，在四邊形中，的平分線交于，求證：當(dāng)是的平分線時(shí)，有第四講 全等三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【例1】 已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形（1）求證

9、：（2）求證：CD=CE(3) 求證：CF平分MCN（4） 求證：DEAB【例2】 如圖，四邊形、都是正方形，連接、求證：【例3】 如圖，等邊三角形與等邊共頂點(diǎn)于點(diǎn)求證： 【例4】 如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，問(wèn)的度數(shù)是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說(shuō)明理由 【例5】 如圖，等腰直角三角形中，為中點(diǎn)，求證：為定值 【補(bǔ)充】如圖，正方形繞正方形中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為、，求證：【例6】 (2004河北)如圖，已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 求證：【補(bǔ)充】如圖所示，在四邊形中，于，若四邊形 的面積是16，求的長(zhǎng)【例7】 、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證： 【鞏固】如圖

10、，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平分交邊于點(diǎn)求證：設(shè)()，與的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)的值及若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【補(bǔ)充】(1)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BD，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD求證：EFBEFD;(2) 如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，B+D，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 家庭作業(yè)【習(xí)題1】 如圖，已知和都是等邊三角形，、在一條直線上，試說(shuō)明與相等的理由【習(xí)題2】 (湖北省黃岡市2008年初中畢業(yè)生升學(xué)考試)已知：如圖，點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：【

11、習(xí)題3】 在梯形中，是中點(diǎn)，試判斷與的位置關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程 【習(xí)題4】 已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形、分別是、 的高求證：月測(cè)備選【備選1】 在等腰直角中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)， 交于點(diǎn)，試說(shuō)明的形狀和面積將如何變化 【備選2】 如圖，正方形中，求證： 【備選3】 等邊和等邊的邊長(zhǎng)均為1，是上異于的任意一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，滿足，當(dāng)移動(dòng)時(shí)，試判斷的形狀第五講 軸對(duì)稱和等腰三角形【例1】 在中，求【補(bǔ)充】在中，求【例2】 的兩邊和的垂直平分線分別交于、，若，求【例3】 如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接，則是等邊三角形；當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？【例4】 如圖

12、，在中，在上，在上取一點(diǎn)，使得，求的度數(shù)【例5】 如圖，為等邊三角形，延長(zhǎng)到，又延長(zhǎng)到，使，連接，求證：為等腰三角形【例6】 如圖，在中，為銳角，分別為邊、上的點(diǎn)，滿足，且求證： 板塊三、軸對(duì)稱在幾何最值問(wèn)題中的應(yīng)用【例7】 已知點(diǎn)在直線外，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【例8】 如圖，在公路的同旁有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉(cāng)庫(kù)的距離和最短，這個(gè)中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個(gè)位置比較合理？【例9】 如圖，角內(nèi)有點(diǎn)，在角的兩邊有兩點(diǎn)、(均不同于點(diǎn))，求作、，使得的周長(zhǎng)的最小 【補(bǔ)充】

13、如圖，、為的邊、上的兩個(gè)定點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最短 【例10】 已知如圖，點(diǎn)在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到的邊的距離和最小 【補(bǔ)充】已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)， 在上求作一點(diǎn)，使得最小 【補(bǔ)充】已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，在上求作一點(diǎn)，使得最大 【例11】 如圖，正方形中，是上的一點(diǎn)，且，是上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值與最大值 【補(bǔ)充】例題中的條件不變，求的最小值與最大值【補(bǔ)充】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為8，在上，且，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 家庭作業(yè)【習(xí)題1】 (2007雙柏中考)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則第三邊長(zhǎng)為 【習(xí)題2】 等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周

14、長(zhǎng)分成和兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊的長(zhǎng)為( )A B C或 D無(wú)法確定【習(xí)題3】 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20，腰長(zhǎng)為，求的取值范圍【習(xí)題4】 (2004天津)在下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是( )【習(xí)題5】 判斷下列圖形(圖)是否為軸對(duì)稱圖形？如果是，說(shuō)出它有幾條對(duì)稱軸 月測(cè)備選【備選1】 的一個(gè)內(nèi)角的大小是，且，那么的外角的大小是( )A B或 C 或 D 或【備選2】 已知等腰三角形一腰上的中線將它們的周長(zhǎng)分為12和15兩部分，求腰長(zhǎng)和底長(zhǎng)【備選3】 (四川省競(jìng)賽題)如圖，在等腰中，的上一點(diǎn)，滿足，在斜邊 上求作一點(diǎn)使得長(zhǎng)度之和最小 【備選4】 在正方形中，在上，在上，求和的長(zhǎng)度之和的最小值 第六講 全等三角形中的截長(zhǎng)補(bǔ)短板塊一、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】 已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【例2】 如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【例3】 ADAB，CBAB，DM=CM=，AD=，CB=，AMD=75°，BMC=45°，則AB的長(zhǎng)為 ( )A. B. C. D. 【例4】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+D