全國碩士入學(xué)考試試題

1、一九八七年數(shù)學(xué)一試題、填空題(本題滿分 15分，每小題3 分)(1)與兩直線x =1,1 2 1 z =2 +t都平行，且過原點的平面方程為 .當(dāng)x=時，函數(shù)y=x2x取得極小值.由曲線y=lnx與兩直線y=(e+1)-x及y=0所圍成的平面圖形的面積是 22n設(shè)L為取正向的圓周 x +y =9,則曲線積分 (2xy -2y)dx - (x2 -4x)dy的值是.已知三維線性空間的一組基底為a 1=(1,1,0),a 2=(1,0,1), a 3=(0,1,1), 則u=(2,0,0)在上述基底下的坐標(biāo)是、(本題滿分8分)求正的常數(shù)a與b,使等式1 x tlimdt = 1 成立.x J0 b

2、x -sin x 0 a t2三、(本題滿分7分)(1) (3 分)設(shè) f,g 為連續(xù)可微函數(shù)，u=f(x,xy),v=g(x+xy),3(2) (4分)設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系式 AB=A+2B其中A= 10 11 0，求矩陣B.1 4四、(本題滿分8分)求微分方程y 6y ” (9a2)y=1的通解(一般解)，其中常數(shù)a0.五、選擇題(本題滿分 12分，每小題3分)(1)設(shè)常數(shù)k0,00k +n則級數(shù)v (-1)疋- n經(jīng)-2(A)發(fā)散.(B)絕對收斂.(C)條件收斂.(D)收斂或發(fā)散與k的取值有關(guān)。答：()x(2 )設(shè)f(x)為已知連續(xù)函數(shù)，I二tjf(tx)dx，其中s0,t0，貝U I的

3、值(A)依賴于s和t.(B)依賴于s,t,x.(C)依賴于t和x,不依賴于s. ( D)依賴于s,不依賴于t.答：()(3)設(shè)lim =1，則在點x=a處xf( x a)(A) f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且f (a)工a.( B) f(x)取得極大值(C) f(x)取得極小值.(4)設(shè)A為n階方陣，且(D) f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在.答：()A的行列式|A|=a豐0,而入為A的伴隨矩陣，貝U |A*|等于(A) a.(B)丄.(C)an-1.(D) a.答：()aoo六、(本題滿分10分)求幕級數(shù) 耳L xn 1的收斂域，并求其和函數(shù)n=in2n七、(本題滿分10分)計算曲面積分2I 二 x(8y 1)

4、dydz 2(1 -y )dzdx _4yzdxdy ,S其中S是由曲線/ =J，y _1 (1 Wy W 3)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，它的法向量與 y軸x =0正向的夾角恒大于.2八、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0, 1上可微，對于0, 1上的每一個X,函數(shù)f(x)f的值都在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)，且f(X)工1，證明在(0, 1 )內(nèi)有且僅有一個 X，使f(x)=x.九、(本題滿分8分)問a,b為何值時，線性方程組1 +X2 +X3 +X4 =0,X 2 2X3 2X4 =1,x2 (a -3)x3 -2x4 = b,3x1 2x2 x3 ax4 = -1有唯一解、無解、有無

5、窮多組解？并求出有無窮多組解時的通解十、填空題(本題滿分 6分，每小題2分)(1) 設(shè)在一次試驗中事件 A發(fā)生的概率為p，現(xiàn)進行n次獨立試驗，則 A至少發(fā)生一次的 概率為;而事件A至多發(fā)生一次的概率為(2) 三個箱子，第一個箱子中有4個黑球1個白球，第二個箱子中有3個黑球3個白球，第三個箱子中有 3個黑球5個白球.現(xiàn)隨機地取一個箱子，再從這個箱子中取出 1個球，這 個球為白球的概率等于 .已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€箱子的概率為(3) 已知連續(xù)隨機變量 X的概率密度為1 2f (x)exp( -x2 2x -1)則X的數(shù)學(xué)期望為 ； X的方差為 .十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機變量 X ,

6、 Y相互獨立，其概率密度函數(shù)分別為e，y - 0,0, y_0,1,f X (x) =Tp,0 _x _1,其它，fY(y) =*求隨機變量Z=2X+Y的概率密度函數(shù)一九八七年試卷二一、填空題（同試卷一第一題）二、（本題包含兩個小題，滿分14分）（1） （6分）計算定積分 /（Xx）e+Xdx.（2）（同試卷一第二題）:2乙三、（本題滿分7分）設(shè)z=f（u,x,z）,u=xey,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求一.x .y四、（同試卷一第四題）五、（同試卷一第五題）六、（同試卷一第六題）七、（同試卷一第七題）八、（同試卷一第八題）九、（同試卷一第九題）十、（本題滿分6分）設(shè)入1,入2為n階方陣A的

7、特征值，且 入i工入2,而xi,X2分別為對應(yīng)的特征向量，試證明 X1+X2不是A的特征向量.一九八七年試卷四、（10分）您認(rèn)為結(jié)論正確，在括號內(nèi)打“V”，否則打“X(1) lim e7 = ()X 0X /(2) x4 sin xdx 二0 ()-X若級數(shù)an和bn均發(fā)散，則級數(shù)（anbn）也必發(fā)散.（）n Mnn T假設(shè)D是矩陣A的r階子式，且 X 0,但含D的一切r+1階子式都等于0那么矩陣A的切r+1階子式都等于 0. ()(每小題2 分)(5)連續(xù)型隨機變量取任何給定實數(shù)值的概率都等于0. ()、(10分)在每小題的四種答案中， 選一正確答案將其代號填入題中空格(1)函數(shù)在其定義域內(nèi)

8、連續(xù)(B)sin x,x0,(A)f(x )=ln x+s inxf(x) =cosx,xA0x +1,X Y0,1x 0,(C) f(x)=0,x =0,(D)f(x)=Vxx -1,x A0Qx =0若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，xi和X2是區(qū)間(a,b)內(nèi)任意兩點，且 xiv X2，則至少存 在一點E，使(A) f(b)-f(a)= f ( ) (b-a),其中 avgv b.(B) f(b)-f(x i)= f ( ) (b-x i),其中 xiv E v b.(C) f(x 2)-f(x i)= f ( ) (x 2-x i),其中 xi v E v X2.(D) f(x 2

9、)-f(a)= f ( ) (x 2-a),其中 av E v X2.(3) 廣義積分 收斂.(A)(B)廣匹(C)廣一 (D)廣一e xe xlnxe x(lnx)2e x*lnx假設(shè)A是n階方陣，其秩r v n,那么在A的n個行向量中 (A) 必有r個行向量線性無關(guān).(B) 任意r個行向量都線性無關(guān).(C) 任意r個行向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)向量組(D) 任意r個行向量都可以由其他 r個行向量線性表出.(5)若二事件A和B同時出現(xiàn)的概率(A) A和B不相容(相斥)(C) AB未必是不可能事件P (AB ) =0,貝U(B) AB是不可能事件(D) P (A) =0 或 P ( B) =0三、

10、(16分)計算下列各題(每小題4分)(1)求極限 lim (1 xex)7 ./ 2)|1 x -1(2) y =ln ，求 y .Ji +x2 +1(3) z =arctg x y，求 dz.x _y(4) 求不定積分 e 2x4dx .四、(10分)考慮函數(shù) y=sinx,0w x,問:2（1） t取何值時，圖中陰影部分的面積Si與S2之和S=Si+S2最小?（2）t取何值時，面積 S=S最大？五、（6分）將函數(shù)f（x）二21 展成x的幕級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間x -3x +22o六、（5分）計算二重積分|二exdxdy，其中D是第一象限中由直線 y=x和y=x3所圍成的D封閉區(qū)域.七、（6

11、分）已知某商品的需求量x對價格p的彈性為n =3p3,而市場對該商品的最大需求量為1 （萬件），求需求函數(shù).八、（8分）解線性方程組織x2 +4x3 3x4 = Yx 1*x3 _x4 = 3Xi X2 X3=1,7x17x3 -3x4 =3.42 3【九、（7分）假設(shè)矩陣 A和B滿足如下關(guān)系式 AB=A+2B，其中A = 11 0，求矩陣B-1 2 3 一|-3-1 2十、（6分）求矩陣A = 0-1 4 的實特征值及對應(yīng)的特征向量.10 1 _十一、（8分，每小題4分）（1） 已知隨機變量X的概率分布為PX =1、0.2,PX =2 丄 0.3,P：X =3 =0.5,試寫出其分布函數(shù) F

12、 （ x）.（1） 已知隨機變量Y的概率密度為0,y -0,y乞0,求隨機變量z =丄的數(shù)學(xué)期望EZ.Y1十二、（8分）假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝 50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝 30 件，其中18年一等品，現(xiàn)從兩箱中任意挑出一箱， 然后從該箱中先后隨機取出兩個零機 （取 出的零件均不放回）.試求：(1 )先取出的零件是一等品的概率p;(2 )在先取出的是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的條件概率q.一九八七年試卷五一、(10分)您認(rèn)為結(jié)論正確，在括號內(nèi)打“V”；您認(rèn)為結(jié)論錯誤，在括號內(nèi)打“X”.1(1) Wm eT = ()0TT /(2) x sin xdx =0.(

13、)n(3) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加，則對于區(qū)間( a,b)內(nèi)的任何一點 x有 f(x) -0()(4) 若A為n階方陣，k為常數(shù)，而|A |和|kA |為矩陣A上下文67 ()(5) 連續(xù)型隨機變量取任何給定實數(shù)值的概率都等于0.、(10分)在每小題的四種答案中，選一正確答案將其代號填入題中空格(每小題2 分)(1) 函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)(A) f(x)=丄xx 1, x 0, sin x, x E0,(B) f (x)(C) f(x) = 0, x =0,cosx, X A。LX1, X0丄,(D) f (x) = * |x|0,x =0x =0(2)(同試卷四第二、(

14、3)題)(3)(同試卷四第二、(2)題)(4)(同試卷四第二、(4)題)(5)對于任意二事件A 和 B，有 P (A-B )(A) P(A)-P(B)(B) P(A)-P(B)+P(AB).( C) P(A)-P(AB).(D) P(A)+P( B )-P(A B ).三、(20分)計算下列各題.(每小題4 分)1 In (1+ )(1) 求極限lim. arctgx(2)(同試卷四第三、(2)題)(3)(同試卷四第三、(3)題)(4)(同試卷四第三、(4)題)(5)求不定積分xdxx4 +2x2 +5四、(10分)考慮函數(shù)y=x2,ow xw 1,問:（1） t取何值時，圖中陰影部分的面積Si與S2之和S=Si+S2最小?（2）t取何值時，面積之和 S=Si+S2最大？五、（同試卷四第六題）六、（8分）假設(shè)某產(chǎn)品的總成本