圓的認(rèn)識(shí) (3)

1、圓的基本知識(shí) 定義 圓的定義有兩個(gè) 其一：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓。 其二：平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。概括把一個(gè)圓按一條直線對(duì)折過(guò)去，并且完全重合，展開再換個(gè)方向?qū)φ?，折出后，這些折痕相交的一個(gè)點(diǎn)，叫做圓心，用字母O表示。連接圓心和圓上的任意一點(diǎn)的線段叫做半徑，用字母r表示。通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，用字母d表示。圓心決定圓的位置，半徑和直徑?jīng)Q定圓的大小。在同一個(gè)圓或等圓中，半徑都相等，直徑也都相等，直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1/2。 用字母表示是：d=2r或r=d/2圓的相關(guān)量圓周率：圓周長(zhǎng)度與圓的直徑長(zhǎng)度的比值叫做圓

2、周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)通常用表示，=3.1415926535.，在實(shí)際應(yīng)用中我們只取它的近似值，即3.14（在奧數(shù)中一般只取3、3.1416或3.14159） 圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧(arc)。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(chord)。圓中最長(zhǎng)的弦為直徑(diameter)。 圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。 內(nèi)心和外心：和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心

3、。 扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑稱為圓錐的母線。 【圓和圓的相關(guān)量字母表示方法】 圓 半徑r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母） 弧 直徑d 扇形弧長(zhǎng)圓錐母線l 周長(zhǎng)C 面積S圓和其他圖形的位置關(guān)系圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在O外，POr；P在O上，POr；P在O內(nèi)，0POr。 直線與圓有3種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。以直線AB與圓O為例（設(shè)OPAB于P，則PO是

4、AB到圓心的距離）：AB與O相離，POr；AB與O相切，POr；AB與O相交，0POr。 兩圓之間有5種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且Rr，圓心距為P：外離PR+r；外切P=R+r；相交R-rPR+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含PR-r。圓的面積與周長(zhǎng)計(jì)算公式在以下幾個(gè)算式中，“C代表周長(zhǎng)”，“S代表面積”，“R代表半徑，“D代表直徑”。 S圓=×R² C圓=2R或D編輯本段圓的平面幾何性質(zhì)和定理一有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理

5、圓的確定：畫一條線段，以線段長(zhǎng)為半徑以一端點(diǎn)為圓心畫弧繞360度后得到圓。 圓與直線相切圓的對(duì)稱性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條通過(guò)圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。 有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。 直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 如果一條弧的長(zhǎng)是另一

6、條弧的2倍，那么其所對(duì)的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。 有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理 一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等； 內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。 R=2S÷L（R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長(zhǎng)） 兩相切圓的連心線過(guò)切點(diǎn)（連心線：兩個(gè)圓心相連的直線） 圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。 （4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。 （5）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)

7、。 （6）圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。 （7）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。 （8）圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個(gè)角所對(duì)的弧的度數(shù)之和的一半。 （9）圓外角的度數(shù)等于這個(gè)角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。有關(guān)切線的性質(zhì)和定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個(gè)圓的切線。 切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長(zhǎng)相等，那點(diǎn)與圓心的連線平分切線的夾角

8、。 有關(guān)圓的計(jì)算公式 1.圓的周長(zhǎng)C=2r=d 2.圓的面積S=r2; 3.扇形弧長(zhǎng)l=nr/180 4.扇形面積S=(nr2)/360=lr/2(l為扇形的弧長(zhǎng)）5.圓錐側(cè)面積S=rl 6.圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角n=360r/l(r是底面半徑,l是母線長(zhǎng)) 切割線定理圓的一條切線與一條割線相交于p點(diǎn)，切線交圓于C點(diǎn)，割線交圓于A B兩點(diǎn) ， 則有pC2=pA·pB 割線定理 與切割線定理相似 兩條割線交于p點(diǎn)，割線m交圓于A1 B1兩點(diǎn)，割線n交圓于A2 B2兩點(diǎn) 則pA1·pB1=pA2·pB2編輯本段圓的解析幾何性質(zhì)和定理圓的解析幾何方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

9、：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y-b)2=r2。 圓的一般方程：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，可得圓的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0）。其中和標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比，其實(shí)D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a2+b2-r2。該圓圓心坐標(biāo)為（-D/2,-E/2)，半徑r=0.5D2+E2-4F。 圓的參數(shù)方程：以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是 x=a+r*cos, y=b+r*sin, (其中為參數(shù)) 圓的端點(diǎn)式：若已知兩點(diǎn)A(a1,b1),B(a2,b2)，則以線段AB為直徑的圓的方程為 (x

10、-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。 經(jīng)過(guò)圓 x2+y2=r2上一點(diǎn)M（a0，b0）的切線方程為 a0*x+b0*y=r2 在圓(x2+y2=r2)外一點(diǎn)M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點(diǎn)為A,B，則A,B兩點(diǎn)所在直線的方程也為 a0*x+b0*y=r2圓與直線的位置關(guān)系判斷平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程f（x）=0。利用判

11、別式b2-4ac的符號(hào)可確定圓與直線的位置關(guān)系如下： 如果b2-4ac>0，則圓與直線有2交點(diǎn)，即圓與直線相交。 如果b2-4ac=0，則圓與直線有1交點(diǎn)，即圓與直線相切。 如果b2-4ac<0，則圓與直線有0交點(diǎn)，即圓與直線相離。 2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-CA，它平行于y軸（或垂直于x軸），將x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x-a)2+(y-b)2=r2。令y=b，求出此時(shí)的兩個(gè)x值x1、x2，并且規(guī)定x1<x2，那么： 當(dāng)x=-CA<x1或x=-CA>x2時(shí)，直線與圓相離； 當(dāng)x1<x=-CA<x2時(shí)，直線與圓相交； 半徑r

12、，直徑d 在直角坐標(biāo)系中，圓的解析式為：(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)2+(y+E/2)2=D2/4+E2/4-F => 圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2) 其實(shí)只要保證X方Y(jié)方前系數(shù)都是1 就可以直接判斷出圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2) 這可以作為一個(gè)結(jié)論運(yùn)用的 且r=根號(hào)（圓心坐標(biāo)的平方和-F）編輯本段圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。 （2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。 圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心 （2）如定義（2）中，繞的那一

13、端的端點(diǎn)為圓心。 （3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。 （4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。 注：圓心一般用字母O表示 直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。 圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。 圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。 圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。 圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，3.14。 直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。r2，用字母S表示。 一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦