113導數(shù)的幾何意義

1、1.1.3 導數(shù)的幾何意義 1.1.平均變化率平均變化率函數(shù)函數(shù)y=y=f(xf(x) )從從x x1 1到到x x2 2平均變化率為平均變化率為: :2.2.平均變化率的幾何意義：平均變化率的幾何意義：OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y121)()xf xxx 2 2f f ( (ykx 121)()xf xxx 2 2f f ( (yx 割線的斜率割線的斜率3.3.導數(shù)的概念導數(shù)的概念函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率處的瞬時變化率0000( )() ()lim xf xxf xfxx 稱為函數(shù)稱為函數(shù)

2、y = f (x) 在在 x = x0 處的導數(shù)處的導數(shù), 記作記作或或 , 即即0| xxy0() fx4.4.求函數(shù)求函數(shù)y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0處的導數(shù)的一般步驟是處的導數(shù)的一般步驟是: :001( )()(); yf xxf x求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量002()()( ); 求求平平均均變變化化率率f xxf xyxx003( )()lim. 取取極極限限，得得導導數(shù)數(shù)xyfxx1.1.根據(jù)導數(shù)的幾何意義描述實際問題根據(jù)導數(shù)的幾何意義描述實際問題. .2.2.求曲線上某點處的切線方程求曲線上某點處的切線方程. .（重點）（重點）3.3.導函數(shù)的概念及對導數(shù)的幾何

3、意義的理解導函數(shù)的概念及對導數(shù)的幾何意義的理解. . （難點）（難點） 平面幾何中我們是怎樣判斷直線是否是平面幾何中我們是怎樣判斷直線是否是圓的圓的割線或割線或切線切線的呢的呢？探究點探究點1 1 切線切線切線切線割線割線如圖直線如圖直線l1 1是曲線是曲線C C的切線嗎的切線嗎? ? l2 2呢呢? ? l2l1AB0 xyl1 1不是曲線不是曲線C C的切線，的切線，l2 2是曲線是曲線C C的切線的切線. .觀察圖形你能得到什么結(jié)論？觀察圖形你能得到什么結(jié)論？切線的定義：切線的定義： 當點當點 沿著曲線趨近于沿著曲線趨近于 點點 ，即，即 時，割線時，割線趨近于一個確定的位置，趨近于一個

4、確定的位置，這個確定位置的直線這個確定位置的直線PTPT稱為點稱為點P P處的切線處的切線. .nPP0 xnPP注：曲線的切線注：曲線的切線,并不一定與曲線只有一并不一定與曲線只有一 個交點個交點, 可以有多個可以有多個,甚至可以有無窮多個甚至可以有無窮多個.xyoy=f(x) 在上面的研究過程中，某點的割線斜率和切線在上面的研究過程中，某點的割線斜率和切線斜率與某點附近的平均變化率和某點的瞬時變化率斜率與某點附近的平均變化率和某點的瞬時變化率有何聯(lián)系？有何聯(lián)系？平均變化率平均變化率 割線的斜率割線的斜率瞬時變化率（導數(shù)）瞬時變化率（導數(shù)）切線的斜率切線的斜率0 x 0 x 探究點探究點2

5、2 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) 在在 處的導數(shù)就是曲線處的導數(shù)就是曲線在點在點(x0,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率 ， 即：即：( )yf x0 xxk0000()lim()xf xxf xkfxx 曲線在點曲線在點(x(x0 0,f(x,f(x0 0)處的切線的方程為：處的切線的方程為：000()()().yf xfxxx導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義例例1 1 求曲線求曲線y=y=f(xf(x)=x)=x2 2+1+1在點在點P(1,2)P(1,2)處的切線方程處的切線方程. .QPy=x2+1xy-111OjMyx因此因此, ,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1)

6、,y-2=2(x-1),即即y=2x.y=2x.0002020111 122()()lim()()lim()lim. xxxf xxf xkxxxxxx解：解：【總結(jié)提升總結(jié)提升】求曲線在某點處的切線方程的基本步驟求曲線在某點處的切線方程的基本步驟: :求出切點求出切點P P的坐標；的坐標；求切線的斜率，即函數(shù)求切線的斜率，即函數(shù)y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0處的處的導數(shù)；導數(shù)；利用點斜式求切線方程利用點斜式求切線方程. .例例2 2 如圖如圖, , 它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)105 . 69 . 4)(2ttth的圖象的圖象.

7、. 根據(jù)圖象根據(jù)圖象, , 請描述、請描述、比較曲線比較曲線 在在 附近的變化情況附近的變化情況. .)(th210,ttttoht0t1t2l0l1l2t4t3解解: :可用曲線可用曲線 h(th(t) ) 在在t t0 0 , t, t1 1 , t, t2 2處的切線刻畫曲線處的切線刻畫曲線h(th(t) )在上述三在上述三個時刻附近的變化情況個時刻附近的變化情況. .(1)(1)當當t = tt = t0 0時時, , 曲線曲線 h(th(t) ) 在在 t t0 0 處的切線處的切線 l0 0 平行于平行于 t t 軸軸. .故在故在t = tt = t0 0 附近曲線比較平坦附近曲

8、線比較平坦, , 幾乎沒有升降幾乎沒有升降. .tohl0t0t1l1t2l2t4t3(2)(2)當當 t = tt = t1 1 時時, , 曲線曲線 h(th(t) ) 在在 t t1 1 處的切線處的切線 l1 1 的斜率的斜率 h h (t(t1 1) 0 .) 0 .故在故在t = tt = t1 1 附近曲線下降附近曲線下降, ,即即函數(shù)函數(shù) h(th(t) ) 在在 t = tt = t1 1 附近單調(diào)遞減附近單調(diào)遞減. . tohl0t0t1l1t2l2t4t3 從圖可以看出，直線從圖可以看出，直線 l1 1 的傾斜程度小于直線的傾斜程度小于直線 l2 2 的傾斜程度，這說明曲

9、線的傾斜程度，這說明曲線h(th(t) ) 在在 t t1 1 附近比在附近比在t t2 2 附附近下降得緩慢近下降得緩慢. .(3)(3)當當 t = tt = t2 2 時時, , 曲線曲線 h(th(t) ) 在在 t t2 2處的切線處的切線 l2 2 的斜率的斜率 h h (t(t2 2) ) 0 .0 .故在故在 t = tt = t2 2 附近曲線下附近曲線下降降, ,即函數(shù)即函數(shù) h(th(t) ) 在在t = tt = t2 2 附附近也單調(diào)遞減近也單調(diào)遞減. . 【總結(jié)提升總結(jié)提升】通過觀察跳水問題中導數(shù)的變化情況通過觀察跳水問題中導數(shù)的變化情況, ,你得到了哪你得到了哪些

10、結(jié)論些結(jié)論? ?(1)(1)以直代曲：大多數(shù)函數(shù)就一小段范圍看，大致以直代曲：大多數(shù)函數(shù)就一小段范圍看，大致可以看作直線，某點附近的曲線可以用過該點的可以看作直線，某點附近的曲線可以用過該點的切線近似代替；切線近似代替；(2)(2)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負的關(guān)系；函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負的關(guān)系；(3)(3)曲線的變化快慢及切線的傾斜角的內(nèi)在聯(lián)系曲線的變化快慢及切線的傾斜角的內(nèi)在聯(lián)系. . 例例3 3 如圖表示人體血管中的藥物濃度如圖表示人體血管中的藥物濃度c=c=f(tf(t) )（單位：（單位：mg/mlmg/ml）隨時間）隨時間t t（單位：（單位：minmin）變化的函數(shù)圖象，根）變

11、化的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象，估計據(jù)圖象，估計 t=0.2,0.4,0.6,0.8 mint=0.2,0.4,0.6,0.8 min時，血管中時，血管中 藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。( (精確到精確到0.1)0.1) 解：解：血管中藥物濃度的瞬時變化率血管中藥物濃度的瞬時變化率, ,就是藥物濃度就是藥物濃度從圖象上看從圖象上看, ,它表示曲線在該點處的切線的斜率它表示曲線在該點處的切線的斜率. .函數(shù)函數(shù)f(tf(t) )在此時刻的導數(shù)在此時刻的導數(shù), ,（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象以簡單對象刻畫

12、復(fù)雜的對象 t 0.2 0.4 0.6 0.8藥物濃度的藥物濃度的瞬時變化率瞬時變化率 04 . 10.40.4- 0.7- 0.7 0 81 40 81 4.,. , . .tf 作作處處的的切切線線 它它的的斜斜率率約約為為所所以以 0000,.,(derivativefunction)().,lim.xfxxxxxfxxfxxfxyfxfxxfxyfxyx 從從求求函函數(shù)數(shù)在在處處導導數(shù)數(shù)的的過過程程可可以以看看到到 當當時時是是一一個個確確定定的的數(shù)數(shù) 這這樣樣 當當變變化化時時便便是是 的的一一個個函函數(shù)數(shù) 我我們們稱稱它它為為的的簡簡稱稱的的導導函函數(shù)數(shù)有有時時也也記記作作即即導導

13、函函數(shù)數(shù)導數(shù)導數(shù)一、選擇題一、選擇題1 1曲線曲線y y2x2x2 21 1在點在點(0,1)(0,1)處的切線的斜率是處的切線的斜率是 ( () ) A A4 4 B B0 0 C C4 4 D D不存在不存在B B2曲線 y12x22 在點(1，32)處切線的傾斜角為 ( ) A1 B.4 C.54 D4 B B3 3若曲線若曲線y yh(xh(x) )在點在點P(aP(a，h(ah(a)處的切線方程處的切線方程為為2x2xy y1 10 0，那么，那么 ( () )A Ah(ah(a) )0 0 B Bh(ah(a)0)0 )0 D Dh(ah(a) )不確定不確定B B4 4曲線曲線y

14、 yx x3 3在點在點P P處的切線斜率為處的切線斜率為3 3，則點，則點P P的坐標的坐標為為 ( () ) A A( (2 2，8) B8) B(1,1)(1,1)，( (1 1，1)1) C. ( 2 , 8) D. C. ( 2 , 8) D.B B1128（-，-，- ）- ）二、填空題 5已知曲線 y1x1 上兩點 A(2，12)，B(2x，12y)，當 x1 時，割線 AB 的斜率為_ 16- -6P 是拋物線 yx2上一點，若過點 P 的切線與直線y12x1 垂直，則過點 P 的切線方程為_ y y2x2x1 12.2.函數(shù)函數(shù) 在在 處的導數(shù)處的導數(shù) 的的幾何意義幾何意義，就是函數(shù)就是函數(shù) 的圖象在點的圖象在點 處的切線的斜處的切線的斜率率（數(shù)形結(jié)合）（數(shù)形結(jié)合） )(xf0 xx 0/xf)(xf00,()P xf x0000/()(