基于Matlab小波工具箱的數(shù)字圖像處理及小波分析

1、基于Matlab小波工具箱的數(shù)字圖像處理摘要：小波分析在圖像處理中有非常重要的應用，包括圖像壓縮、去噪、分解和增強等。運用多分辨率分析可以將信號分解為多尺度信息，每個尺度下都有該分辨率下的“概貌”信息和細節(jié)。小波分析是傅里葉分析思想方法的發(fā)展與延拓，它不是時間-頻率域上的分析，而是時間-尺度域變換，因此在圖像處理上具有明顯的優(yōu)勢。同時合適小波函數(shù)也就成為小波分析中最基本的問題。關鍵字：小波分析，多分辨分析，小波函數(shù)，圖像處理一、 多分辨率分析多分辨分析，也稱為多尺度分析，即在不同尺度下對事物進行分析1。我們都知道，人的眼睛觀察物體時，如果距離物體比較遠，也就是說尺度比較大，則視野寬、分辨能力低

2、，只能觀察事物的概貌而看不清局部細節(jié)。若距離物體較近，那么視野就窄而分辨能力高，可以觀察到事物的局部細節(jié)，卻無法概覽全貌。因此，若想要知道物體的整體輪廓又要看清其局部細節(jié)，就必須選擇不同的距離對物體進行觀察。同理，信號分析也是如此，在大尺度上分析信號的全貌，在小尺度上分析信號的細節(jié)，那么就需要把信號分解成某一尺度下的“概覽”和該尺度下的細節(jié)。1.1信號的近似分解給定一個連續(xù)信號，我們可用不同的基函數(shù)并在不同的分辨率水平上對它作近似2。令 (1.1)顯然，的整數(shù)位移相互之間是正交的，即 (1.2)這樣，由的整數(shù)位移就構成了一組正交基。設空間由這一組正交基所構成，這樣，在空間中的投影（記作）可表為

3、： (1.3)式中,是基的權函數(shù)，可以看作是在中的近似。，如圖1.1(a)所示。是離散序列，如圖1.1(b)所示。 (a) (b) 圖1.1令 (1.4)是由作二進制伸縮及整數(shù)位移所產(chǎn)生的函數(shù)系列，顯然，和是正交的。將作二倍的擴展后得，由作整數(shù)倍位移所產(chǎn)生的函數(shù)組當然也是兩兩正交的（對整數(shù)），它們也構成了一組正交基。 (1.5)我們稱由這一組基形成的空間為，記信號在中的投影為，則 (1.6)式中為加權系數(shù)。如圖1.2(a)所示。仍為離散序列，如圖1.2(b)所示。 (a) (b) 圖1.2若如此繼續(xù)下去，在的基礎上，我們可得到在不同尺度下通過作整數(shù)位移所得到一組組的正交基，它們所構成的空間是。

4、用這樣的正交基對作近似，就可得到在中的投影。又有 (1.7) 再比較該圖的1.1(a)和1.2(a)，顯然圖1.1(a)對的近似要優(yōu)于圖1.2(a)對的近似，也即分辨率高。當時，中的每一個函數(shù)都變得無限窄，即有 (1.8)而當，那么中的每一個函數(shù)都變成無窮寬，對的近似誤差也越大。低分辨率的基函數(shù)可由高一級分辨率的基函數(shù)所決定。從空間上來講，低分辨率的空間應包含在高分辨率的空間中，但是，畢竟不等于，二者之間有誤差。這一誤差是由和的寬度不同而產(chǎn)生，因此，這一差別應是一些“細節(jié)”信號，我們記之為。這樣有： (1.9)另設一基函數(shù)， (1.10)顯然，的整數(shù)位移也是正交的，進一步，其在不同尺度下的位移

5、，即，也是正交的，同時，和的整數(shù)位移之間也是正交的，即 (1.11)又和之間有如下關系： (1.12) 及 (1.13)記張成的空間為，所張成的空間為，依次類推，張成的空間為。記在空間中的投影為，在中的投影為，它們均可表為相應基函數(shù)的線性組合，即 (1.14) (1.15)式中,是,尺度下的加權系數(shù)，它們均是離散序列。,分別如圖1.3(a)和(b)所示，,分別如圖(c)和(d)所示。 (a) (b) (c) (d)不難發(fā)現(xiàn)，與相加，即得，由空間表示，即是 (1.16)把上述概念加以推廣，顯然有 (1.17) 并且 (1.18)這樣，給定不同的分辨率水平，我們可得到在該分辨率水平上的近似和，由于

6、是低通信號，因此反映了的低通成份，我們稱其為的“概貌”。由于是由邊緣得到的離散序列，所以也應是在尺度下的概貌，或稱離散近似。同理，由于是帶通信號，因此反映的是的高頻成份，或稱為的“細節(jié)”，而是的離散細節(jié)。1.2多分辨分析的定義Mallat給出了多分辯率分析的定義3：設是空間中的一個閉合子空間，如果它們滿足如下六個性質(zhì)，則說明，是一個多分辨率近似。這六個性質(zhì)是：1平移不變性：，若則 (1.21)2單調(diào)性：，即 (1.22)3伸縮性：，若，則 (1.23)4：漸進完全性： (1.24)5逼近性： (1.25)6Riesz基存在性：存在一個函數(shù)，使得構成的Riesz基。1.3空間分解前文已指出是中的

7、正交歸一基，是中的正交歸一基，按此基函數(shù)逐級進行分解。1子空間是在中的投影，即 (1.26)又 (1.27)則 (1.28)由于是時間的函數(shù)，又具有低通性質(zhì)，因此稱是在中的“分段平滑”逼近，稱為在中的“離散”逼近，它們都是在分辨率時的“概貌”。2子空間根據(jù)多分辨分析的定義，若，則，是中的正交歸一基。根據(jù)式(1.28)可得： (1.29)3子空間因，則，也可構成中的正交歸一基。依次類推，將是中的正交歸一基。我們稱為小波函數(shù)。這樣，我們可依次將在中作類似在各空間中的分解。由式(1.15)可得： (1.30)是在子空間上的投影，由于是帶通函數(shù)，所以是的在的連續(xù)細節(jié)逼近，是在中的離散細節(jié)。又根據(jù)式(1

8、.9)可知，在中的投影等于分別在和中的投影的差，它也是在和這兩個分辨率水平上的逼近之差，因此，和均被稱為的“細節(jié)”。4對子空間，將上述的結論加以推廣，有如下的結論： (1.31) (1.32) (1.33) (1.34) (1.35)二、 Mallat算法2.1 Mallat分解根據(jù)上述，我們可知：在空間中近似可表示為4： (2.1)其在空間中的細節(jié)可表示為： (2.2)兩尺度方程的一般形式為： (2.3)令，是多分辨率分析中的離散逼近系數(shù)，則經(jīng)過推到，會有如下遞推關系： (2.4) (2.5)如果令 (2.6) 再令 即對隔2抽1生成。Mallat分解示意圖：圖2.1 Mallat分解示意圖

9、2.2 Mallat重構分解重構公式： (2.7)其重構物理示意圖如下所示：圖2.2 Mallat重構示意圖三、 常用小波函數(shù)介紹在小波分析理論在數(shù)學和工程領域中一個很重要的問題就是小波基的選擇，選擇一個最優(yōu)的小波基，可以使圖像處理更加優(yōu)化。在小波分析理論中有很多種的小波函數(shù)，下面介紹一些常用的小波基函數(shù)：3.1 Haar小波Haar小波是Haar于1990年提出的一種正交小波，它是小波理論分析發(fā)展過程中最早用到的的小波。Haar小波是由一組互相正交歸一的函數(shù)集，即Haar函數(shù)衍生產(chǎn)生的，是具有緊支撐的正交小波函數(shù)，其定義如下5： (3.1)Haar小波是一個最簡單的時域不連續(xù)的小波，它類似一

10、個階梯函數(shù)，由于它的緊支撐性和正交性，使得Haar小波的應用很普遍。圖3-1所示為Haar波的函數(shù)圖像。圖3-1 Haar小波函數(shù)圖像由于Haar小波在時域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。但也有自己的優(yōu)點：計算簡單； 在的多分辨率系統(tǒng)中Haar小波構成一組最簡單的正交歸一的小波族。因為不但與正交，而且與自己的整數(shù)位移正交。 的傅里葉變換是： (3.2)3.2Mexican hat(墨西哥草帽)小波 Mexican Hat小波又被稱Marr小波。Marr小波函數(shù)就是高斯函數(shù)的二階導數(shù)，其表達式為： (3.3) (3.4)因為它的形狀像墨西哥帽的截面，所以也稱為墨西哥帽函數(shù)。墨西哥帽

11、函數(shù)在時間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足 (3.5)由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。 其波形如圖3-2所示。Marr小波的時域、頻域都有很好的局部特性，但由于它的正交性尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性，主要用于信號處理和邊緣檢測。圖3-2 Mexicat小波函數(shù)圖像3.3Morlet小波 Morlet小波是高斯下的單頻率復正弦函數(shù)： (3.5)式中，j表示虛數(shù)，w常數(shù)。其波形如圖3-3所示。雖然Morlet小波有解析表達式，但其不具有正交性的同時也不存在緊支集。Morlet小波的特點是能夠提取信號中的幅值和相應信息，廣泛應用于地球物理信號處理中。圖3-3 Morlet小波函數(shù)圖

12、像3.4Daubechies(dbN)小波 Daubechies小波是法國學者Daubechies所創(chuàng)造，Daubechies小波的研究是基于對尺度取為2的整數(shù)冪條件下的小波變換。Daubechies小波無明確的解析方程(除N1外)，不具有對稱性，可以由尺度函數(shù)求出。但的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達式。假設，其中，為二項式的系數(shù)，則有 (3.6)其中 Daubechies小波是緊支集正交小波，它的出現(xiàn)使離散小波分析成為可能。Daubechies系列的小波簡寫為dbN，其中N表示階數(shù)，圖3-4所示為db2小波的形狀。(a)db2小波函數(shù) （b）db2的尺度函數(shù)圖3-4 db2的小波函數(shù)和尺度函數(shù)

13、3.5 Meyer小波 Meyer小波的小波函數(shù)y（x）是在頻域中進行定義的，Meyer小波是具有緊支撐的正交小波。 (3.7)其中為構造Meyer小波的輔助函數(shù)，其函數(shù)圖像如圖3-5所示。 (a) Meyer小波函數(shù) （b）Meyer尺度函數(shù)圖3-5 Meyer小波函數(shù)和尺度函數(shù)四、 小波分析在圖像處理中的應用4.1 基于小波分析的圖像壓縮二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞過程中可以抗干擾。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點6?；谛〔ǚ治龅膱D像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹壓縮、小波

14、變換矢量量化壓縮等。下面是一幅圖像信號(即二維信號)，利用二維小波分析對圖像進行壓縮。一幅圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應的頻率是不相同的。高分辨率（即高頻）子圖像上大部分點的數(shù)值都接近于0，越是高頻，這種現(xiàn)象越明顯。對一幅圖像來說，表現(xiàn)一個圖像最主要的部分是低頻部分，所以最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。利用MATLAB中的小波分析工具箱中某個小波函數(shù)對圖像進行壓縮處理，本實驗利用二維小波函數(shù)“sym4“對圖像進行壓縮。圖4-1 小波工具箱如圖4-1所示，可以看出，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解第一層的低頻信息，

15、此時壓縮效果較好，壓縮比較??；第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分(即小波分解第二層的低頻部分)，其壓縮比較大，壓縮效果在視覺上表現(xiàn)良好，基本上看不出與第一次有太大變化。但是第三次壓縮和第四次壓縮就有明顯差異，看起來已經(jīng)比較模糊了。這種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng)過其他處理即可獲得較好的壓縮效果。我們還可以繼續(xù)對圖像進行壓縮，以提取其低頻信息。從理論上說，可以獲得任意壓縮比的壓縮圖像。 (a)原始圖像 (b)分解后低頻和高頻信息 (c)第一次壓縮圖像 (d)第二次壓縮圖像 (e)第三次壓縮圖像 (f)第四次壓縮圖像圖4-2 利用二維小波“sym4“壓縮的圖像4.2基

16、于小波分析的圖像去噪處理噪聲可以理解為妨礙人的視覺器官或系統(tǒng)傳感器對所接收圖像源進行理解或分析的各種因素。一般噪聲是不可預測的隨機信號，它只能用概率統(tǒng)計的方法去認識。噪聲對圖像處理十分重要，它影響圖像處理的輸入、采集、處理的各個環(huán)節(jié)以及輸出結果的全過程。若輸入伴有較大噪聲，必然影響處理全過程及輸出結果。因此一個良好的圖像處理系統(tǒng)，不論是模擬處理還是計算機處理無不把減少最前一級的噪聲作為主攻目標。去噪已成為圖像處理中極其重要的步驟。對二維圖像信號的去噪方法同樣適用于一維信號，尤其是對于幾何圖像更適合。二維模型可以表述為： (4.1)其中，是噪聲。二維信號用二維小波分析的去噪步驟有3步：(1)二維

17、信號的小波分解。選擇一個小波和小波分解的層次N，然后計算信號s到第N層的分解。(2)對高頻系數(shù)進行閾值量化。對于從1到N的每一層，選擇一個閾值，并對這一層的高頻系數(shù)進行軟閾值量化處理。(3)二維小波的重構。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過修改的從第一層到第N層的各層高頻系數(shù)計算二維信號的小波重構。下面給出一幅含有噪聲的圖像，利用小波分析“db2“函數(shù)對信號進行去噪處理。如圖4-2所示。 (a)原始圖像 (b)第一次去噪后的圖像 (c)第二次去噪后的圖像圖4-3 利用小波函數(shù)”db2”對圖像進行去噪從圖中可以觀察到第一次去噪已經(jīng)濾去了大部分的高頻噪聲，但對比去噪圖像與原始圖像相比可以看出，第

18、一次去噪后的圖像中還是含有不少的高頻噪聲；第二次去噪是在第一次去噪的基礎上，再次濾去其中的高頻噪聲。五、總結通過對多分辨率分析和Mallat算法的學習以及常用小波的認識，了解到了小波分析在分析數(shù)學領域的地位以及其在數(shù)字圖像處理和信號處理等方面重要性?？梢岳肕ATLAB中的小波函數(shù)對圖像進行壓縮、去噪、增強以及銳化等處理。更為簡單地就是利用MATLAB中小波處理工具箱，對圖像進行增強、去噪等處理。小波的應用范圍非常廣泛，而每個領域都有自己特定的處理方式。小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密地結合在一起的?，F(xiàn)在，它在科技信息領域取已經(jīng)得了令人矚目的成就。對性質(zhì)隨時間穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析，但在實際應用中，絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，小波分析正是適用于非穩(wěn)定信號的處