初中數(shù)學(xué)競賽專題選講 逆推法

1、初中數(shù)學(xué)競賽專題選講 逆推法一、內(nèi)容提要1. 如果把探求問題的常規(guī)方法叫做順向推理，那么與習(xí)慣方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.順與逆是相對而言，沒有絕對的界限.2. 逆向推理包括了公式、法則、定義 、定理的逆向應(yīng)用. 例如： 乘法公式的逆向應(yīng)用之一，就是因式分解. 還有其他變形的應(yīng)用，如：(x+y)2=x2+xy+y2，以x, y的基本對稱式，表示x, y的平方和、立方和(差)：x2+y2=(x+y)22xy ， x3+y3=(x+y)33xy(x+y). 分?jǐn)?shù)的加減法則的逆向應(yīng)用，可把一個分?jǐn)?shù)(或整數(shù))化為幾個分?jǐn)?shù)的和(差)： 1=， . “互為相反數(shù)相加得零”的逆向應(yīng)用：0=a+

2、(a).在因式分解中折項(xiàng)，添項(xiàng)，配方都用到它，在證明恒等式或化簡、計(jì)算中也常用它. 公式的逆向應(yīng)用要注意公式成立的前提.例如：的逆向應(yīng)用是：當(dāng)a0時，a=；當(dāng)a<0 時,a= ；如 x<y<0時， 則xy=. 因?yàn)槎x可以反敘，所以定義既是判定又是性質(zhì). 例如：相似多邊形的定義： .方程解的定義：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，則 am2+bm+c=0；反過來，若an2+bn+c=0,則n是方程ax2+bx+c=0的解. 對于定理的逆用，當(dāng)然要先判斷定理的逆命題為真.一個定理的題設(shè)和結(jié)論不只一項(xiàng)時，交換題設(shè)和結(jié)論中的一項(xiàng)，就組成一個逆命題，故逆命題有多個，有真，有假.一

3、般地，若題設(shè)和結(jié)論都是唯一對象的定理，它有逆定理；對于分段式的定理也有逆定理.3. 解答數(shù)學(xué)題通常是：在順向推理有困難時用反向推理；在正面探求有困難時用反面探求；直接解答有困難時用簡接解答.順、逆兩種方法都能熟練掌握，靈活應(yīng)用，那么解題能力就能較大地提高.二、例題例1解方程(a2x2+(x+c2a2=0 . (a2.分析：由觀察法，可得到一個根為1 (方程各系數(shù)的和是0). 再用韋達(dá)定理來解：方程a2+(+ c2a2=0 ， 有一個實(shí)數(shù)根是1 .可設(shè)另一根為x2， 根據(jù)韋達(dá)定理得 1×x2=. 解得 x2=.原方程的解是x1=1, x2=.例2. 化簡.解：<0，= =. 例3

4、.已知：， .求證：.分析：本題直接證明有困難，不論是從左到右或從右到左，都難以完成，估計(jì)是要從某一個已知不等式出發(fā).試用逆推法，從結(jié)論倒推出應(yīng)有的不等式.由兩邊平方，得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2.a2+b2a2b21<0, 分解因式：（1b2）(a21)<0, 由已知可推出這不等式.證明： ，a21，b21，a210，1b20.（a21）（1b2）0, a2+b2a2b21<0,a2+b22ab<1+a2b2+2ab(a+b)2<(1+ab)2 . .例4. 已知：四邊形ABCD中，ABBDACCD.求證：ABAC.分析：直接推導(dǎo)，應(yīng)證明 B

5、DCD或BDCD.即證明BCD1，有困難，不妨用反證法.這也是一種逆推法，從反面推導(dǎo).證明：設(shè)AB不小于AC，即ABAC，2ABC. BCD2，ABC1.BCD1.BDCD.ABBDACCD，這和已知條件相矛盾，故假設(shè)不能成立. ABAC.例5. 有100個人排成一列，自1往下報(bào)數(shù)，報(bào)奇數(shù)的人，走出隊(duì)列，留下的人按原順序重新報(bào)數(shù)，報(bào)奇數(shù)的又走出隊(duì)列，這樣繼續(xù)下去，最后留下一人，問這人第一次報(bào)數(shù)是多少？解：從第1，2，3次往下推，可知人數(shù)分別是100，50，25，12，6，3人，要確定留下的人，依次是報(bào)幾號，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的報(bào)號必定是2；上一次，在6人中的報(bào)號必定是報(bào)4；再

6、上一次在12人中，必是報(bào)8. 其規(guī)律是：21，22，23，2 n. 所以，第一次報(bào)數(shù)應(yīng)是小于100的2的最高次冪，26<100<27，這人第一次報(bào)數(shù)是2 6即64.例6.計(jì)算：3×5×17×257××(.分析：本題直接計(jì)算有困難，可由通式，用確定n的自然數(shù)值，回還原數(shù)3，5，17，257，再逆用平方差公式a+b=, 就可很快得出結(jié)果 .解：原式= (28+1)(=.=(221)(22+1)(24+1)(28+1)(= 三、練習(xí)1. 已知：a,b,c,d 都是實(shí)數(shù) . 求證： (a2+b2)(c2+d2) (ac+bd).2. 已知：

7、a,b,c 是ABC的三邊長. 求證： (ab+bc+ca)<(a+b+c)<4(ab+bc+ca).3. 已知： a2+a11=0,b4+b21=0, ab21. 求：a1+b2的值.4. 已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz0. 求證： .5. 已知：方程不會增根. 求：實(shí)數(shù)k取值范圍.6. 已知：a, b, c 是互不相等的實(shí)數(shù).求證：7. 已知：x=(a+(mn0,mn,a>1).化簡：(4a28. 小王賣饅頭，第一次賣去一半又半個，第二次賣去剩下的一半又半個，第三次又賣去剩下的一半又半個，這時，還剩有饅頭一個，問小王共拿幾個饅頭來賣？9. 三個容器內(nèi)都

8、有水，如果把甲容器內(nèi)的水的倒入乙容器，再把這時乙容器內(nèi)的水的倒入丙容器，最后把丙容器內(nèi)現(xiàn)有的水的倒入甲容器，則各容器內(nèi)的水都是9升，問原有各容器內(nèi)的水各是幾升？10. 求證： 不論a 取什么值，如下方程都有實(shí)數(shù)解. (1+a)x4+x3(3a+2)x24a=0.11. 要使下列三個方程中至少有一個方程有實(shí)數(shù)根，m的取值應(yīng)是什么？2x22x+m=0, x2 +2mx+mm+=0, (m+1)x22mx+m+2=0.12. 90張卡片，每張都寫上一個非負(fù)整數(shù)，這90個數(shù)字的和不超過1979求證90張卡片中至少有3張數(shù)字相同.13. 已知：ABC中邊BC被點(diǎn)D和點(diǎn)E三等分，求證：AD，AE不能三等分

9、BAC.14. 已知：不等式x2+ax+b<0 的解集是2<x<3, 則a=_,b=_15. _.16. 已知：(，則x=_.17.計(jì)算的值是（）（A）1.（B）5.（C）.（D）5. (2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)練習(xí)題參考答案1，2兩題都可以用求差法證明，也可用反證法.3.由已知a-1,b2是方程x2+x-1=0相異的兩根4.由已知x,y,z至少有兩個是互為相反數(shù)5.k=-1,26.可由逆推而出 7. 08. 15 個9.甲12，乙8，丙7.10.先化為關(guān)于a的方程，（x4-3x2-4）a=2x2-x3-x4，0a=0時,a有一切實(shí)數(shù)解11.用反推法，若三個方程都沒有實(shí)數(shù)根，解不等式組得m的值是，當(dāng)m或m 1時，三個方程中至少有一個方程有實(shí)數(shù)根.10. 反推若只有兩張相同，則（01244）