2010年高考數學 考點23 雙曲線

1、考點23 雙曲線 1.（2010·安徽高考理科·5）雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為（ ）A、B、C、D、【命題立意】本題主要考查雙曲線方程及其中系數的幾何意義，考查考生對雙曲線方程理解認知水平 【思路點撥】方程化為標準形式確定實半軸和虛半軸由求半焦距確定右焦點坐標. 【規(guī)范解答】選 C，雙曲線方程為，· ，得，· 它的右焦點坐標為，故C正確.2.（2010·浙江高考理科·8）設、分別為雙曲線的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）【命題

2、立意】本題考查圓錐曲線的相關知識，考查雙曲線的基礎知識，解題的關鍵是熟練掌握雙曲線的定義、漸近線的求法.【思路點撥】本題利用條件及雙曲線的定義，構造三角形解題.【規(guī)范解答】選C.由圖意作圖如下.，為線段的垂直平行線，且，代入雙曲線方程得，即，把代入得，即，漸近線方程為，即.【方法技巧】（1）涉及到圓錐曲線上的點到焦點的距離時用定義解題比較方便；（2）求雙曲線的漸近線時可令，解出漸近線方程.3.（2010·遼寧高考理科·9）設雙曲線的個焦點為F；虛軸的個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】

3、本題考查了雙曲線的漸近線方程，考查了兩直線垂直的條件，雙曲線的離心率.【思路點撥】漸近線方程直線BF斜率a、b、c的關系關于離心率e的方程解出e，注意e的范圍【規(guī)范解答】選D.不妨設雙曲線方程為,焦點F（c,0）,虛軸端點B（0，b）,則漸近線方程為，直線BF的斜率,即所以兩邊同時除以可得，解得.4.（2010·浙江高考文科·10）設O為坐標原點，,是雙曲線（a0，b0）的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足P=60°，OP=,則該雙曲線的漸近線方程為（ ）（A）x±y=0 （B）x±y=0（C）x±=0 （D）±y=0【命題立

4、意】本題將解析幾何與三角知識相結合，主要考察了雙曲線的定義、標準方程，幾何圖形、幾何性質、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題.【思路點撥】本題先利用雙曲線的定義式及相關三角形知識，可解出間的關系，再求漸近線方程.【規(guī)范解答】選D.如圖所示，作點P關于原點的對稱點，則四邊形為平行四邊形，。在中，由余弦定理，得，即，。與聯立解得，在中，由余弦定理得，漸近線方程為.【方法技巧】在有些解決圓錐曲線問題，利用圓錐曲線的定義解題有時更方便.5.（2010·天津高考理科·5）已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為 ( )（A） （B） （C

5、） （D）【命題立意】考查雙曲線、拋物線的方程和幾何性質.【思路點撥】根據雙曲線的漸近線方程和焦點，列方程組，求出和.【規(guī)范解答】選B，由題意可得，所以雙曲線方程為.6.（2010·福建高考理科·7）若點O和點F（-2，0）分別為雙曲線的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【命題立意】本題主要考查求解雙曲線的方程以及以平面向量為背景的最值的求解,屬中檔題.【思路點撥】 先求出雙曲線的方程，設P為動點，依題意寫出的表達式，進而轉化為求解條件最值的問題，利用二次函數的方法求解.【規(guī)范解答】選B，雙曲線的方程為，設，則，又，所以

6、當時， ；7.（2010·天津高考文科·3）已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點與拋物線的焦點相同.則雙曲線的方程為 【命題立意】考查雙曲線、拋物線的方程和幾何性質.【思路點撥】根據雙曲線的漸近線方程和焦點，列方程組，求出和.【規(guī)范解答】由題意可得，所以雙曲線方程為.【答案】8.（2010·海南高考理科·T12）已知雙曲線E的中心為原點，F(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(-12,-15),則E的方程為（）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本小題主要考查了直線和圓錐曲線的位置關系.【思路點撥】根據題意

7、可先設出雙曲線的方程，然后聯立方程組進行求解.【規(guī)范解答】選B.由于AB的中點為N(-12,-15)，所以直線的斜率，所以直線的方程為，由于F(3,0)是E的焦點，可設雙曲線的方程為設，聯立，化簡得因為AB的中點為N(-12,-15)，所以，解得，故選B.【方法技巧】先根據題意設出雙曲線的方程，再利用韋達定理，列出兩根之和滿足的等式，然后利用中點坐標求出參數，進而解決相關的問題.9.（2010·福建高考文科·3）若雙曲線-=1(b>0)的漸近線方程式為y=，則等于 .【命題立意】本題考查雙曲線的漸近線方程.【思路點撥】焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程為.【規(guī)范解答】雙

8、曲線的漸近線方程為，. 【答案】1【方法技巧】1.由雙曲線標準方程求其漸近線方程時，最簡單實用的辦法是：把標準方程中的1換成0，即可得兩條直線的方程。如雙曲線的漸近線方程為，即；雙曲線的漸近線方程為，即.2.如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.10.（2010·江蘇高考·6）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線上一點M的橫坐標為3，則點M到此雙曲線的右焦點的距離為_.【命題立意】本題考查雙曲線上點的坐標的求法，雙曲線的焦點坐標以及兩點間距離公式的應用.求M的坐標求右焦點坐標利用兩點的距離公式求解【思路點撥】【規(guī)范解答】,雙曲線的右焦點坐標為（4，0）由兩點間的距離

9、公式得【答案】411.（2010·北京高考理科·3）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為 ；漸近線方程為 .【命題立意】本題考查雙曲線與橢圓的基礎知識.【思路點撥】先由橢圓方程求出焦點坐標，再利用離心率求，利用求。令求漸近線方程. 【規(guī)范解答】雙曲線的焦點為，。離心率，。雙曲線方程為。令，得漸近線方程為.【答案】（，0） 【方法技巧】求雙曲線漸近線時，可令即可解出漸近線方程.12.（2010·山東高考理科·21）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦

10、點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；（2）設直線、的斜率分別為、，證明；（3）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【命題立意】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題（3）是一個開放性問題，考查了考生的觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】(1)根據離心率和周長構造含有的方程組，可求出橢圓的方程，再根據雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點可求雙曲線的方程;（2）設出點P的坐標

11、，再將用點P的坐標表示，并利用點P在雙曲線上進行化簡；（3）設直線AB的斜率為，則由（2）的結果可將直線CD的斜率用表示，然后設出直線AB與CD的方程，利用弦長公式將與表示出來，最后將用表示出來，通過化簡可判斷是否為常數.【規(guī)范解答】（1）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為.（2）設點P（，），則=，=，所以=，又點P（，）在雙曲線上，所以有，即，所以=1.（3）假設存在常數，使得恒成立，則由（2）知，所以設直線AB的方程為，則直線CD的方程為，由方程組消y

12、得：，設，則由韋達定理得：所以|AB|=，同理可得|CD|=，又因為，所以有=+=，所以存在常數，使得恒成立。【方法技巧】解析幾何中的存在判斷型問題1、基本特征：要判斷在某些確定條件下的某一數學對象(數值、圖形)是否存在或某一結論和參數無關. 2、基本策略：通常假定題中的數學對象存在(或結論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論.其中反證法在解題中起著重要的作用.或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式來證明該式是恒定的.13.（2010·廣東高考理科·20） 已知雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2，點，是雙曲線上不同的兩個動點（1） 求直線A1P與A2 Q交點的軌跡E的方程式；（2） 若過點H(O, h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且 ,求h的值?！久}立意】本題為解析幾何綜合問題，主要考察點的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關系.【思路點撥】（1）利用交軌法求點的軌跡方程； （2）利用互相垂直的兩條直線的斜率互為負倒數的關系，設出l1和l2 的方程，代入曲線方程后，利用其