人教版八年級上冊數(shù)學(xué)專題全等三角形中輔助線的添加

1、全等三角形中輔助線的添加一.教學(xué)內(nèi)容：全等三角形的常見輔助線的添加方法、基本圖形的性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用。二.知識要點：1、添加輔助線的方法和語言表述(1)作線段：連接；(2)作平行線：過點作/；(3)作垂線(作高)：過點作!，垂足為；(4)作中線：取中點，連接；(5)延長并截取線段：延長使等于；(6)截取等長線段：在上截取，使等于；(7)作角平分線：作平分；作角等于已知角；(8)作一個角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運用常用的輔助線的添加方法：(1)倍長中線(或類中線)法：若遇到三角形的中線或類中線(與中點有關(guān)的線段)，通?？紤]倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形。(2)

2、截長補短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時，通?？紤]截長補短法，構(gòu)造全等三角形。截長：在較 長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條較短線段延長，延長部 分等于另一條較短線段， 然后證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段。(3) 一線三等角問題("K'字圖、弦圖、三垂圖)：兩個全等的直角三角形的斜邊恰好是一個等腰直角三角形的 直角邊。(4)角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對稱軸利用”軸對稱性“構(gòu)造全等三角形。(5)角含半角、等腰三角形的(繞頂點、繞斜邊中點)旋轉(zhuǎn)重合法：用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三

3、角形全等。(6)構(gòu)造特殊三角形：主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造 )和等邊三 角形的特殊三角形來構(gòu)造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC邊中線19方式1: 延長AD到E,使DE=AD連接BEE方式2:間接倍長，作CHAD于F,作BEX AD的延長線于E,連接BEN方式3: 延長 MDiij N,使DN=MD連接CD(2)由 AB段 BCDI出由 AB/BCDI 出BC=BE+ED=AB+CD由AB® BCD導(dǎo)出ED=AE-CDEC=AB-CD(3)角分線，分兩邊，對稱全等要記全 角分線+垂線，等

4、腰三角形必呈現(xiàn)(三線合一)(4)旋轉(zhuǎn):方法：延長其中一個補角的線段(延長C E,使ED=BM 連AE或延長 CB至iJ F,使FB=DN,連AF )結(jié)論： MN=BM+DNC CMN =2ABAM AN分另I平分/ BMNf口 / DNM翻折:N0 .思路：分別將 AB林口 ADNA AMD AN為對稱軸翻折，但一定要證明 M P、N三點共線.(/ B+/ D=180且AB=AD(5)手拉手模型ABE ACF均為等邊三角形結(jié)論：(1) ABFAAE(C (2) Z B0E=Z BAE=60 (“八字型”模型證明)；(3) OA平分/ EOF 拓展：D條件： ABCCDE勻為等邊三角形結(jié)論：(1

5、)、AD=BE (2)、/ACBh AOB (3)、 PCQ等邊三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、。0¥分/八0£(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7) , (8)需構(gòu)造等邊三角形證明)、ABD ACE勻為等腰直角三角形結(jié)論：(1)、BE=CD (2) BE! CD 四、典型例題：考點一：倍長中線(或類中線)法： 核心母題 已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3則中線 AD的取值范圍是 練習(xí):1、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DEI DF, D是中點，試比較 BE+CF與EF的大小.2、如圖， ABC中，BD=DC=

6、ACE是DC的中點，求證： AD平分/ BAE.3、如圖，CE CB分另1是4 ABd4ADC的中線，且/ ACBhABC求證：CD=2CE4、已知：如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F 在 CD上,/ FAE=Z BAE,求證：AF=BC+FC.5、如圖，D是AB的中點，/ ACB=90，求證：2CD=AB.DE交 BC于 F,且 DF=EF 求證：BD=CE6、已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延長線上,A7、已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且 BE=AC延長BE交AC于F,求證：AF=EE8、已知：如圖，在 AABC中，AB#AC, D

7、> E在BC上，且DE=EC過D作DF BA交AE于點F, DF=AC.求證：AE平分ZBAC ?？键c二：截長補短法：核心母題如圖，AD/ BC, EA, EB分另I平分/ DAB, / CBA, CD±點E,求證：AB=AD+BC.練習(xí):1、如圖a, ABCD CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C,連接AF和BE.線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系 ？青證明你的結(jié)論；(2)將圖a中的 CEF繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖 b, (1)中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷并說明理由;、已知：如圖， AABC是等邊三角形， /BDC =120 口，求證：AD = BD+CD.、已

8、知四邊形ABCD中，AB=BC, /ABC =60口。， P為四邊形 ABCD的對角線 BD上一點，且ZAPD =120口，求證：PA + PD+PC = BD2、在 ABC中，/BAC=60 , / C=40° , AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求證：AB+BP=BQ+AQ3、如圖，在 MBC 中，/ABC =60。，AD, CE分另為 /BAC,/ACB 的平分線，求證：AC=AE+CD4、如圖，在 ABC中，AB=AC D是 ABC外一點，且/ ABD=60 , / ACD=60 求證：BD+DC=AB5、已知：如圖在 ABC中，AB=

9、AC D為 ABC外一點,A ABD=60 , / ADB=90 - / BDC 求證：AB=BDF DC2考點三：一線三等角問題（“K”字圖）1、已知：如圖，在 RtABC中，/ BAC=90 , AB=AC D是 BC邊上一點，/ ADE=45 , AD=DE 求證：BD=EC.角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E, A, C三點在一條直線上，連接BD,取BD的中點M,連接ME, MC 試判斷 EMC的形狀，并說明理由.3、如圖，在AABC 中，NACB =90 三 AC =BC ,直線MN經(jīng)過點C,且AD _L MN于點D, BE 1 MN于點E。(1)當(dāng)直線 MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(1

10、)的位置時，求證： DE=AD+BE(2)當(dāng)直線 MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時，求證： DE=AD-BE;(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時，試問：DE, AD, BE有怎樣的等量關(guān)系？請寫出等量關(guān)系，并 加以證明。N4、如圖所示，AE± AB, BC± CD且AB=AE, BC=CD, F、A、G C、H在同一直線上，如 按照圖中所標(biāo) 注的數(shù)據(jù)及符號，則圖中實線所圍成的圖形面積是？5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直角三角形的直角頂點放在和點B.(1)當(dāng)點A、點B分別在x軸、y軸正半軸上運動時，試探究P (5,5 )處，兩條直角邊與坐標(biāo)軸分別交于點OA+0B的

11、值或取值范圍;(2)點A在x軸正半軸上運動，點 B在y軸負(fù)半軸上時，試探究 OA-OB的值或取值范圍，直接寫出結(jié)果。6、已知：在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角4ABC頂點A、C分別在y軸、x軸上，且/ ACB=90 ° , AC=BC.(1)如圖1,當(dāng)A(0, -2), C(1, 0),點B在第四象限時，先寫出點B的坐標(biāo)，并說明理由.(2)如圖2,當(dāng)點C在x軸正半軸上運動，點 A(0, a)在y軸正半軸上運動，點 B(m, n)在第 四象限時，作BD± y軸于點D,試判斷a, m, n之間的關(guān)系，請證明你的結(jié)論.考點四：角平分線、中垂線法核心母題1、在 MBC中，AB >

12、AC , AD是/BAC的平分線. P是AD上任意一點.求證：ABAC>PBPC.2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜邊./ B的角平分線交AC于D,過 C作CE與BD垂直且交BD延長線于E,求證：BD=2CE.3、如圖， ABC的邊BC的中垂線 DF交ABAC的外角平分線 AD于D, F為垂足，DE! AB于E,且AB> AC求證: BE-AC=AE練習(xí)1、如圖所示，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分線， P是AD上異于點A的任意一點，試比較 PB + PC與 AB +AC的大小，并說明理由.2、如圖所示：/ ABC的平分線BF與 ABC中/ ACB的相鄰?fù)饨? ACG的

13、平分線CF相交于點F,過F 作DF/ BC,交AB于D,交AC于E.問：(1)寫出圖中的等腰三角形并說明理由.(2)若 BD=8cm, DE=3cm,求 CE 的長.3、在 ABC 中，AB =2AC,AD 平分 NBAC, E 是 AD 中點，連結(jié) CE ,求證：BD = 2CE4、如圖， ABC 中，/ABC=2/C, BE 平分 / ABC 交 AC 于 E、AD± BE 于 D,求證： (1 ) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.5、如圖，在 ABC中，AB> AC, E為BC邊的中點，AD為/ BAC的平分線，過 E作AD的平行線，交AB于F,交CA的延長線于

14、G.求證：BF=CG.變式一：如圖，在 AABC中，AD交BC于點D ,點E是BC中點，EF II AD交CA的延長線于點 F ,交AB 于 點G ,若BG =CF，求證：AD為ZBAC的角平分線.變式二：已知：4ABC中，AD是 ABC的角平分線，M為BC的中點，過點M作 MN AD,交AC于點N,求證：AN+AB=NC.變式三：在 ABC, AD是ABC勺角平分線.(1)如圖1,過C作C日AD交BA延長線于點 E,若F為CE的中點，連結(jié) AF,求證：AF± AD(2)如圖2, 求NC的長.M為BC的中點，過 M作MIN/ AD交AC于點N,若AB=4, AC=7,C6、如圖，已知

15、 ABC中，AB= AC, / A= 100° , / B的平分線交 求證：AD+ BD= BC7、如圖，在 ABC中，ADL BC于D, CD= AB+ BD, / B的平分線交 AC于點E,求證：點 E恰好在BC的垂直平分 線上。8、如圖1,在ABC中，/ ACB=2Z B,/BAC的平分線AO交BC于點D,點H為AO上一動點，過點H作直線l ±AO于H,分別交直線 AR AG BC于點N、E、M(1)當(dāng)直線l經(jīng)過點C時(如圖2),證明：BN=CD(2)當(dāng)M是BC中點時，寫出 CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)請直接寫出BZ CE CD之間的等量關(guān)系.9、如圖

16、所示，在 ABC中，/ ABC=3/ C, AD是/ BAC的平分線，BEX AD于F,求證：2BE=AC-AB變式：如圖，已知在 MBC中，/ABC=3/C, /1=/2,BE_LAE.求證： ACAB=2BE10、如圖所示，在 MBC中，AD平分ZBAC , AD =AB ,CM _L AD 于 M ,求證 AB + AC = 2AM .A考點五：角含半角、等腰三角形的(繞頂點)旋轉(zhuǎn)重合法核心母題如圖，在正方形 ABCM, E、F分別是BC CD力上的點，/ EAF=45 ,求證：EF=BE+DF.變式一：如圖，E、F分別是邊長為1的正方形ABCD勺邊BC CD上的點，若4ECF的周長是2

17、,求/ EAF的度數(shù)？變式二：如圖，在正方形ABCD43, E F 分別是 BC CDi上的點，/ EAQ=45 , AHL EF,求證：AH=AB.綜合：在正方形 ABCDK 若 M N分別在邊BC CD上移動，且滿足 MN=BMDN 求證：./MAN45.CMN =2AB從乂 an分別平分/ BM闞/ DNM.練習(xí)1、如圖，在四邊形 ABCD43, AB=BCZ A=ZC=90° , / B=135° , K N分別是AR BC上的點，若 BKN的周長是AB的2倍，求/ KDN的度數(shù)?BrI)求證：AD平分/ CDE.2、如圖所示，在五邊形 ABCD即,AB=AE BC+DE=C>D/ ABC吆 AED=1803、如圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=Z AED=90 ° , 求五邊形 ABCDE 的面積.4、如圖1 .在四邊形 ABCD中.AB=AD, Z B+Z D=180 ° , E、F分別是邊BC、CD上的點，且/ BAD=2 / EAF.(1)求證：EF