（三管齊下）貴州省2014屆高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)試題6 函數(shù)的奇偶性與周期性理（含解析）新人教A版

1、6函數(shù)的奇偶性與周期性導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解函數(shù)奇偶性、周期性的含義.2.會判斷奇偶性，會求函數(shù)的周期.3.會做有關(guān)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的綜合問題自主梳理1函數(shù)奇偶性的定義如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有_，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有_，則稱f(x)為偶函數(shù)2奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)f(x)為奇函數(shù)f(x)f(x)f(x)f(x)_；f(x)為偶函數(shù)f(x)f(x)f(|x|)f(x)f(x)_.(2)f(x)是偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于_軸對稱；f(x)是奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于_ _對稱(3)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在

2、對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有_的單調(diào)性3函數(shù)的周期性(1)定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(xT)_，則稱f(x)為_函數(shù)，其中T稱作f(x)的周期若T存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的_(2)性質(zhì)： f(xT)f(x)常常寫作f(x)f(x)如果T是函數(shù)yf(x)的周期，則kT(kZ且k0)也是yf(x)的周期，即f(xkT)f(x)若對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個自變量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常數(shù)且a0)，則f(x)是以_為一個周期的周期函數(shù)自我檢測1已知函數(shù)f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)為偶函數(shù)，則m的值是

3、()A1B2C3D42(2011·茂名月考)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最大值為5，那么f(x)在區(qū)間7，3上是 ()A增函數(shù)且最小值是5B增函數(shù)且最大值是5C減函數(shù)且最大值是5D減函數(shù)且最小值是53函數(shù)yx的圖象 ()A關(guān)于原點對稱B關(guān)于直線yx對稱C關(guān)于y軸對稱D關(guān)于直線yx對稱4(2009·江西改編)已知函數(shù)f(x)是(，)上的偶函數(shù)，若對于x0，都有f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,2)時，f(x)log2(x1)，則f(2 012)f(2 011)的值為 ()A2B1C1D25(2011·開封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a_.探究點一函數(shù)奇

4、偶性的判定例1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)x()；(3)f(x)log2(x)；(4)f(x)變式遷移1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)x2x3；(2)f(x)；(3)f(x).探究點二函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例2函數(shù)yf(x)(x0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時是增函數(shù)，若f(1)0，求不等式fx(x)<0的解集變式遷移2(2011·承德模擬)已知函數(shù)f(x)x3x，對任意的m2,2，f(mx2)f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為_探究點三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3(2009·山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4

5、)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m>0)，在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.變式遷移3定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)f(2x)若f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，則f(x)()A在區(qū)間2，1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)B在區(qū)間2，1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)C在區(qū)間2，1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)D在區(qū)間2，1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)函數(shù)f(x)的定義域為Dx|x0，且滿足對于任意x1，x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2)(1)求

6、f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍【答題模板】解(1)對于任意x1，x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.2分(2)令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.4分令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)6分(3)依題設(shè)有f(4×4)f(4)f(4)2，f(16×4)f(16)f(4)3，7分f(3x1)f(2x6)3，即f(3x1)(

7、2x6)f(64)8分f(x)為偶函數(shù)，f(|(3x1)(2x6|)f(64)10分又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，f(x)的定義域為D.0<|(3x1)(2x6)|64.11分解上式，得3<x5或x<或<x<3.x的取值范圍為x|x<或<x<3或3<x512分【突破思維障礙】在(3)中，通過變換已知條件，能變形出f(g(x)f(a)的形式，但思維障礙在于f(x)在(0，)上是增函數(shù)，g(x)是否大于0不可而知，這樣就無法脫掉“f”，若能結(jié)合(2)中f(x)是偶函數(shù)的結(jié)論，則有f(g(x)f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定義域為x

8、|x0，這才能有|g(x)|>0，從而得出0<|g(x)|a，解之得x的范圍【易錯點剖析】在(3)中，由f(|(3x1)·(2x6)|)f(64)脫掉“f”的過程中，如果思維不縝密，不能及時回顧已知條件中函數(shù)的定義域中x|x0，易出現(xiàn)0|(3x1)(2x6)|64，導(dǎo)致結(jié)果錯誤1正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；f(x)f(x)或f(x)f(x)是定義域上的恒等式2奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡，或應(yīng)用定義的等價形式：f(x

9、)±f(x)f(x)±f(x)0±1(f(x)0)3奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也真利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它判斷函數(shù)的奇偶性4關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論：對于函數(shù)f(x)，若有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a為常數(shù)且a0)，則f(x)的一個周期為2a(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011·吉林模擬)已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值為()AB.C.D2(2010·銀川一中高三年級第四次月考)已知定義域為x|x0的函數(shù)f(x)為

10、偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(，0)上是增函數(shù)，若f(3)0，則<0的解集為 ()A(3,0)(0,3)B(，3)(0,3)C(，3)(3，)D(3,0)(3，)3(2011·鞍山月考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f(x2)，當(dāng)1x2時，f(x)x2，則f(6.5)等于 ()A4.5 B4.5C0.5D0.54(2010·山東)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x0時，f(x)2x2xb(b為常數(shù))，則f(1)等于 ()A3B1C1D35設(shè)函數(shù)f(x)滿足：yf(x1)是偶函數(shù)；在1，)上為增函數(shù)，則f(1)與f(2)大小關(guān)系是 ()Af(1)>f(2)B

11、f(1)<f(2)Cf(1)f(2)D無法確定題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010·遼寧部分重點中學(xué)5月聯(lián)考)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則ab_.7(2011·咸陽月考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)滿足f(x3)f(x)，且f(1)>1，f(2)，則m的取值范圍是_8已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，若f(2)2，則f(2 010)的值為_三、解答題(共38分)9(12分)(2011·汕頭模擬)已知f(x)是定義在6,6上的奇函數(shù)，且f(x)在0,3上是x的一次式，

12、在3,6上是x的二次式，且當(dāng)3x6時，f(x)f(5)3，f(6)2，求f(x)的表達(dá)式10(12分)設(shè)函數(shù)f(x)x22|x|1(3x3)(1)證明f(x)是偶函數(shù)；(2)畫出這個函數(shù)的圖象；(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；(4)求函數(shù)的值域11(14分)(2011·舟山調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x2(x0，常數(shù)aR)(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)f(x)在2，)上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍答案 自主梳理1f(x)f(x)f(x)f(x)2(1)00(2)y原點(3)相反3(1)f(x)周期最小正周期(2)

13、2a自我檢測1B因為f(x)為偶函數(shù)，所以奇次項系數(shù)為0，即m20，m2.2A奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，對稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性3A由f(x)f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱4Cf(2 012)f(2 011)f(2 012)f(2 011)f(0)f(1)log21log2(11)1.51解析f(1)0，f(1)2(a1)0，a1.代入檢驗f(x)是奇函數(shù)，故a1.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：用函數(shù)奇偶性的定義判斷(先看定義域是否關(guān)于原點對稱)(2)圖象法：f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(x)為偶函數(shù)(3

14、)基本函數(shù)法：把f(x)變形為g(x)與h(x)的和、差、積、商的形式，通過g(x)與h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性解(1)定義域要求0且x1，1<x1，f(x)定義域不關(guān)于原點對稱，f(x)是非奇非偶函數(shù)(2)函數(shù)定義域為(，0)(0，)f(x)xxf(x)f(x)是偶函數(shù)(3)函數(shù)定義域為R.f(x)log2(x)log2log2(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(4)函數(shù)的定義域為(，0)(0，)當(dāng)x<0時，x>0，則f(x)(x)2x(x2x)f(x)；當(dāng)x>0時，x<0，則f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)對任意x(，0)(0，)都有f(x

15、)f(x)故f(x)為奇函數(shù)變式遷移1解(1)由于f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，從而函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)f(x)的定義域為1,1，關(guān)于原點對稱，又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(3)由得，f(x)定義域為2,0)(0,2定義域關(guān)于原點對稱，又f(x)，f(x)f(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)例2解題導(dǎo)引本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)不等式”在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反解yf(x)為奇函數(shù)，且

16、在(0，)上為增函數(shù)，yf(x)在(，0)上單調(diào)遞增，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)<0f(1)，則即0<x(x)<1，解得<x<或<x<0.若fx(x)<0f(1)，則由x(x)<1，解得x.原不等式的解集是x|<x<或<x<0變式遷移2(2，)解析易知f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，故f(mx2)f(x)<0，等價于f(mx2)<f(x)f(x)，此時應(yīng)用mx2<x，即mxx2<0對所有m2,2恒成立，令h(m)mxx2，此時，只需即可，解得x(2，)例3解題導(dǎo)

17、引解決此類抽象函數(shù)問題，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性等性質(zhì)，畫出函數(shù)的一部分簡圖，使抽象問題變得直觀、形象，有利于問題的解決8解析因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x2對稱且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)又因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,0上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1<x2<x3<x4.由對稱性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x412

18、48.變式遷移3Bf(x)f(2x)，f(x1)f(1x)x1為函數(shù)f(x)的一條對稱軸又f(x2)f2(x2)f(x)f(x)，2是函數(shù)f(x)的一個周期根據(jù)已知條件畫出函數(shù)簡圖的一部分，如右圖：由圖象可以看出，在區(qū)間2，1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)課后練習(xí)區(qū)1B依題意得，ab.2D由已知條件，可得函數(shù)f(x)的圖象大致為右圖，故<0的解集為(3,0)(3，)3D由f(x2)，得f(x4)f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)f(2.5)因為f(x)是偶函數(shù)，則f(2.5)f(2.5)f(1.5)而1x2時，f(x)x2，f(1.5)0.5.由上知：f(6.5)0.5

19、.4D因為奇函數(shù)f(x)在x0有定義，所以f(0)202×0bb10，b1.f(x)2x2x1，f(1)3，從而f(1)f(1)3.5A由yf(x1)是偶函數(shù)，得到y(tǒng)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，f(1)f(3)又f(x)在1，)上為單調(diào)增函數(shù)，f(3)>f(2)，即f(1)>f(2)61解析f(x)是奇函數(shù)，且xR，f(0)0，即a0.又f(1)f(1)，b1(11)0，即b1，因此ab1.71<m<解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(x)為奇函數(shù)，且f(1)>1，f(1)f(1)<1，<1.解得：1<m<.

20、82解析由g(x)f(x1)，得g(x)f(x1)，又g(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)g(x)，f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)，用x1替換x，得f(x)f(x2)又f(x)是R上的偶函數(shù)，f(x)f(x2)f(x)f(x4)，即f(x)的周期為4.f(2 010)f(4×5022)f(2)2.9解由題意，當(dāng)3x6時，設(shè)f(x)a(x5)23，f(6)2，2a(65)23.a1.f(x)(x5)23(3x6)(3分)f(3)(35)231.又f(x)為奇函數(shù)，f(0)0.一次函數(shù)圖象過(0,0)，(3，1)兩點f(x)x(0x3)(6分)當(dāng)3x0時，x0,3，f(x)(x)x.又f(x)f(x)，f(x)x.f(x)x(3x3)(9分)當(dāng)6x3時，3x6，f(x)(x5)23(x5)23.又f(x)f(x