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文檔簡介

1、任意四邊形、梯形與相似模型模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ;。所謂的相似三角形,就是形狀相同,大小不同的三角形(只要其形狀不改變,不論大小怎樣改變它們都相似),與相似三角形相關的常用的性質及定理如下:相似三角形的一切對應線段的長度成比例,并且這個比例等于它們的相似比;相似三角形的面積比等于它們相似比的平方;連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理:三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半。相似三角形模型,給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具。在小學奧數(shù)里,出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形?!纠?1】 如圖,已知在平行

2、四邊形中,那么的長度是多少?【解析】 圖中有一個沙漏,也有金字塔,但我們用沙漏就能解決問題,因為平行于,所以,所以【例 2】 如圖,測量小玻璃管口徑的量具,的長為厘米,被分為等份。如果小玻璃管口正好對著量具上等份處(平行),那么小玻璃管口徑是多大? 【解析】 有一個金字塔模型,所以,所以厘米。【例 3】 如圖,平行,若,那么_?!窘馕觥?根據(jù)金字塔模型,設份,則份,份,所以?!纠?4】 如圖, 中,互相平行,則 ?!窘馕觥?設份,根據(jù)面積比等于相似比的平方,所以,因此份,份,進而有份,份,所以【鞏固】如圖,平行,且,求的長。【解析】 由金字塔模型得,所以【鞏固】如圖, 中,互相平行,則 。【解

3、析】 設份,因此份,進而有份,同理有份,份,份所以有【總結】繼續(xù)拓展,我們得到一個規(guī)律:平行線等分線段后,所分出來的圖形的面積成等差數(shù)列?!纠?5】 已知中,平行,若,且比大,求?!窘馕觥?根據(jù)金字塔模型,設份,則份,份,比大份,恰好是,所以【例 6】 如圖:平行, ,求的長度【解析】 在沙漏模型中,因為,所以,在金字塔模型中有:,因為,所以【鞏固】如圖,已知平行,那么_。【解析】 由沙漏模型得,再由金字塔模型得【例 7】 如圖,中,與平行,的面積是1平方厘米。那么的面積是 平方厘米。【解析】 因為,與平行,根據(jù)相似模型可知,平方厘米,則平方厘米,又因為,所以(平方厘米)【例 8】 在圖中的正

4、方形中,分別是所在邊的中點,的面積是面積的幾倍? 【解析】 連接,易知,根據(jù)相似三角形性質,可知,且,所以的面積等于的面積;由可得,所以,即的面積是面積的3倍。【例 9】 如圖,線段與垂直,已知,那么圖中陰影部分面積是多少? 【解析】 解法一:這個圖是個對稱圖形,且各邊長度已經(jīng)給出,不妨連接這個圖形的對稱軸看看作輔助線,則圖形關于對稱,有,且 設的面積為2份,則的面積為3份,直角三角形的面積為8份因為,而陰影部分的面積為4份,所以陰影部分的面積為解法二:連接、由于,所以,根據(jù)相似三角形性質,可知,根據(jù)梯形蝴蝶定理,所以,即;又,所以【例 10】 (年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請

5、賽)如圖,四邊形和都是平行四邊形,四邊形的面積是,則四邊形的面積_【解析】 因為為平行四邊形,所以,所以為平行四邊形,那么,所以又,所以,根據(jù)沙漏模型,所以【例 11】 已知三角形的面積為,是的中點,且,交于,求陰影部分的面積 【解析】 已知,且,利用相似三角形性質可知,所以,且又因為是的中點,所以是三角形的中位線,那么,所以,可得,所以,那么【例 12】 已知正方形,過的直線分別交、的延長線于點、,且,求正方形的邊長【解析】 方法一:本題有兩個金字塔模型,根據(jù)這兩個模型有,設正方形的邊長為,所以有,即,解得,所以正方形的邊長為方法二:或根據(jù)一個金字塔列方程即,解得【例 13】 如圖,三角形是

6、一塊銳角三角形余料,邊毫米,高毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在上,其余兩個頂點分別在、上,這個正方形零件的邊長是多少? 【解析】 觀察圖中有金字塔模型個,用與已知邊有關系的兩個金字塔模型,所以有,設正方形的邊長為毫米,即,解得,即正方形的邊長為毫米【鞏固】如圖,在中,有長方形,、在上,、分別在、上,是 邊的高,交于,厘米,厘米,求長方形的長和寬【解析】 觀察圖中有金字塔模型個,用與已知邊有關系的兩個金字塔模型,所以,所以有,設,則,所以有,解得,因此長方形的長和寬分別是厘米,厘米【例 14】 圖中是邊長為的正方形,從到正方形頂點、連成一個三角形,已知這個三角形在上截得的長度為,那

7、么三角形的面積是多少? 【解析】 根據(jù)題中條件,可以直接判斷出與平行,從而三角形與三角形相似,這樣,就可以采用相似三角形性質來解決問題做垂直于,交于因為,所以三角形與三角形相似,且相似比為,所以,又因為,所以,所以三角形的面積為【例 15】 如圖,將一個邊長為的正方形兩邊長分別延長和,割出圖中的陰影部分,求陰影部分的面積是多少?【解析】 根據(jù)相似三角形的對應邊成比例有:;,則, 【例 16】 (2008年101中學考題)圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)(厘米),它們的面積之和等于52平方厘米,則陰影部分的面積是 【解析】 設大、小正方形的邊長分別為厘米、厘米(),則,所以若,則,不合題意,所以只

8、能為6或7檢驗可知只有、滿足題意,所以大、小正方形的邊長分別為6厘米和4厘米根據(jù)相似三角形性質,而,得(厘米),所以陰影部分的面積為:(平方厘米)【例 17】 如圖,是矩形一條對角線的中點,圖中已經(jīng)標出兩個三角形的面積為和,那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少?【解析】 連接,面積為的三角形占了矩形面積的,所以,所以,所以,由三角形相似可得陰影部分面積為【例 18】 已知長方形的面積為厘米,是的中點,、是邊上的三等分點,求陰影的面積是多少厘米? 【解析】 因為是的中點,、是邊上的三等分點,由此可以說明如果把長方形的長分成份的話,那么份、份,大家能在圖形中找到沙漏和:有,所以,相當于把分成(

9、)份,同理也可以在圖中在次找到沙漏:和也是沙漏,由此可以推出:, 相當于把分成()份,那么我們就可以把分成份(和的最小公倍數(shù))其中占份,占份,占份,連接則可知的面積為,在為底的三角形中占份,則面積為:(平方厘米).【例 19】 是平行四邊形,面積為72平方厘米,、分別為、的中點,則圖中陰影部分的面積為 平方厘米 【解析】 方法一:注意引導學生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關性質設、分別為、的中點,連接、可得,對角線被、平均分成四段,又,所以,所以 (平方厘米),(平方厘米)同理可得平方厘米,平方厘米所以 (平方厘米),于是,陰影部分的面積為(平方厘米)方法二:尋找圖中的沙漏,因此為的三等

10、分點,(平方厘米),(平方厘米),同理(平方厘米),所以(平方厘米)【例 20】 如圖,三角形的面積是8平方厘米,長方形的長是6厘米,寬是4厘米,是的中點,則三角形的面積是 平方厘米 【解析】 本題在矩形內連接三點構成一個三角形,而且其中一點是矩形某一條邊的中點,一般需要通過這一點做垂線取的中點,連接,設交于則三角形被分成兩個三角形,而且這兩個三角形有公共的底邊,可知三角形的面積等于(平方厘米),所以(厘米),那么(厘米)因為是三角形的中位線,所以(厘米),所以三角形的面積為 (平方厘米)【例 21】 如圖,長方形中,為的中點,與、分別交于、,垂直于,交于,已知,求【解析】 由于,利用相似三角

11、形性質可以得到,又因為為中點,那么有,所以,利用相似三角形性質可以得到,而,所以【例 22】 右圖中正方形的面積為1, 、分別為、的中點,求陰影部分的面積 【解析】 題中條件給出的都是比例關系,由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解,而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形,那么首先想到的就是利用相似三角形的性質陰影部分為三角形,已知底邊為正方形邊長的一半,只要求出高,便可求出面積 可以作垂直于,垂直于根據(jù)相似三角形性質,又因為,所以,即,所以【例 23】 梯形的面積為12,為的中點,的延長線與交于,四邊形 的面積是 【解析】 延長、相交于由于為的中點,根據(jù)相似三角形性質,再根據(jù)相似三角形性質,而,所

12、以,又,所以【例 24】 如圖,三角形的面積為60平方厘米,、分別為各邊的中點,那么陰影部分的面積是 平方厘米 【解析】 陰影部分是一個不規(guī)則的四邊形,不方便直接求面積,可以將其轉化為兩個三角形的面積之差而從圖中來看,既可以轉化為與的面積之差,又可以轉化為與的面積之差(法1)如圖,連接由于、分別為各邊的中點,那么為平行四邊形,且面積為三角形面積的一半,即30平方厘米;那么的面積為平行四邊形面積的一半,為15平方厘米根據(jù)幾何五大模型中的相似模型,由于為三角形的中位線,長度為的一半,則,所以;,所以那么的面積占面積的,所以陰影部分面積為(平方厘米)(法2)如圖,連接根據(jù)燕尾定理,所以平方厘米,而平

13、方厘米,所以平方厘米,那么陰影部分面積為(平方厘米)【總結】求三角形的面積,一般有三種方法:利用面積公式:底高;利用整體減去部分;利用比例和模型【例 25】 如圖,是直角梯形,那么梯形的面積是多少? 【解析】 延長交于點,分別計算的面積,再求和 ; 又 , 【例 26】 邊長為厘米和厘米的兩個正方形并放在一起,那么圖中陰影三角形的面積是多少平方厘米?【解析】 給圖形標注字母,按順時針方向標注,大正方形為,小正方形為,分別交于兩點,【例 27】 如右圖,長方形中,求的長【解析】 因為,根據(jù)相似三角形性質知, 又因為, 所以,即,所以【例 28】 (第屆迎春杯試題)如圖,已知正方形的邊長為,是邊的

14、中點,是邊上的點,且,與相交于點,求【解析】 方法一:連接,延長,兩條線交于點,構造出兩個沙漏,所以有,因此,根據(jù)題意有,再根據(jù)另一個沙漏有,所以方法二:連接,分別求,根據(jù)蝴蝶定理,所以【例 29】 如圖所示,已知平行四邊形的面積是1,、是、的中點, 交于,求的面積 【解析】 解法一:由題意可得,、是、的中點,得,而,所以,并得、是的三等分點,所以,所以,所以,;又因為,所以 解法二:延長交于,如右圖, 可得, 從而可以確定的點的位置, , ,(鳥頭定理), 可得【例 30】 (清華附中入學試題)正方形的面積是120平方厘米,是的中點,是的中點,四邊形的面積是 平方厘米 【解析】 欲求四邊形的面積須求出和的面積由題意可得到:,所以可得:將、延長交于點,可得:,而,得,而,所以 本題也可以用蝴蝶定理來做,連接,確定的位置(也就是),同樣也能解出【例 31】 如圖,已知,點分別在上,且,則是多少? 【解析】 的面積已知,若知道的面積占的幾分之幾就可以計算出的面積連接 與平行,【例 32】 如圖,長方形中,、分別為、邊上的點,求 【解析】 如圖,過作的平行線交于由于是的中點,所以是的中點由于,所以,根據(jù)相似性,于是,所以【例 33】 如下圖,、均為各邊的三等分點,線段和把三角形分成四部分,如果四邊形的面積是24平方厘米,求三角形的面積 【解析】 設三

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