湖北省光谷第二高級中學(xué)高三物理 難點1 打通追及相遇問題的綠色通道

1、難點1 打通追及相遇問題的綠色通道追及相遇問題是運動學(xué)中兩個運動對象的相對運動問題，因運動的對象有兩個，且相遇的位置和追及過程中所需的時間的不確定性，導(dǎo)致問題變得復(fù)雜化。高考計算題中經(jīng)常出現(xiàn)追及相遇問題，例如2011年全國新課程卷的第一個計算題就是典型的追及相遇問題。問題中往往涉及到相遇的時間及位移，兩者的距離極值等問題。實際上追及相遇問題的兩大典型運動情景：兩個均做勻變速直線運動；一個做勻變速直線運動，另一個做勻速直線運動。解決此類問題時要分析兩個運動的特點，解題的方法上主要有兩種基本思想：如果運用物理方法解決，務(wù)必要抓住兩者速度相同時的這個關(guān)鍵時刻；如果運用數(shù)學(xué)方法來解決，需要建立兩個對象

2、的位移關(guān)系方程，通過解含有時間的一元二次方程，并對方程的根的理解確定符合條件的時間。下面分別對兩類運動情景的典型例題來嘗試用不同方法解決追及相遇問題，并從這些方法中找到一條解決問題的綠色通道。典型運動情境之一：兩個均做勻變速直線運動【調(diào)研1】甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛，甲車在前，速度為v18m/s，乙車在后，速度為v216m/s，當(dāng)兩車相距s08m時，甲車因故開始剎車，加速度大小為a12m/s2，為避免相撞，乙車立即開始剎車，則乙車的加速度至少為多大？方法一：用運動學(xué)公式法來求解兩車速度相同均為v時，設(shè)所用時間為t，乙車的加速度為a2，則v1a1tv2a2ttts0解得t2s，a乙6m

3、/s2即t2s時刻，兩車恰好未相撞，顯然此后在停止運動前，甲的速度始終大于乙的速度，故可避免相撞。滿足題意的條件為乙車的加速度至少為6m/s2。方法二：用速度時間圖象法來求解v/m·s-1t/sO168t如圖所示，當(dāng)速度相同時，陰影面積s表示兩者位移之差，若ss0，則不會相撞，由幾何關(guān)系可得ss0，解得t2s，再由v1a1tv2a2t，解得a26m/s2，故乙車的加速度大于6m/s2才能避免兩車相撞。方法三：建立數(shù)學(xué)函數(shù)方程來求解甲運動的位移s甲v1ta1t2，s乙v2ta2t2，避免相撞的條件為：s乙s甲s0，即(a2a1)t2 (v1v2)ts00，代入數(shù)據(jù)有： (a22)t21

4、6t160，不等式成立的條件是：1624×16(a22)0，故a26m/s2。方法四：巧妙運用相對運動來求解兩者的相對速度為vv1v28m/s，相對位移ss08m，設(shè)相對加速度為aa2a1，經(jīng)過時間t相遇，依題意有：svtat2， at28t80，只要滿足824×8×a0，故a4m/s2，a26m/s2滿足題意。【方法技巧】（1）審題與建立方程的綠色通道：“抓住一個條件，兩個關(guān)系”。一個條件是兩物體的速度滿足的臨界條件，如兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。兩個關(guān)系是時間關(guān)系和位移關(guān)系，通過畫草圖找兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口。若被追趕的物體做勻減速運

5、動，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運動。仔細(xì)審題，充分挖掘題目中的隱含條件。（2）架設(shè)數(shù)學(xué)與物理的綠色通道：“速度時間圖象工具的物理意義”。vt圖象作為數(shù)學(xué)工具，實際上包含了物理運動學(xué)中的所有量?？梢灾庇^反映運動情況。比如速度的大小看縱坐標(biāo)的絕對值，速度的方向看橫軸的上與下；加速度的大小看圖線的斜率絕對值，加速度的方向看圖線的切線的傾斜方向；位移的大小看圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積，位移的方向看所圍成面積是橫軸上還是下；多個圖線的交點即速度相同處，解題時盡量將物理情景通過速度時間圖象直觀反映出來。（3）運用公式法和圖象法的綠色通道：采用物理的圖象方法，關(guān)鍵點在于兩者速度相同時的臨界分析，我們可稱

6、作“過了這個村就沒這個店了”，即兩者在速度相同時還未相遇，該處相交后必定出現(xiàn)速度的大小關(guān)系變化。例如速度相同時若還未追上，以后就不可能追上了?！菊{(diào)研2】如圖所示，直線MN表示一條平直公路，甲、乙兩輛汽車分別停在A、B兩處，AB85m，現(xiàn)甲車開始以a1=2.5m/s2的加速度向右做勻加速直線運動，當(dāng)甲車運動t06s時，乙車開始以a25m/s2的加速度向右做勻加速直線運動，求兩車相遇處到A處的距離。乙車甲車NMBA【解析】甲車運動t06s的位移為s0a1t0245m85m，尚未追上乙車。設(shè)此后用時間t與乙車相遇，則a1(t0t)2a2t2AB代入數(shù)據(jù)并整理得t212t320解得 t14s t28s

7、 （1）當(dāng)t14s時，甲車追上乙車，第一次相遇處到A的距離為s1a1(t0t)2125m（2）當(dāng)t28s時，乙車追上甲車，第二次相遇處到A的距離為s2a1(t0t2)2245m 【誤點警示】 本題中有兩個易錯點，一個是t06s時刻是否已經(jīng)相遇的判斷，為后續(xù)方程的建立提供分析思路；第二個是方程的兩個根的物理意義的理解。追及相遇問題實際上就是要建立兩個位移間的函數(shù)方程ss1s2，而兩個位移s1和s2符合勻變速直線運動的公式，位移公式是關(guān)于t的一元二次方程，因此相遇問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)方程中t是否有解及有幾個解，此解要求大于零，且符合物理情景。典型運動情境之二：一個勻速運動，另一個勻變速運動【調(diào)研

8、3】甲乙兩運動員在訓(xùn)練交接棒的過程中發(fā)現(xiàn)：甲經(jīng)短距離加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙從起跑后到接棒前的運動是勻加速的。為了確定乙起跑的時機(jī)，需在接力區(qū)前適當(dāng)?shù)奈恢迷O(shè)置標(biāo)記。在某次練習(xí)中，甲在接力區(qū)前S0=13.5m處作了標(biāo)記，并以v=9m/s的速度跑到此標(biāo)記時向乙發(fā)出起跑口令。乙在接力區(qū)的前端聽口令時起跑，并恰好在速度達(dá)到與甲相同時被甲追上，完成交接棒。已知接力區(qū)的長度為L=20m。求：此次練習(xí)中乙在接棒前的加速度a。【解析】畫出示意圖，如圖所示，設(shè)乙的加速度為a，從起跑到接棒的時間為t 解法一：利用平均速度求解依題意甲、乙運動位移滿足：S甲S乙S0，即v甲ttS0其中 ，且tS0代入數(shù)

9、據(jù)解得t3s由v甲at，解得a3m/s2解法二：判別式法求解S甲S乙S0，即v甲tat2S0移項得到：at2v甲tS00，其中S013.5m，v甲9m/s。在速度相等時相遇，且只能相遇一次，故判別式0（即t只有唯一解），可得a3m/s2解法三：轉(zhuǎn)換參考系法求解若以乙運動員為參考系，則甲運動員以加速度a做勻減速直線運動，從相距S0再到達(dá)乙位置，甲到達(dá)乙位置時速度為零。根據(jù)勻變速運動規(guī)律：2aS00v02，代入數(shù)據(jù)解得a3m/s2?！緦W(xué)法指導(dǎo)】本題是大家在學(xué)校運動會中熟悉的接力賽情景。通過示意圖將情景轉(zhuǎn)換為物理模型，從而找到位移關(guān)聯(lián)關(guān)系，列方程求解。但在具體列方程的過程中，考慮到運動學(xué)公式的靈活性

10、與多變性，位移的表達(dá)式可以用平均速度與時間的乘積公式、位移時間公式表達(dá)、位移速度公式，甚至相對參考系的方法。具體方法可參照三種方法進(jìn)行認(rèn)真體會，達(dá)到觸類旁通，舉一反三的效果?！菊{(diào)研4】一輛摩托車能達(dá)到的最大速度為vm30m/s，要想在3min內(nèi)由靜止起沿一條平直公路追上前面s01000m處正以v20m/s的速度勻速行駛的汽車，則摩托車必須以多大的加速度啟動？（保留兩位有效數(shù)字）甲同學(xué)的解法是：設(shè)摩托車恰好在t3min180s時追上汽車，則 at2vts0，代入數(shù)據(jù)得 a0.28m/s2。乙同學(xué)的解法是：設(shè)摩托車追上汽車時，摩托車的速度恰好是vm30m/s，則vm22as2a(vts0)，代入數(shù)

11、據(jù)得a0.1m/s2。你認(rèn)為他們的解法正確嗎？若錯誤，請說明理由，并寫出正確的解法.【解析】甲錯，因為摩托車運動t180s時，速度為v1at0.28×180m/s50.4m/svm30m/s。乙錯，因為摩托車以0.1m/s2的加速度運動達(dá)到速度vm30m/s，運動的時間ts=300s180s。正確解法：設(shè)摩托車達(dá)到最大速度用時t1，則vmat1 運動位移為 s1at12設(shè)摩托車在t180s時恰好追上汽車,則此后摩托車運動位移 s2vm(tt1)汽車在t時間內(nèi)運動位移：svt依題意：s1s2s0s代入數(shù)據(jù)解得 a0.56m/s2。故甲、乙都不正確，摩托車必須至少以0.56m/s2的加速

12、度啟動?！菊`點警示】本題的追及相遇問題中出現(xiàn)了最大速度vm30m/s的條件限制、3min時間內(nèi)追上的限制以及兩者之間初始距離s01000m的限制。因此在以某一個條件建立方程式時要顧及到另外兩個限制條件是否滿足。否則會出現(xiàn)題干中甲、 乙兩位同學(xué)的錯誤。TtvOQ甲乙P【拓展訓(xùn)練】1、甲乙兩車在一平直道路上同向運動，其vt圖象如圖所示，圖中OPQ和OQT的面積分別為x1和x2（x2x1）。初始時，甲車在乙車前方x0處，則（ ）A若x0x1x2，兩車不會相遇B若x0x1，兩車相遇2次C若x0x1，兩車相遇1次D若x0x2，兩車相遇1次【解析】由圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示運動的位移，可知T時刻甲乙速度

13、相同，甲運動的位移S甲x2，乙運動的位移S乙x1x2，甲乙運動的位移差為SS乙S甲x1。此后甲的速度將大于乙的速度，若x0Sx1，說明乙剛好追上甲，此后又落后于甲，即只能相遇一次，C對；若x0Sx1，說明乙還未追上甲，且此后乙也不可能追上甲，即不可能相遇，A選項中x0x1x2符合，故A對；而D選項x0x2x1，也符合，故D錯；若x0Sx1，說明乙已經(jīng)追上甲，且此后由于甲的速度較大，會再次與乙相遇，即相遇兩次，B對?！敬鸢浮緼BC2、車從靜止開始以a1m/s2的加速度前進(jìn)，車后相距s025m處，某人同時開始以v06m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離?！窘馕觥坑眠\動學(xué)公式法來求解討論人與車速度相同時，人是否追上車。對車：運動位移s車18m對人：運動位移s人v0t36m由于ss人s車18ms025m，且此后車的速度大于人的速度，故人不能追上。t6s時，人與車相距最近，sms0s7m。請自行嘗試用其它方法來求解本題。3、如圖所示，在傾角為的光滑斜面頂端有一質(zhì)點A由靜止開始自由下滑，同時另一質(zhì)點B由靜止開始從斜面底端向左以恒定加速度a沿光滑水平面運動，A滑下后能沿斜面底部的光滑小圓弧平穩(wěn)地朝B追去，為