山東省舜耕中學(xué)2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料 第十三編 推理與證明13.2 直接證明與間接證明教案 理

1、高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí) 教案 第十三編 推理與證明總第67期 §13.2 直接證明與間接證明基礎(chǔ)自測1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的 條件.答案 充分2.若ab0,則a+ b+.(用“”,“”,“=”填空)答案 3.要證明+2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是 （填序號）.反證法分析法綜合法答案 4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是 .假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)；假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)；假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù)答案 5.設(shè)a、b、c（0，

2、+），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的 條件. ；答案 充要例題精講 例1 設(shè)a,b,c0,證明：a+b+c.證明 a,b,c0，根據(jù)基本不等式，有+b2a,+c2b,+a2c.三式相加：+a+b+c2(a+b+c).即+a+b+c.例2 （14分）已知a0,求證： -a+-2.證明 要證-a+-2,只要證+2a+.2分a0,故只要證（a+）2, 6分即a2+4+4a2+2+2+2,8分從而只要證2, 10分只要證42（a2+2+）,即a2+2,而該不等式顯然成立，故原不等式成立.14分例3 若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y2,求證：2與2

3、中至少有一個(gè)成立.證明 假設(shè)2和2都不成立，則有2和2同時(shí)成立，因?yàn)閤0且y0,所以1+x2y，且1+y2x，兩式相加，得2+x+y2x+2y，所以x+y2，這與已知條件x+y2相矛盾，因此2與2中至少有一個(gè)成立.鞏固練習(xí) 1.已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a2+b2+c2(+).證明 a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac.又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，上面三個(gè)式子中都不能取“=”，a2+b2+c2ab+bc+ac,ab+bc2,bc+ac2,ab+ac2,又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，ab+bc+ac(+),a2+b2+c2(+).2.已知a0,b0,且a+b=

4、1,試用分析法證明不等式.證明 要證,只需證ab+，只需證4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,只需證4(ab)2+8ab-25ab+40,只需證4(ab)2-17ab+40,即證ab4或ab,只需證ab，而由1=a+b2,ab顯然成立，所以原不等式成立.3.已知a、b、c（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.證明 方法一 假設(shè)三式同時(shí)大于，即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,a、b、c(0,1),三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a.又(1-a)a=,同理（1-b）b,(1-c)c,(1-a)a(1-b)b(1-c)c,這與假

5、設(shè)矛盾，故原命題正確.方法二 假設(shè)三式同時(shí)大于，0a1,1-a0, =,同理,三式相加得,這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確.回顧總結(jié) 知識(shí)方法思想課后作業(yè)一、填空題1.（2008·南通模擬）用反證法證明“如果ab,那么”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 .答案 =或2.已知ab0，且ab=1,若0c1,p=logc,q=logc，則p,q的大小關(guān)系是 .答案 pq3.設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合.在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對任意的a,bS，對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的a,bS,有a*(b*a)=b,則對任意的a,bS，下列恒成立的等式的序號是 .

6、（a*b）*a=aa*(b*a)*(a*b)=ab*(b*b)=b(a*b)*b*(a*b)=b答案 4.如果A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則A1B1C1是 三角形，A2B2C2是 三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）答案 銳角 鈍角5.已知三棱錐SABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題：BC平面SAC；平面SBC平面SAB；SBAC.其中正確命題的序號是 .答案 6.對于任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結(jié)論：對于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);對于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a

7、*(b*c)=(a*b)*c;對于任意實(shí)數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是 .（寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號）答案 二、解答題7.已知數(shù)列an中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=(n=1,2,),求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.（1）證明 Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,),即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-

8、2an)bn=an+1-2an(n=1,2,),bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列.（2）證明 由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2=(n=1,2,),cn+1-cn=-=.將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,),由此可知，數(shù)列cn是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)c1=，故cn=n-(n=1,2,).（3）解 cn=n-=(3n-1).an=2n·cn=(3n-1)·2n-2 (n=1,2,)當(dāng)n2時(shí)，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2

9、n-1+2.由于S1=a1=1也適合于此公式，所以an的前n項(xiàng)和公式為Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.設(shè)a,b,c為任意三角形三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證：I24S.證明 由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) =a2+b2+c2+2S,a,b,c為任意三角形三邊長，ab+c,bc+a,ca+b,a2a(b+c),b2b(c+a),c2c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)0a2+b2+c22Sa2+b2+c2+2S4S.I24S.9.已知a,b,

10、c為正實(shí)數(shù),a+b+c=1.求證：（1）a2+b2+c2; (2)+ +6.證明 （1）方法一 a2+b2+c2-= (3a2+3b2+3c2-1) =3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2=(3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc) =(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20a2+b2+c2.方法二 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1a2+b2+c2.方法三 設(shè)a=+,b=+,c=+.a+b+c=1,+=0a2+b2+c2=（+）2+（+）2+（+）2=+(+)+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2.(2)=,同理,+=6原不等式成立.10.已知函數(shù)y=ax+(a1).（1）證明：函數(shù)f(x)在（-1,+)上為增函數(shù)；（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.證明 （1）任取x1,x2(-1,+),不妨設(shè)x1x2,則x2-x10,由于a1,a1且a0,a-a=a (a-1)0.又x1+10,x2+10,-=0,于是f(x2)-f(x1)=a-a+-0,故函數(shù)f(x)在(-1,+）上為增函數(shù).（2）方法一 假設(shè)存在x00 (x0-1)滿足