全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及解析

1、謝謝觀賞2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項的字母填在答題紙指定位置上。(1)下列曲線中有漸近線的是(A) yx sin x.(B)sin x.(C).1sin 一.(D)謝謝觀賞.1sin一.b limxa lim fix)x xlimxf (x) ax lim x x.1 sin xx.1 sin 一xlim(1x1 . 1、 sin )xlimsinx11一y=x是y=x+sin-的斜漸近線x(2)設(shè)函數(shù)fx具有2階導(dǎo)數(shù),x,則在區(qū)間01上(A)當(dāng)f(x)0時,(B)

2、當(dāng)(x)0時，f(C)當(dāng)f(x)0時,(D)當(dāng)f0時，fx0時,是凹函數(shù)時)A)是連接0,f0與(1,f)的直線段，如右圖設(shè)x,y是連續(xù)函數(shù)，則10dy1y17f(x,y)(A)(B)1dx01dx0x11f(x,y)dy1x0f(x,y)dy0.dx10001dx1x2f(x,y)dy.1-x2f(x,y)dy.(C)02d1cossin0f(rcos,rsin)drd21f(rcos,rsin0、)dr.(D)02d1:0ssinf(rcos,rsin)rdr_d1f(rcos,rsin0)rdr.【解析】積分區(qū)域如圖0可wi.用極坐標(biāo)表木,即:Di：D2：cossin(xa1cosxmi

3、na,bR2,(xacosxbsinx)dx,則aicosxb1sinx(A)2sinx.(B)2cosx.(C)2sinx.(D)cosx.令Z(a,b)2,(xacosxbsinx)dxZa2(xacosxbsinx)(cosx)dxZb(xacosxbsinx)(sinx)dx由(i)2a0cosxdx故a0,a10由(2)0xsinxdx0sin2xdxb12(5)行列式(A)(ad-bc)2(D)b2c2-a2d2ab00ab按第4行展開c(1)4100bd(1)44a00cd00cd(C)a2d2-b2c2.2°(B)-(ad-bc)b0bacb(1)321)21(adb

4、c)bcad(adbc)(ad【答案】bc)(bcad)B(adbc)2(6)設(shè)1,2,3均為3維向量，則對任意常數(shù)k,l,向量組1k3,2l3線性無關(guān)是向量組i,2,3線性無關(guān)的()(A)必要非充分條件.(B)充分非必要條件.(C)充分必要條件.(D)既非充分也非必要條件10【解析】由(1k3,2l3)(1,2,3)01知，kl1 0當(dāng)1,2,3線性無關(guān)時，因為001所以1k3,2l3線性無關(guān)反之不成立如當(dāng)30,1與2線性無關(guān)時，1,2,3線性相關(guān)【答案】A(7)設(shè)隨機事件A與B相互獨立，且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,則P(B-A)=()(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)

5、0.4【解析】P(A-B)=P(A)-P(AB).A與B相互獨立.P(AB)=P(A)P(B).P(A-B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B)=0.3P(A)(1-0.5)=0.3.P(A)=0.6P(AB)=P(A)P(B)=0.6X05=0.3.P (B-A) =P (B) -P(BA) =0.5-0.3=0.2(8)設(shè)連續(xù)性隨機變量X1與X2相互獨立，且方差均存在，Xi與X2的概率密度分別為f(x).1Y 2=與f2x,隨機變量yi的概率密度為£丫1y=2f1(y)fz(y),隨機變量12KX2).則()(A)EYi>EY2, DYi>DY2(C)E

6、Yi=EY2, DYi<DY2(B)EY i=EY2, DY 1=DY 2(D)EY 1= EY2, DY i>DY 2【解析】eyi1 ,1 ,y2f1(y) - f2(y)dy1一、，1-、，-yf(y)dy 2yf2(y)dyEX12ex111EY2E1(X1X2)-EXi2EX2EYEY2EYi21，、f1(y)1，、，-f2(y) dy1 2EXi 21 2-EX2 2DYEX2 1 EX；2EX12EX21212121212EX2 2EX22 4(EX1)2 -(EX2)2 -EX1EX2= 4DX111DX2 EX42 4Iex4212 -EX1EX21DX1 =41

7、DX 2 4EX12EX； 2E(X1X2)11DX 1 DX 244E(Xi X2)2DY12 D 2(XiX2)11-DX 1 - DX244【答案】D二、填空題:914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上。(9)曲面 z x2(1 sin yy2 1 sin x在點(1, 0, 1)處的切平面方程為【解析】在點(1, 0, 1)處,Zx2x(1 siny)21y cosx切平面方程為Zx(x 1) Zy(y(1,0,1)Zy(1,0,1)0) ( 1)(z 1)2x cosy2 (1,0,1)2y(1 sin x)1 (1,0,1)即2xyz10(10)設(shè)f x 是周

8、期為 4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f (x)2( x 1) , x 0,2,則 f=【解析】f(x)是周期為4的可導(dǎo)函數(shù)f(7)f(3)f(1)f(1)且f(0)0又f(x)2(x1)f(x)x22xc將f(0)0代入得C0f(x)x22xx0,2f(1)1從而f(7)f(1)1(11)微分方程xytyInxIny=0滿足條件y(1)=e3的解為y=【解析】xy y(ln x ln y) 0即xy yln- 0兩邊同除x得 yy xyIn 0x y令uy ,則yxxudydxx代入上式得dxuxuIn10整理得dxudu一1dx兩端積分得u(lnu1)xdu1-dxInCu(lnu1)xd (In u

9、1)In u 11dx InC xlnu1cxcx1uecx1yxe將y(1)e3代入上式得C2x1yxe22(12)設(shè)L是枉面xy1與平面yz0的交線，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時針方向，則曲面積分zdx ydz=xcost【解析】令ysintt:0,2zsintzdxLydz2sint( sin t)0sint( cost) dt21cos2t2x 1 x2 2axix3 4x2x3的負(fù)慣性指數(shù)是1,則a的取值氾圍dt(sint)dsint020(13)設(shè)二次型 f Xi,X2,X30因為0,|A|,負(fù)慣性指數(shù)為.設(shè)1 0,從而|A|若|A|0,則0,2 0,3 0.此時符合題意而a2

10、40.即-2<a<2.若A0,則0, 20,0,此時a3)(3)3,23,2符合題意3)(3)當(dāng)a=-2時A13, 2 3, 3符合題意(14)設(shè)總體X的概率密度為f(x,)=2x320,其他其中是未知數(shù),X1,X2,X為來自總體X的簡單樣本，若的無偏估計，則c=2(X2)x3dxn_2(CXi)i12(Xi)三、解答題:5n1523小題，共94分，請將解答寫在答題紙指定位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程成消算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限limx1x9-1t2(et1)tdt【解】limxx2ln(11t2(etlimx1t26limx1x2(e71(16)(本題滿分設(shè)函

11、數(shù)f(x)3y2dydx-)x1)tdt1ln(1-)x1)tdt10分)由方程2xyx2xydxlimx2,limx(exet1t2xy2xy11Xt2(eT1)tdtx1ln(1-)x1)xtelimt012t60確定，求f(x)的極值。dy0,dx解得dydx2xyy222x2xy3ydydxx2x,代入原式得yd2ydx2(2y2xdx2ydy)(dxx22xy3y2)(2xyy2)(2x2y2啜6yM)(x22xy3y2)22代入得亶40,故x1為最小點，最小值為y2。9(17)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(u)二階連續(xù)可導(dǎo)，zf(excosy)滿足(4zexcosy)e2x,若f(0

12、)0,f(0)0,求f(u)的表達式。zxecosyx_xesinyfxe cosy f-2xe sin22Zx2x2Z-ecosyfecosyf,-2xy2z-2x2z2yexcosy,由2z2x24(4zexcosy)e2x得yf(u)4f(u)u,或f(u)4f(u)u,1解得f(u)C1e2uC2e2u-u,4C1C20由f(0)0,f(0)0得1，解得C12cl2C2041,C216116故f(u)(e2ue2u)16(18)(本題滿分10分)設(shè)為曲面zx122y2(z1)的上側(cè)，計算曲面積分(x1)3dydz(y1)3dzdx(z1)dxdy?！窘狻苛?:z1(x2y21),取下側(cè)

13、，其中與0圍成的幾何體為，由高斯公式得(x1)3dydz(y1)3dzdx(z1)dxdy3(x1)23(y1)21dv0_22_223(x2y2)6x6y7dv3(x2y2)7dv12-z30dz0d0(3r7r)drc1/32712(zz)dz2(0424(x1)3dydz(y1)3dzdx4)(z1)dxdy(z1)dxdy0,0故I(x1)x y zdydz(y1)3dzdx(z1)dxdy4(19)(本題滿分10分)設(shè)數(shù)列an、bn滿足 0 an -,0bn -，cosanancosbn,且級數(shù)bn收斂。證明：liman0。n(II)證明：曳收斂。nibn【證明】(I)方法一bn收斂

14、得limbnn0。令limanna,等式cosanancosbn兩邊取極限得cosaa令(x)1cosxx,(0)0,(x) 0得 x 0,因為(x)sinx10,所以(x)單調(diào)增加，由故limana0。n方法二由cosanancosbn得ancosancosbn0,從而0anbn,因為bnn 1收斂，所以an收斂,n 1lim an 0。n(II)由ancosancosbn 得anbncosanbncosbnan 2sin( bnan bn-)sin()22bnbn2 2 an2bnb22因為0 bnan2bnbn且2bn收斂，所以1nb2 a2bn上收斂,1 2bn由比較審斂法得an收斂。

15、n1bn(20)(本題滿分11分)234111,E為三階單位矩陣。1203(I)求方程組AX。的一個基礎(chǔ)解系。(II)求滿足ABE的所有矩陣B?！窘狻縄)A則方程組II）令A(yù)Bx1ABx1x4x1AX2x4x4O的一個基礎(chǔ)解系為x1x4x7x101,2,3,1)T。x1x4x7x10x2x3x5x8x113x7x7x12x42x43x7x7x102x43x10k1x6，x9x124x10x103x104x100x1x4x7x10x2x2x5x8x112x5x5x2x2x5x2k12k13k1k1x3x6x9x123x8x82x52x5x82x54x11x113x113x8x1113x11x32

16、x63x94x124x11x6x3x92x6x123x12x3x6x32x63x9x9x124x12002x63x121得1234001111120301234001111043101234001111001341001601023得0013466k232k23；43k 24x21x525k2x83x1110k21234012301110011120310434010111234001110001311001101021得00131x3x6x9x12123111k312k31，13k310k32k16k21k3（其中匕*2*3為任意常數(shù)）。2k112k232k313k113k243k31k1k

17、2k321)（本題滿分11分）證明證明n階矩陣00100200n相似?！咀C明】11100n|EA|0得A的特征值為n10,nn，由|EB|0得B的特征值為1n10,nn。因為ATA,所以A可對角化；對B,因為r(0EB)r(B)1,所以B可對角化，因為A,B特征值相同且都可對角化，所以AB。1(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機變量X的概率分布為PX1PX2-在給定Xi的條件下，隨機變量Y服從均勻分布U(0,i)(i1,2)。(I)求Y得分布函數(shù)FY(y)。(II)求EY。m2)FY(y)PYyPX1PYy|X1PX2PYy|X1,、1,、5PYy|X12PYy|X2,1 y 1 y 3y 一 一一一,2 12 24y0時，F(xiàn)Y(y)0;當(dāng)0y1時，F(xiàn)Y(y)當(dāng)1y2時，F(xiàn)Y(y)11YY2224當(dāng)y2時，F(xiàn)y(y)1,0,y03y-y,0y1故FY(y)4.21,1y2421,y23,0y14，、1(ii)fY(y)一,1y2,4Q其他13xEYdx042x,333-dxo14884(23)(本題滿分11分)設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x)0,x0x21e0為未知參數(shù)，Xi,X2,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本。(I)求EX及EX2。(II)求的最