中國石油大學2012-2013(1)線性代數(shù)(A)[32]答案及評分標準

1、A卷 20122013學年第一學期線性代數(shù)答案及評分標準 專業(yè)班級 姓 名 學 號 開課系室 基礎數(shù)學系 考試日期 2013年1月16日 頁 號一二三四五六總分本頁總分值152124161212本頁得分閱卷人注意事項：1請在試卷正面答題，反面及附頁可作草稿紙；2答題時請注意書寫清楚，保持卷面清潔；3本試卷共六道大題，總分值100分；試卷本請勿撕開，否則作廢；4. 本試卷正文共6頁.本頁總分值15分本頁得分一選擇題共5小題，每題3分，共計15分1已知五階行列式第三列的元素分別為0，1，2，3，4，第三列的余子式分別為-4，-3，-2，-1,0，則該行列式的值為 B A. -2 B. 2 C. 1

2、0 D. -10 .2已知方陣滿足，則以下說法錯誤的選項是 D A可逆； B可逆； C可逆； D. 不可逆.3含n個未知量的齊次方程組有非零解的充分必要條件是 A A；B；C；D.4.以下不屬于等價關系的是 B A矩陣的初等變換； B矩陣的可逆；C. 矩陣的相似； D矩陣的合同.5. 設向量組線性無關，向量可以由線性表示，向量不能由線性表示，則 ( A )A 線性無關； B 線性相關；C 線性無關； D 線性相關.二填空題共5小題，每題3分，共計15分本頁總分值21分本頁得分1設= 44(=256 ) .2設四階矩陣與相似，為四階單位陣，矩陣的特征值為2,3,4,5，則 24 .3設矩陣則=

3、.4. 設三階方陣三維列向量，已知與線性相關，則 -1 .5. 從的基到基的過渡矩陣為.三、論述證明題6分請問等價的向量組線性相關性一定相同嗎？假設答案肯定，請給出證明；否則請說明理由或舉出反例.答：不一定. (4)例如，向量組與其最大無關組等價，但線性相關性不一定相同. (6)四計算以下各題共5小題，每題8分，共計40分本頁總分值24分本頁得分1. 計算行列式D = .8分解：將行列式的 2、3、4列都加到第一列，然后第一列提出公因子，得 D = (4)將第一列乘以2后加到其余各列，得 D = (8)2.設矩陣,求矩陣.8分解：由，得： (4)驗證知矩陣是可逆的，所以 (8)3設矩陣有3個線

4、性無關的特征向量,2是的二重特征值，求，. 8分 解：由已知，得 (4)又因為，故. (8)本頁總分值16分本頁得分4.設向量組， 求該向量組的秩和一個最大無關組.8分解： 記 (4)故知：向量組的秩為 3，(6) 是一個最大無關組. (8) 5.設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量，且，求該方程組的通解.8分解：易知， 是該方程組的導出組的一個基礎解系，(4)則該方程組的通解為： (8)本頁總分值12分本頁得分五、12分設有三維向量組問取何值時，1可由線性表示，且表達式唯一？2可由線性表示，但表達式不唯一？3不能由線性表示？解：設，該方程組的增廣矩陣為 (6) 1 當時，方程組有唯一解，則可由線性表示，且表達式唯一； (8) 2 當時，方程組有無窮多解，則可由線性表示，但表達式不唯一； (10) 3 當 時，方程組無解，則不能由線性表示。 (12)本頁總分值12分本頁得分六、12分設二次型，其中二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為-12.（1） 求的值；（2） 利用正交變換將此二次型化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.解：(1) 的矩陣為，由已知 (2)所以 . (4)(2) 的矩陣為,特征多項式為：特征值為：。 (6)對于，解齊次線性方程組，得特征向量對于，解