數(shù)值分析課后題答案

1、數(shù)值分析第二章2當(dāng) x1, 1,2 時， f ( x)0, 3,4 , 求 f (x) 的二次插值多項式。解：x0 1,x11, x2f ( x0 ) 0, f (x1)l 0(xx1)( x( x)x1)( x0( x0( xx0 )( xl1( x)x0 )( x1( x1l 2( xx0 )( x( x)x0 )( x2( x22,3, f ( x2)4;x2 )1 ( x1)(x 2)x2)2x2 )1(x 1)( x2)x2 )6x1 )11)( x1)x1)( x3則二次拉格朗日插值多項式為2L2 ( x)ykl k ( x)k06設(shè)（ 1）（ 2）證明（ 1）3l0 (x)4l2

2、( x)1( x1)(x2)4 (x1)(x1)235x23x7623x j , j0,1,L, n 為互異節(jié)點，求證：nxjkl j (x)xk( k0,1,L, n);j 0n(xjx)k l j ( x)0(k0,1,L ,n);j 0令 f (x) xknxkjl j ( x) 。若插值節(jié)點為 xj , j0,1,L , n ，則函數(shù) f ( x) 的 n 次插值多項式為 Ln ( x)j0插值余項為 Rn ( x)f ( n 1)( )f ( x) Ln ( x)n 1( x)(n1)!又Q kn,f ( n 1) ()0Rn (x)0nxkjl j ( x)xk( k0,1,L,n

3、);j 0nx)k l j (x)(2)(xjj0nnCkj xij ( x)k i )l j ( x)(j 0i0nnCki(x) ki (xij l j (x)i 0j0又 Q 0in由上題結(jié)論可知nxkjl j ( x)xij 0n原式Cki (x)ki xii0( xx) k0得證。7 設(shè) f ( x)C 2 a,b 且 f ( a)f (b) 0, 求證：max f ( x)1(ba) 2 max f( x).a x b8a xb解：令 x0a, x1b ，以此為插值節(jié)點，則線性插值多項式為xx1xx0L1 ( x)f ( x0 ) x0x1f ( x1 ) xx0f( )xbf()

4、xa=abxa又 Q f (a)f (b)0L1 ( x) 0插值余項為 R( x)f (x)L ( x)1 f ( x)( x x)( xx )12011f ( x)f(x)( xx0 )( x x1)2又 Q ( xx0 )( xx1)1 (x2x0 )(x1x)21(x1x0 ) 241 (ba) 24max f ( x)1 (ba)2 max f( x).ax b8a xb8在 4x4 上給出 f ( x)ex 的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求ex 的近似值，要使截斷誤差不超過10 6 ，問使用函數(shù)表的步長h 應(yīng)取多少？解：若插值節(jié)點為xi1, xi和 xi 1 ，則分段二次插值多項式

5、的插值余項為R2 (x)1 f()( xxi1)( xxi )( xxi 1)3!R2 ( x)1 ( xxi1)( xxi )( xxi1) maxf ( x)64 x 4設(shè)步長為 h，即 xi 1xih, xi 1xihR2 ( x)1 e432 h33 e4 h3 .6327若截斷誤差不超過10 6，則R2 ( x)10 63 e4h310 627h0.0065.9若 yn2n , 求4 yn及4 yn. ，解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進(jìn)行求解。yn2n4 yn( E1)4 yn4(1)j4E4jynj0j4(1)j4y4njjj04j44j(1)2ynjj0(21)4 yn

6、yn2n114 yn( E 2E 2 )4 yn1(E 2 )4(E1)4 ynE 24 ynyn22n216 f (x) x7x43x 1, 求 F 20 ,21,L ,2 7及 F 20 ,21,L ,28 。解： Q f (x) x7x43x 1若xi2i ,i0,1,8L則 f x0 , x1 ,L , xnf (n) ()n!f x0, x1 ,L , x7f (7) ()7!7!17!f x0 , x1 ,L , x8f (8) ()08!19求一個次數(shù)不高于 4次 的 多 項 式 P （ x ）， 使 它 滿 足P(0)P (0)0, P(1)P (1)0, P(2)0解法一：利

7、用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4 的多項式x00, x11y00, y11m00,m1111H 3 ( x)y jj ( x)mjj (x)j0j00 ( x) (1 2 x x0 )( x x1 )2x0 x1x0 x1(12x)( x1)21 ( x) (1 2 x x1 )( x x0 )2x1 x0x1 x0(32x) x20 (x)x( x1)21 ( x)(x1)x2H 3 ( x) (3 2x) x2( x 1)x2x32x2設(shè) P( x) H 3( x) A( x x0 ) 2 ( x x1) 2其中， A 為待定常數(shù)Q P(2) 1P( x)x32x2Ax2 (x1)2A14

8、1 x2 (x從而 P(x)3)24解法二 : 采用牛頓插值，作均差表：xif ( xi )一階均差二階均差00111210-1/2p(x)p(x0 ) (x x0 ) f x0 , x1 (x x0 )( x x1 ) f x0 , x1 , x2 ( ABx)( xx0 )( xx1 )( xx2 )0xx(x1)(1/ 2)( A Bx )x(x 1)( x 2)p (0)0, p (1)1, 得A3 , B1 ,又由44p( x)x23)2.(x所以4第四章1. 確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：h(1) f ( x)dxh2h

9、(2) f (x)dx2h1(3) f ( x)dx1h(4) f ( x)dx0A 1 f (h)A0 f (0)A1 f ( h);A 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h); f ( 1)2 f ( x1)3 f ( x2 )/ 3;h f (0)f (h)/ 2ah2 f (0) f (h);解：求解求積公式的代數(shù)精度時， 應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義， 即求積公式對于次數(shù)不超過 m的多項式均能準(zhǔn)確地成立，但對于 m+1次多項式就不準(zhǔn)確成立，進(jìn)行驗證性求解。h（1）若 (1)f ( x)dxA 1 f ( h)A0 f (0)A1 f (h)h令 f (x)1 ，則 2hA 1A0A1

10、令 f (x)x ，則 0A 1hA1h令 f (x)x2 ，則 2 h3h2 A 1 h2 A13A04h3從而解得 A11 h3A 11h3令 f (x)x3hf (x)dxhx3dx 0，則hhhf ( x)dx A 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)故hhh2 h5f ( x)dxx4dxhh5A 1 f (h)A0 f (0) A1 f (h)2h53A 1 f ( h)A0 f (0)A1 f (h)0成立。令f (x)x4，則h故此時，f (x)dxA 1 f ( h)A0 f (0)A1 f (h)hh故f ( x)dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f (

11、h)h具有 3 次代數(shù)精度。2 hA 1 f ( h)A0 f (0) A1 f (h)（2）若f ( x)dx2 h令 f (x)1 ，則 4h A 1A0A1令 f (x)x ，則 0A 1h A1h令 f (x)x2 ，則 16 h3h2 A 1h2 A13A04 h3從而解得A18 h3A 18 h3x3 ，則2 h2 h令 f (x)2 hf ( x)dxx3 dx0A 1 f ( h) A0 f (0) A1 f (h) 02 h2 h故f ( x)dxA 1 f (h)A0 f(0)A1 f ( h) 成立。2hx4 ，則f ( x)dxx4 dx64 h5令 f (x)2h2h

12、2h2h5A1 f (h) 16 h5A 1 f ( h)A0 f (0)32h故此時，因此，（ 3）若令 f (x)令 f (x)令 f (x)從而解得f ( x)dxA 1 f ( h)A0 f (0)A1 f (h)2h2hA 1 f (A0 f (0)A1 f (h)f (x)dxh)具有 3 次代數(shù)精度。2h1f ( x)dx f ( 1)2 f ( x1 )3 f (x2 )/ 3112 f ( x1 )3 f (x2 )/ 31 ，則f (x)dx2 f (1)1x ，則012x1 3x2x2 ，則2 1 2x123x22x10.2899x1 0.6899或x20.5266x20

13、.1266x3 ，則11x3dx令 f (x)f ( x)dx10 f (1) 2 f ( x1 )3 f (x2 )/3 011 f (1) 2 f ( x1 )3 f (x2 )/3 不成立。因此，原求積公式具有故f (x)dx2 次代數(shù)精度。1（4）若hh f (0) f (h)/ 2ah2 f(0) f(h)0f ( x)dx令 f (x)1 ，則hh,h f (0)f (h)/2ah2 f (0)f(h)hf (x)dx0令 f (x)x ，則hh1 h2f (x)dxxdx002h f (0)f ( h)/2ah2 f(0)f(h)1 h22令 f (x)x2 ，則hh1 h3f

14、( x)dxx2dx003h f (0)f (h)/2ah2 f(0)f(h)1 h32ah 22故有1 h31 h32ah232a112令 f (x)x3 ，則hh1 h4f ( x)dxx3dx004h f (0)f (h)/21 h2 f (0)f(h)1 h41 h41 h412244令 f (x)x4 ，則hh4dx1 h5f (x)dxx005h f (0)f (h)/21 h2 f (0)f(h)1 h51 h51 h512236故此時，hf (h)/ 21h2 f(0) f( h),f (x)dx h f (0)0121hf ( x)dx h f (0)f (h)/ 2h2 f

15、(0) f(h)因此，012具有 3 次代數(shù)精度。7。若用復(fù)化梯形公式計算積分I1ex dx ，問區(qū)間 0,1應(yīng)多少等分才能使截斷誤差不超過010 6？解：采用復(fù)化梯形公式時，余項為Rn ( f )b a h2 f (),( a, b)12又Q I1故 f ( x) ex , f (x) ex ,a 0, b 1.ex dx0R ( f )1 h2 f ( )e h2n1212若 Rn f10 6，則當(dāng)對區(qū)間 0,1進(jìn)行等分時， h1 ,n故有 ne 106476 等分時可以滿足誤差要求因此，將區(qū)間12第五章2. 用改進(jìn)的歐拉方法解初值問題y x y,0 x 1; y(0) 1,取步長 h=0

16、.1 計算，并與準(zhǔn)確解 yx 1 2ex 相比較。近似解準(zhǔn)確解近似解準(zhǔn)確解0.11.111.110340.62.040862.044240.21.242051.242810.72.323152.327510.31.398471.399720.82.645582.651080.41.581811.583650.93.012373.019210.51.794901.797441.03.428173.436563、解： 改進(jìn)的歐拉法為yyn1 h f ( xn, yn)f ( x, ynhf (x , yn)n 12n 1n將 f (x, y)x2xy 代入上式，得2h 1 h xn 1 xn 1

17、xn 1 xn 1y1 h hynn 122同理，梯形法公式為y2h ynh xn (1 xn ) x(1n 12h2 hn 1將 y 00,h0.1代入上二式， ，計算結(jié)果見表9 5表95xn 1)x n改進(jìn)歐拉 yn010005500020021927500030050144388040090930671050144992257可見梯形方法比改進(jìn)的歐拉法精確。4、用梯形方法解初值問題| y( xn )yn | 梯形法 yn0.3374180361030 0052380950 0214058960.6582530781030 0493672390 0899036920.96260818210

18、 30 1437223880.12507167210 202yy0;| y( xn )yn |0.75513278110 403030.22373844310 30.25304808710 3y(0)1,證明其近似解為2nynh2,h并證明當(dāng) h0時，它原初值問題的準(zhǔn)確解ye x 。證明： 梯形公式為yn 1yh f (x, yn)f ( xn 1, yn 1)n2n代 f ( x, y)y 入上式，得yn 1yh ynyn1n2解得yn 1( 2h) yn( 2h )2 yn 1( 2h)n 1 y02h2h2h因

19、為 y01，故y ( 2h )nn2h對x0 ， 以 h為 步 長 經(jīng) n步 運 算 可 求 得 y(x) 的 近 似 值 yn ， 故xnh, nx , 代入上式有hyn(2h) hx2h2hx2hx2h2 h 2h xe xlim ynlim() hlim(1) hlim(1) 2h 2 h hh 0h 0 2hh 02 hh 02 h10. 證明解 yf (x, y) 的下列差分公式y(tǒng)n 11 ( ynyn 1 )h ( 4yn 1 yn 3yn 1 )24是二階的，并求出截斷誤差的首項。yn 1ynhyn(1)h2yn(2)h3yn(3)o(h3)26，yn 1yn(1)h2(2)h3

20、(3)o(h3)y 'nhyn2yn6yn，5h3 yn(3)o(h3 )o(h2 )，截斷誤差首項為588(1)(2)h2(3)o(h2)y 'n 1 ynhyn2yn，21yn(1)hyn(2)hyn(3)o(h2 )2，代入得h3 yn(3)。12. 將下列方程化為一階方程組：y3y2 y0,1） y(0) 1, y ( 0)1;(1) y 'z, z '3z2 y ，其中 y(0) 1, z(0) 1 。y0.1(1y 2 ) yy 0,2）y(0)1, y (0)0;(2)y 'z, z'0.1(1 y2 ) z y ，其中 y(0)

21、1, z(0) 0 。第六章1、用二分法求方程的正根, 要求誤差小于0.05.解 設(shè) , 故 1,2 為的有根區(qū)間 . 又 , 故當(dāng)時 , 單增 , 當(dāng)時單增 . 而, 由單調(diào)性知的惟一正根 . 根據(jù)二分法的誤差估計式 (7.2) 知要求誤差小于 0.05, 只需 , 解得 , 故至少應(yīng)二分 6 次 . 具體計算結(jié)果見表 7-7.表 7-70121.5-11.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625-41.56251.6251.59375-51.593751.6251.609375-即.3、為求在附近的一個根, 設(shè)將方程改寫成下列等價形式, 并建立相應(yīng)的迭代公式

22、:(1),迭代公式 ;(2),迭代公式 ;(3),迭代公式 .試分析每種迭代公式的收斂性, 并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根.解取的鄰域 1.3,1.6來考察 .( x)111.3,1.6,|'( x) |2|2L 1(1)當(dāng)時 ,x2x31.33, 故迭代公式在上整體收斂.(2)當(dāng)時( x)(1 x2 )1/31.3,1.6| '( x) |2 |x2 |21.62L0.52213(1 x2 ) 33 (1 1.32 )3故在 1.3,1.6上整體收斂 .( x)1,|'( x) |111(3)x3/2 |12( x1)2(1.61)故發(fā)散 .由于 (2) 的 L 叫小 , 故取 (2) 中迭代式計算 . 要求結(jié)果具有四位有效數(shù)字, 只需即取計算結(jié)果見表7-8.表 7-811.48124803441.46704797321.47270573051.46624301031.46881731461.465876820由于 , 故可