決勝中考探索性數(shù)學問題

1、.初中數(shù)學開放性探究性試題及解題策略瑞金市壬田初中 謝清靈個人郵箱：ruijinxieqingling QQ：1084733389 電話著基礎(chǔ)教育課程改革和素質(zhì)教育的全面推進，近幾年在初中數(shù)學教學中和各省、市的中考題中，出現(xiàn)了一批符合學生年齡特點和認知水平、設(shè)計優(yōu)美、個性獨特的開放題。開放題打破傳統(tǒng)模式，構(gòu)思新穎，使人耳目一新。數(shù)學開放題被認為是當前培養(yǎng)創(chuàng)新意識、創(chuàng)造能力的最富有價值的數(shù)學問題，加大數(shù)學開放題在中考命題中的力度，是應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的重要體現(xiàn)，對發(fā)揮學生主體性方面確實具有得天獨厚的優(yōu)勢，是培養(yǎng)學生主體意識的極好材料。一、數(shù)學開放題的概述1、關(guān)于數(shù)學

2、開放題的幾種論述：所謂開放性試題：是指那些條件不完善，結(jié)論不明確、不惟一，解法無限制的一類試題。它是相對于   傳統(tǒng)型試題而言的。兩者的主要區(qū)別在于：傳統(tǒng)型試題的條件是完備的，結(jié)果是確定的（唯一的）：而開放性試題則是，要么條件不完備，要么結(jié)論不確定、不惟一，需要解題者自己去探索.主要有如下的論述：（1）答案不固定或者條件不完備的習題，我們稱為開放題；（2）開放題是條件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的題；（3）有多處正確答案的問題是開放題。這類問題給予學生以自己喜歡的方式解答問題的機會，在解題過程中，學生可以把自己的知識、技能以各種方式結(jié)合，學生可以把自己的

3、知識、技能以各種方式結(jié)合，去發(fā)現(xiàn)新的思想方法；（4）答案不唯一的問題是開放性的問題；（5）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放題；（6）問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余，稱之為開放題。正因如此，開放性試題有利于學生的創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，更有利于學生素質(zhì)的提高，之所以越來越受到命題者的青睞。2、數(shù)學開放題的基本類型：大概包括以下幾種：（1）條件開放型這類問題一般是由給定的結(jié)論，反思，探索應(yīng)具備的條件，而滿足結(jié)論的條件并不唯一A DC EB1 2例1、如圖，AB=DB，1=2，請你添加一個適當?shù)臈l件，使ABCDBE，則需添加的條件是。（2）結(jié)論開放型這類題目就是在給定的條

4、件下，探索響應(yīng)的對象是否存在。它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情況。其基本解題方法是：假設(shè)存在，演繹推理，得出結(jié)論，從而對是否存在做出準確的判斷。DBCA例2、如圖，O的直徑AB為6，P為AB上一點，過點P作O的弦CD，連結(jié)AC、BC，設(shè)BCD=mACD，是否存在正實數(shù)m，使弦CD最短？如果存在，請求出m的值；如果不存在請說明理由。簡析：假設(shè)存在正實數(shù)m，使弦CD最短，則有CDAB于P，從而cosPOD=OP:OD， 因為，AB=6，所以cosPOD=30°。于是ACD=15º，BCD=75º，故m=5。（3）策略開放性類型解題策略（或方法）有多種，可根據(jù)問題情景尋求

5、解法的一類問題。例3、計算：，學生可能出現(xiàn)以下幾種方法。方法1：直接通分，相加后再約分。方法2：原式=。方法3：原式=.方法1是常規(guī)方法；方法2體現(xiàn)的是一種化歸思想，但也不簡單；方法3轉(zhuǎn)化為一些互為相反數(shù)的和來計算，顯然新穎、簡便。（4）、綜合開放性類型（組合開放型）也叫條件、結(jié)論同時開放試題條件結(jié)論都不全或未知，需根據(jù)問題情景補充條件和結(jié)論。（這類型的試題的開放度大，相應(yīng)難度高，突出考查的是尋求過程的多樣性，解題的核心是怎樣通過題設(shè)條件去聯(lián)想、類比、歸納和猜想結(jié)論，追求的是解決實際問題的數(shù)學思想和方法的多樣性）。此外，設(shè)計開放型、舉例開放型、實踐開放型、信息開放型（限于篇幅不舉例子）。還有綜

6、合開放型情境開放型等。這些開放題的條件、問題變化不定，有的條件隱蔽多余，有的結(jié)論多樣，有的解法豐富等。二、開放題具有不同于封閉題的顯著特點（1）數(shù)學開放題內(nèi)容具有新穎性，條件復雜、結(jié)論不定、解法靈活、無現(xiàn)成模式可套用。題材廣泛，貼近學生實際生活，不像封閉性題型那樣簡單，靠記憶、套模式來解題。（2）數(shù)學開放題形式具有多樣性、生動性，有的追溯多種條件，有的追溯多種條件，有的探求多種結(jié)論，有的尋找多種解法，有的由變求變，體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學氣息，不像封閉性題型形式單一的呈現(xiàn)和呆板的敘述。（3）數(shù)學開放題解決具有發(fā)散性，由于開放題的答案不唯一，解題時需要運用多種思維方法，通過多角度的觀察、想像、分析、綜合、類

7、比、歸納、概括等思維方法，同時探求多個解決方向。（4）數(shù)學開放題教育功能具有創(chuàng)新性，正是因為它的這種先進而高效的教育功能，適應(yīng)了當前各國人才競爭的要求。三、開放探索性試題備考策略：（一）數(shù)與式的開放題此類題常以找規(guī)律的閱讀題形式出現(xiàn)，解題要求能善于觀察分析，歸納所提供的材料，猜想其結(jié)論。例題：觀察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示出來： 。策略小結(jié)：此類“猜想性”開放題要求能夠從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗、分析、歸納、比較、概括、猜想、探索出一般規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納和猜想。（二

8、）方程開放題此類問題主要以方程知識為背景，探索方程有解的條件或某種條件解的情況，求字母參數(shù)的值。例題：是否存在k，使關(guān)于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的兩個實數(shù)根x1、x2，滿足|x1-x2|=10如果存在，試求出所有滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。策略小結(jié)：此類“存在性”開放題，其解題的一般思路是先假定滿足條件的結(jié)果存在，再依據(jù)有關(guān)知識推理，要么得到下面結(jié)果，肯定存在性；要么導出矛盾，否定存在性。（三）函數(shù)開放題xyO-1此類題是以函數(shù)知識為背景，設(shè)置探索函數(shù)解析式中字母系數(shù)的值及關(guān)系，滿足某條件的點的存在性等。例題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像如圖所示，

9、問由此圖像中所顯示的拋物線的特征，可以得到二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c的哪些關(guān)系和結(jié)論。分析：a>0；即2a+3b=0；c= -1；策略小結(jié)：此類“圖像信息”開放題，只有認真觀察圖像上所給出的各個數(shù)據(jù)及位置特征，靈活運用函數(shù)性質(zhì)，才能找出所有的關(guān)系與結(jié)論，數(shù)形結(jié)合是解此類題的重要數(shù)學思想方法。（四）幾何開放題此類問題常以幾何圖形為背景，設(shè)置探索幾何量間的關(guān)系或點、線位置關(guān)系DOAF B COA DE B CF例題：如圖1，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，A是弧BD的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E。（1）求證：AB·DA=CD·BE（2）若點E在CB延長線上運動，

10、點A在弧BD上運動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立？（要求畫出示意圖2注明條件，不要求證明）分析：此題第（2）小題是一道條件探索性問題。其解法是“執(zhí)果索因”，要得到AB·DA=CD·BE，即要得ABECDA，已有條件ABE=CDA，還需增加條件：BAE=ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FABD，或BCF=ACD等。策略小結(jié)：此類探索性試題，解答一般方法是“執(zhí)果索因”，能畫出圖形要盡量畫出圖形，再結(jié)合圖形逆向推導探索出需要增加的條件，為探索結(jié)論，可以作輔助線，對于結(jié)論未定的問題，也可反面思考，尋求否定結(jié)論的反例，達到目的。（五）綜合性

11、開放題此類問題是以幾何、代數(shù)綜合知識為背景，考查分析，推理能力，綜合運用知識解題能力。例題：如圖，在ABC中，AB=BC=2，高BE=3，在BC邊的延長線上取一點D，使CD=3。（1）現(xiàn)有一動點P，由A沿AB移動，設(shè)AP=t，SPCD=S，求S與t之間的關(guān)系式及自變量的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當t=時，過點C作CHPD垂足為H；求證：關(guān)于x的二次函數(shù)y= -x+2-（10k）x+2k的圖像與x軸的兩個交點關(guān)于原點對稱；（3）在（1）的條件下，是否存在正實數(shù)t，使PD邊上的高CH=CD，如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由。分析：（1）（2）略。（4）假設(shè)存在實數(shù)根t，使得C

12、H=CD，則CDH=30º可推得BPD=90º，則BP=BD=2.5>AB，這與P在AB邊上矛盾，故這樣的P點不存在。策略小結(jié)：此類綜合性開放題，需要學生綜合題設(shè)條件，通過觀察，比較、聯(lián)想、猜測、推理、判斷等探索活動逐步得到結(jié)論，有時需分析運動變化過程，尋找變化中的特殊位置，即“動”中求“靜”、“一般”中見“特殊”，再探求特殊位置下應(yīng)滿足的條件，利用分類討論思想，各個擊破。常見的開放題舉例：例1：在多項式4x2+1中添加一個條件，使其成為一個完全平方式，則添加的單項式是（只寫出一個即可）。分析：要使多項式4x2+1成為一個完全平方式，可添加一次項，也可添加二次項，還可

13、添加常數(shù)項。解：（1）添加4x可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x可得完全平方式（2x-1）2（3）添加-1可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式12例2：已知反比例函數(shù)，其圖象在第一、第三象限內(nèi)，則k的值可為（寫出滿足條件的一個k的值即可）分析：對于反比例函數(shù)（是常數(shù)，0）。當它的圖象在第一、第三象限時有>0，所以本題中應(yīng)該是-2>0，即>2。解：-2>0 >2 即只要的值大于2就可以滿足題目要求。例3：已知：ABC內(nèi)接于O，過點A作直線EF，如圖，AB為直徑，要使得EF是O的切線，還需添加的條件是：（只須寫出三種情況） （1）（2

14、）（3）分析：根據(jù)題目所給條件，要使得EF是O的切線，關(guān)鍵是找到ABEF的條件即可解決問題。解：（1）CAE=B （2）ABEF （3）BAC+CAE=90º （4）C=FAB （5）EAB=BAF例4：已知一元二次方程有一個根為1，那么這個方程可以是（只需寫出一個方程）分析：如果一元二次方程有解，則有兩個解，題目給出方程有一個根為1，我們可以將此一元二次方程寫成（x-1）（x+a）=0的形式，則問題可以解決。總之，開放性問題變化無窮、生動活潑、靈活多樣、一改學生死搬硬套的解題模式，消除學生模仿死記解題的習慣，從不同角度對問題的深思熟慮，尋求多樣性的解題方法，以上僅僅是筆者幾年來教學

15、的心結(jié)，有不完善的地方還需要今后的教學中不斷探索、實踐，但我們的目標是堅定的，為培養(yǎng)開放型、創(chuàng)造型人才而努力工作。 動態(tài)幾何問題動態(tài)幾何類問題是近幾年中考命題的熱點，題目靈活、多變，能夠全面考查學生的綜合分析和解決問題的能力。有關(guān)動態(tài)幾何的概念，在很多資料上有說明，但是沒有一個統(tǒng)一的定義，在這里就不在贅述了。本人只是用2010年的部分中考數(shù)學試題加以說明。一、知識網(wǎng)絡(luò)動態(tài)幾何涉及的幾種情況 靜態(tài)問題的難度最多也就是中等偏上，真正讓人抓狂的永遠是動態(tài)問題。從歷年中考來看，動態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，一般是利用多

16、種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能力進行考察。所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學當中的重中之重，只有完全掌握，才有機會拼高分。二、真題精講【例1】（2010，密云，）如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設(shè)運動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為等腰三角形【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過

17、分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當題中設(shè)定MN/AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當、運動到秒時，如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形， （根據(jù)梯形內(nèi)輔助線的常用做法，我們將MN放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題） （這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵） 解得【思路分析2】第二問失分

18、也是最嚴重的，很多同學看到等腰三角形，理所當然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論： 當時，如圖作交于，則有即（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)），解得 當時，如圖，過作于H則， 當時， 則 綜上所述，當、或時，為等腰三角形【例2】（2010，崇文）在ABC中，ACB=45º點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADE

19、F（1）如果AB=AC如圖，且點D在線段BC上運動試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如果ABAC，如圖，且點D在線段BC上運動（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設(shè)AC，CD=，求線段CP的長（用含的式子表示） 【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運動產(chǎn)生的變化圖形當中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進行傳遞，就可以得解。【解析】：（1）結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；

20、證明如下：AB=AC ，ACB=45º，ABC=45º由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90º， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90º即 CFBD【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。（2）CFBD(1)中結(jié)論成立 理由是：過點A作AGAC交BC于點G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45º BCF=ACB+ACF= 90º 即C

21、FBD【思路分析3】這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.（3）過點A作AQBC交CB的延長線于點Q， 點D在線段BC上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易證AQDDCP， ， ， 點D在線段BC延長線上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 過A作交CB延長線于點G，則 CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】（2010，懷柔）已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形（1）

22、求證：梯形是等腰梯形；（2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；ADCBPMQ60°（3）在（2）中，當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定MPQ=60°，這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩條線段的關(guān)系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢?

23、當然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】（1）證明：是等邊三角形是中點 梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， (這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣摩) (設(shè)元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點，于是問題輕松求解。（3）解： 為直角三角形當取最小值時，是的中點，而以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜

24、態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.【例4】已知正方形中，為對角線上一點，過點作交于，連接，為中點，連接（1）直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，取中點，連接，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中繞點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動關(guān)

25、系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。（1） （2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即證明：連接，過點作于，與的延長線交于點在與中， 在與中， 在矩形中， 在與中， 【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話

26、幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點。可以延長一倍EG到H，從而構(gòu)造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。（3）（1）中的結(jié)論仍然成立 【例5】（2010，朝陽）已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線B

27、C上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將ABE沿直線AE翻折，點B落在點B 處（1）當=1 時，CF=_cm，（2）當=2 時，求sinDAB 的值；CADB（3）當= x 時（點C與點E不重合），請寫出ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不

28、變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏?！窘馕觥浚?）CF= 6 cm； （延長之后一眼看出，EAZY） （2） 如圖1，當點E在BC上時，延長AB交DC于點M，圖1 ABCF， ABEFCE， =2， CF=3 ABCF，BAE=F又BAE=B AE， B AE=F MA=MF設(shè)MA=MF=k，則MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= DM=（設(shè)元求解是這類題型中比

29、較重要的方法）圖2 sinDAB=； 如圖2，當點E在BC延長線上時，延長AD交B E于點N，同可得NA=NE設(shè)NA=NE=m，則B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）當點E在BC上時，y=； （所求A B E的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長）當點E在BC延長線上時，y= 【總結(jié)】 通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是

30、在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。第二、畫出圖形，進行分析，尤其在于找準運動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關(guān)系。如果沒有靜止狀態(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學丟分就丟在沒有討論

31、，只是想當然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。探索性數(shù)學問題 探索是人類認識客觀世界過程中最生動、最活躍的思維活動，探索性問題存在于一切學科領(lǐng)域之中，在數(shù)學中則更為普遍 習慣上，我們可以按照命題者對解答者的要求將數(shù)學問題分為兩大類：一類是已知和結(jié)論都有確定要求的題型；另一類是已知與結(jié)論兩者中至少有一個沒有確定要求的題型；我們把后一類問題稱為探索性問題 因此，在初中數(shù)學中的“探索性”問題特征是：命題中缺少一定的題設(shè)或沒有給出明確的結(jié)論，或解題思路及過程沒有確定的形式和方法，解題時需要經(jīng)過大膽地猜想、推斷、補充

32、，并加以計算或證明的這一類命題 命題趨勢 探索性數(shù)學問題在近幾年的中考中頻頻出現(xiàn)；常出現(xiàn)的四大類型：規(guī)律探索型、條件探索型、結(jié)論探索型、存在探索型等；江西中考試卷中多以一至兩個小題和一個中等以上問題出現(xiàn)，分值約有614分；要求考生對問題進行觀察、分析、比較、概括；達到發(fā)現(xiàn)規(guī)律，或得出結(jié)論，或?qū)で笫菇Y(jié)論成立的條件，或探索數(shù)學對象存在可能性與結(jié)果的目的 解題策略 探索性問題的解答必須利用題設(shè)進行分析、比較、歸納、推理，或由條件去探索出不明確的結(jié)論；或由結(jié)論去探索未給予的條件；或去探索存在的各種可能性以及發(fā)現(xiàn)所形成的數(shù)學規(guī)律以下課案就近幾年的中考試題，列舉幾例加以說明：目的是對各種探索性的問題進行歸

33、納、整合，幫助老師與同學們提高對探索性數(shù)學問題的分析、思考及解答能力【題組講解】一、基礎(chǔ)練習【實現(xiàn)目標】：認識各類探索試題的基本特征與形式，初步掌握解決各類不同類型的探索問題的方法1、規(guī)律探索型 規(guī)律探索型問題是根據(jù)已知條件或所提供的若干個特例，通過觀察、類比、歸納，揭示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊含的數(shù)學本質(zhì)、規(guī)律與特征的一類探索性問題解題策略是：常常利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律題1（2010四川攀枝花）、如圖，將邊長為2的等邊三角形沿x軸正方向連續(xù)翻折2010次，第1題圖P1P3P2Oyx依次得到點P,P,PP則點P的坐標是 簡析：觀察預

34、判每一個點P,P,P的坐標是（1，），(3, )， (5, )，可以遞推得；因而P的坐標是(4019, )變式：題2（2010·廣東肇慶，有改動）、觀察下列單項式： a， 2a2， 4a3， 8a4，16a5，按照此規(guī)律第n個單項式是 _ (n是正整數(shù)) 簡析：這一列單項式，觀察每一序列號下單項式的符號、系數(shù)、字母的次數(shù)；符號滿足奇數(shù)序號項為負、偶數(shù)序號項為正；系數(shù)的絕對值是成2的自然數(shù)冪；字母a的次數(shù)是成正整數(shù)列遞增；因而設(shè)定n為正整數(shù)，則答案為02842462246844m6第2題圖變式：題3（2010·江蘇鹽城）、填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)

35、律，m的值是（ ）A38 B52C66 D74 簡析：觀察這一系列正方形四方格028424622468441 2 3 4m6 1082(n-1)2nm2(n+1)中數(shù)字后，得出：右上的數(shù)字與左下的數(shù)字的積減去左上數(shù)字所得的差，即m=10×8-6=74；更為一般的方法：建立序列號1、2、3、n；則有以下對應(yīng)關(guān)系：左上方格的數(shù)字為2(n-1)，右上的方格數(shù)字為2(n+1)；左下方格的數(shù)字為2n，右下方格的數(shù)字是多少呢？，令n=4，代入即得；故選擇D第4題圖變式：題4（2010·山東日照）、古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖；例如： 他們研究過圖1中的1，3，6

36、，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，稱其為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A15 B25 C55 D1225簡析：圖1的三角數(shù)，從第二個開始，有這樣的規(guī)律：1=1，3=1+2,6=1+2+3，第n個三角數(shù)是；圖2 中的正方形數(shù)從第二個開始，有這樣的規(guī)律：第m個正方形數(shù)時，；比較A、B、C、D四個數(shù)，僅有25、1225是正方形數(shù)（m分別等于5、35），檢驗25不是三角形數(shù)（n無整數(shù)解），而1225又是三角形數(shù)（此時n=35）；故選擇D【變式意圖】：變式試題T2、T3和T4不僅是要考慮數(shù)與字母的變化特征，而且還要觀察數(shù)的排列規(guī)

37、律，同時又要考慮圖形的特征表象；需要從縱橫兩個方面、數(shù)形結(jié)合相互關(guān)聯(lián)地比較、觀察、猜想、推理，獲取與形成對每一個問題自身的數(shù)學本質(zhì)、特征與規(guī)律的認識，再進行嚴格地推理、驗證【方法提煉】：特別注意：（1）一般寫成豎式或單列形式進行對比、分析；（2）注重縱橫聯(lián)系與數(shù)形結(jié)合；（3）關(guān)注自然數(shù)序列號與數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系2、條件探索型條件探索型問題是指在給定明確的結(jié)論而未給出確定的條件，需要采取證明、推斷去探索發(fā)現(xiàn)，并補充與完善使結(jié)論成立的條件的一類問題解題策略是：從所給出的結(jié)論出發(fā)，采用逆推的辦法，猜想出合乎要求的一些條件，并進行邏輯推理證明，從而尋找出滿足結(jié)論的條件ACBDFE第5題圖題5（2010&#

38、183;浙江金華）、如圖，在ABC中，D是BC邊上的點（不與B，C重合），F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點，CFBE請你添加一個條件，使BDECDF (不再添加其它線段，不再標注或使用其他字母)，并給出證明（1）你添加的條件是： ；（2）證明： 簡析：因為CFBE，所以FCDEBD又因為FDCEDB，要證明BDECDF，只需要添加一組對應(yīng)邊相等即可答案：（1）(或點D是線段BC的中點)，中任選一個即可（2）以為例，進行證明：CFBE， FCDEBD又，F(xiàn)DCEDB，BDECDF變式：題6（2009·山東東營）、如圖，在四邊形ABCD中，已知AB與CD不平行，ABDDCA，請你添加一個

39、條件： ，使得加上這個條件后能夠推出：ADBC且ABCDBCDAO第6題圖簡析：命題的結(jié)論很明顯：四邊形ABCD欲成為等腰梯形；現(xiàn)需探索補充使它成立的一個條件（有可能不唯一）；可以先觀察與已知條件ABDACD相關(guān)聯(lián)的、一對可能全等的三角形ABD與DCA，滿足這種可能的添加條件有若干條；也可以從其他方面入手；可供添加的條件可以是以下的任選其一：解答：DACADB，BADCDA，DBCACB，ABCDCB，OBOC，OAOD；（任選其一）若添加條件為：BADCDA，可證明如下：在ABD與DCA中，已知ABDDCA，且ADDA，BADCDA，所以ABDDCA，可得到：ABDC，BDCA，ADBDAC

40、；進一步得到OAOD，從而OCOB；再得到ADBDACACBDBC；最終得到ADBC3、結(jié)論探索型 結(jié)論探索型問題是指僅給出某種情境而沒有明確指出結(jié)論，需要解題者去探索符合條件的數(shù)學結(jié)論的一類試題；這類探索問題的設(shè)問常以適合某種條件的結(jié)論“成立”、“不成立”、“是否成立”等語句加以表述，或直接問“有何結(jié)論”等它與傳統(tǒng)題的區(qū)別在于：探索問題的結(jié)論的過程往往也是解題過程第7題圖解題策略是：從剖析題意入手，充分捕捉題設(shè)的信息，執(zhí)因索果，順向推理或聯(lián)想類比、猜測等，獲得所求結(jié)論（特別注意解答的多樣性與反思和證明）題7 (2009·甘肅定西)、拋物線的部分圖象如圖所示，請寫出與其關(guān)系式、圖象相

41、關(guān)的兩個正確結(jié)論： ，（直接采用已知數(shù)據(jù)的結(jié)論除外）簡析：已知的是二次函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可讀出對稱軸方程、拋物線與x軸、y軸的交點坐標；通過計算推理可得到：因而從關(guān)系式、圖像兩方面，可填的正確結(jié)論：；圖像與x軸的另一個交點坐標（-3,0）；解析式為方程有兩個根；拋物線的頂點坐標（-1,4）；該二次函數(shù)的最大值為4；當時，y隨著x的增大而減少；若二次函數(shù)則有等等，任選兩條均可4、探索存在型問題 探索存在型問題：是指在一定的前提條件下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學關(guān)系是否存在的一類問題；它往往以“是否存在”“是否有”“是否變化”等疑問句出現(xiàn)，以示結(jié)論成立與否有待判斷解題策略是：通常對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)

42、，再按題設(shè)條件進行推理計算，若導出矛盾，則否定先前的假設(shè)，若推出合理的結(jié)論，則說明先前的假設(shè)成立 題8：(2009·江西樣卷)、在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點A（0，2），點C（-1，0），如圖；拋物線經(jīng)過點B第8題圖（1）求點B的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由簡析：（1）借助全等三角形，容易求得點B的坐標；（2）代入點A、點C、點B的坐標，拋物線的解析式還是可以求得的；（3）滿足條件的點P仍需要在

43、拋物線上， 假設(shè)這樣的點P存在，思考過程中，考慮點P是否是點B 關(guān)于直線AC的軸對稱點？考慮點P是否是關(guān)于線段AC 中點的中心對稱點？（或者將等腰直角三角板ABC物化， 把它沿直線AC的翻折或繞線段AC的中點旋轉(zhuǎn)180°）如此尋求到：求點P的方法與思路解：(1) 過點B作，垂足為D， 又， =1，=2；點B的坐標為（-3，1）；（2）拋物線經(jīng)過點B(-3,1)，則得到，解得，所以拋物線解析式為；（3）假設(shè)存在P、Q兩點，使得ACP是直角三角形：若以AC為直角邊，點C為直角頂點；則延長至點，使得，得到等腰直角三角形，過點作,1=，；=2, =1, 可求得點P1（1，-1）；經(jīng)檢驗點P1

44、（1，-1）在拋物線上，使得是等腰直角三角形；若以AC為直角邊，點A為直角頂點；則過點A作,且使得,得到等腰直角三角形,過點P2作，同理可證；=2, = 1, 可求得點（2，1）；經(jīng)檢驗點（2，1）也在拋物線上，使得也是等腰直角三角形 （解法二：從中點坐標入手，點C是BP1的中點，由此可得點P1的坐標；四邊形ABC P2是平行四邊形，AC的中點Q也就是BP2的中點，由此可得點P2的坐標）二、能力提高【實現(xiàn)目標】掌握各類探索性問題入手解答的基本套路，能將較為復雜的問題各個擊破，類比轉(zhuǎn)化為較為熟悉或簡單的問題；在解題的過程中注重數(shù)學思想方法的運用；如：、研究幾何的運動變化情境時，常常借助代數(shù)變量的

45、思想來表達變化中的幾何量；、經(jīng)常利用數(shù)形結(jié)合觀點、方程函數(shù)辯證統(tǒng)一的思想構(gòu)通代數(shù)與幾何兩大板塊，最終達到數(shù)學本質(zhì)意義的化歸與統(tǒng)一；、用分類討論的數(shù)學思想考慮問題的多變性與復雜性，減少失誤；、通過觀察數(shù)學對象的獨立性、特殊性，猜想、歸納、抽象、概括出具有更加一般性的數(shù)學規(guī)律，并注意條件的不同帶來的數(shù)學變化和轉(zhuǎn)化經(jīng)過這一階段的學習、演練之后，老師與同學們的思路會更為靈活與開闊，解題也會變得更加深刻與嚴密，數(shù)學思維與能力將獲得有效的提升題9（2009·河南）、如圖，在RtABC中，ACB=90°，B =60°，BC=2點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開

46、始，繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D過點C作CEAB交直線l于點E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為 (1)當=_度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為_；當=_度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為_；第9題圖(2)當=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形？并說明理由簡析：第(1)問是典型的條件探索；在保證了CEAB的前提下，則四邊形EDBC一定可能是梯形（EDBC除外）；第 問：逆推分析：當EDB=B =60°此時=30°，四邊形EDBC是等腰梯形，AD的長為1； 因為；同理第問：逆推分析：當EDB=90°時，此時=60°，四邊形ED

47、BC是直角梯形，AD的長為1.5;因為 （2）當=90°時，四邊形EDBC是菱形；=ACB=90°，BC/ED；又CE/AB，四邊形EDBC是平行四邊形； 在RtABC中，ACB=90°，B=60°，BC=2；A=30°，AB=4，AC=； AO=在RtAOD中，A=30°，AD=2BD=2，BD=BC又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形（提供解法二：第問：以斜邊AB上的中線CM（設(shè)點M是斜邊AB的中點）為輔助線，逆推分析：當EDCM時，EDCM且ED=BC； 此時=30°，四邊形EDBC是等腰梯形，AD的長為

48、1；因為；同理第問：以斜邊AB上的高線CH（設(shè)點H是垂足）為輔助線，逆推分析：當EDCH時，此時=60°， 四邊形EDBC是直角梯形，AD的長為1.5；因為）（點評：本題的第2問又是結(jié)論探索型問題,順應(yīng)條件的變化與不同，做出正確的解答即可）題10（2010·福建南平，有改動）、如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDEF，點P沿直線AB從右向左移動，當出現(xiàn)：點P與正六邊形六個頂點中的至少兩個頂點構(gòu)造成等腰三角形時，就會發(fā)出警報，則直線AB上會發(fā)出警報的點P有( )第10題圖A9個 B10個 C11個 D12個 簡析：本題是一道探索結(jié)論的典型試題，并且符合條件的點P

49、有多種可能，需要確定它的個數(shù)；為了探索本題的方便，不妨設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為則依據(jù)三角函數(shù)知識可得對角線，對角線； 因而在點P沿直線AB從右向左移動時：當時，此時的點與正六邊形ABCDEF六個頂點中的點、構(gòu)造成等腰、；當時，構(gòu)造成等腰、；當時，構(gòu)造成等邊、和等腰；當時，構(gòu)造成等腰、；當點與點B重合時，構(gòu)造成等腰、和等邊；當位于線段的中點時，構(gòu)造成等腰、；同理根據(jù)對稱性，可推測在線段的延長線上，還存在這樣的五個點故選擇答案C 【引入幾何畫板動畫演示，驗證結(jié)論！】【方法提煉】：1、注意分類討論時的不重不漏；2、利用了對稱性的數(shù)學思想方法，使求解更簡便，思考的過程中還可以通過平移方法來檢驗；

50、3、將原試題進行了改編，適當增加了它的思考性與難度！ 題11（2010·四川樂山）、在ABC中，D為BC的中點，O為AD的中點，直線l過點O.過A、B、C三點分別做直線l的垂線，垂足分別是G、E、F，設(shè)AG=h1，BE=h2，CF=h3. （1）如圖（11.1），當直線lAD時（此時點G與點O重合）.求證：h2+h3= 2h1； （2）將直線l繞點O旋轉(zhuǎn)，使得l與AD不垂直. 如圖（11.2），當點B、C在直線l的同側(cè)時，猜想（1）中的結(jié)論是否成立？請你說明理由；h2h1EFGOCABDh3lh3h1h2EFlCABDO(G)Oh2h1h3FEGlCABD圖（11.3）圖（11.2）

51、圖（11.1） 如圖（11.3），當點B、C在直線l的異側(cè)時，猜想h1、h2、h3滿足什么關(guān)系.（只需寫出關(guān)系，不要求說明理由）簡析：（1）當直線lAD時，本圖滿足直角梯形的中位線性質(zhì)，易得結(jié)論；（2）將直線l繞點O旋轉(zhuǎn)，使得l與AD不垂直.此時的圖形（11.2）依然通過輔助線、轉(zhuǎn)化至（11.1），繼續(xù)運用直角梯形的中位線性質(zhì)，容易得結(jié)論：；（3）抓住中點O不放，繼續(xù)過點D作DHl，垂足為H，依然有DH=AG= h1；又知點D是線段BC的中點，連結(jié)FD并延長交線段BE于F1，構(gòu)建三角形中位線圖形，可得：解答：（1）證明：BEl， CFl，四邊形BCFE是梯形.又GDl，D是BC的中點，DG是梯

52、形的中位線，BE+CF=2DG.又O為AD的中點，AG=DG，BE+CF=2AG.即.（2）成立.證明：過點D作DHl，垂足為H，AGO=DHO=Rt，AOG=DOH，OA=OD，AGODHO，DH=AG.又D為BC的中點，由梯形的中位線性質(zhì)，得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，成立.（3）猜想h1、h2、h3滿足h1、h2、h3滿足關(guān)系：.【引入幾何畫板動畫演示，驗證結(jié)論！】【方法提煉】：第(3)問是在感悟了前兩問的猜想與推理的前提下,作出的合情推理；考查著學生的數(shù)學直覺能力與發(fā)現(xiàn)、猜想能力；此處猜想時，需要有直覺的感知：估算正確圖形下的線段的長短，再作出一種合乎邏輯的大膽猜測

53、（為節(jié)約時間，不要求證明而已）三、挑戰(zhàn)中考【實現(xiàn)目標】接觸到中考型探索性數(shù)學問題，需要做到認真審題、分類思考，具體問題具體分析，針對不同的題型：或特殊探路，或逆推分析，或用數(shù)學思想方法研究、分析、轉(zhuǎn)化老師和同學們掌握了這些規(guī)律，并在練習中不斷領(lǐng)悟，提高綜合解決問題的能力，形成自己的數(shù)學思維和能力；同時還需要培養(yǎng)并掌握一定的應(yīng)試技巧與心理素質(zhì)，相信同學們一定能在中考中取得理想的數(shù)學成績. 題12：（2010江西）、如圖，一根直立于水平地面上的木桿AB在燈光下形成影子，當木桿繞A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)直至到達地面時，影子的長度發(fā)生變化設(shè)AB垂直于地面時的影長為AC（假定ACAB），影長的最大值為m，最小值為n，那么下列結(jié)論：mAC；m