第三章部分習(xí)題詳解

1、第三章習(xí)題3-11 設(shè)s=gt，求解： 2 設(shè)f(x)= ，求(x0) (x00)解： 3（1）求曲線上點（2，4）處的切線方程和法線方程；（2）求過點（3，8）且與曲線相切的直線方程；（3）求上點（2，）處的切線方程和法線方程；（4）求過點（2，0）且與相切的直線方程。解：這里不給具體的證明，自己務(wù)必獨立完成并掌握。4 下列各題中均假定f(x0)存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出A表示什么：(1) =A; (2) f(x0)=0, A；(3) =A解：(1) (2) (3) 5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y=；(2) y=；(3) y= 解：(1) (2) (3) 6 討論函數(shù)y=在x=0

2、點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性 解： 函數(shù)在點處連續(xù)但不可導(dǎo)。7 試由倒數(shù)定義，證明：若f(x)為可導(dǎo)的奇（偶）函數(shù)，則f(x)是偶（奇）函數(shù)。 證：為偶函數(shù) ，即 故8 求下列函數(shù)在x0處的左、右導(dǎo)數(shù)，從而證明函數(shù)在x0處不可導(dǎo)：(1) y； (2) y=解：(1) 函數(shù)在處不可導(dǎo)。 (2) 函數(shù)在處不可導(dǎo)。9 設(shè)函數(shù)f(x)= 為了使函數(shù)f(x)在x=1點處連續(xù)且可導(dǎo)，a，b應(yīng)取什么值? 解：為使在處連續(xù)，必須， ， (1) 為了使在處可導(dǎo)，必須 ，代入（1）式得 當(dāng)，時在處連續(xù)且可導(dǎo)。11 垂直向上拋一物體，其上升高度與時間t的關(guān)系式為h(t)10tgt(m)，求：(1) 物體從t=1(s)到t=

3、12(s)的平均速度；(2) 速度函數(shù)v(t)；(3) 物體何時到達最高點解：(1) (2) (3)當(dāng)時，物體到達最高點。 由即得 即上拋時物體到達最高點。習(xí)題3-21 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) s=3lnt+sin； (2) y=lnx;(3) y=(1-x)·sinx·(1-sinx);(4) y=； (5) y=tanx+e；(6) y=-3secx; (7) y=lnx-2lgx+3log2x;(8) y=解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2 求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)：(1) y=xsinx+cosx，求；(2) f(x)= +,

4、求f(0)和f(2);(3) f(x)= 求f(1) 解：(1) (2) (3) 4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y=; (2) y=arctanx2；(3) y= (4) y=(1+x2)·ln(x+);(5) y=x2·sin; (6) y=cos2ax3(a為常數(shù))；(7) y=arccos; (8) y=(arcsin)2;(9) y=; (10) y=sinnx·cosnx;(11) y=； (12) y=arcsin；(13) y=lncosarctan(shx); (14) y=arcsin（a0為常數(shù)）解：(1); (2); (3) ; (4) ;

5、(5) (6) ; (7) (8); (9); (10) ; (11) ; (12) ; (13) (14) ;5 y=arccos，求 解： 6 試求曲線y=·在點(0，1)及點(-1，0)處的切線方程和法線方程 解： 故曲線在(0,1)點的切線斜率 曲線在(0,1)點的切線方程為 即 法線方程為 即 又 此時，曲線具有垂直于x軸的切線 x=-1,其法線為 y=0. 7 設(shè)f(x)可導(dǎo)，求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)：(1) y=f(x2)；(2) y=f(sin2x)+f(cos2x) 解：(1) (2) 8 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) x3+y3-3axy=0; (2) x=yln(xy)

6、;(3) xey+yex=10； (4) ln(x2+y2)=2arctan;(5) xy=解：(1)方程兩邊對x求導(dǎo)，得： 解得 (2) 方程兩邊對x求導(dǎo)，得： 即 即 (3) 方程兩邊對x求導(dǎo)，得： 解得 (4) 方程兩邊對x求導(dǎo)，得： 即即 即 (5) 方程兩邊對x求導(dǎo)，得： 解得 9 用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y=； (2) y=;(3) y=解：(1)兩邊取得對數(shù)，得： 上式兩邊對x求導(dǎo)，得： 所以 (2) 兩邊取得對數(shù)，得： 上式兩邊對x求導(dǎo)，得： 即 所以 (3) 兩邊取得對數(shù)，得： 上式兩邊對x求導(dǎo)，得： 10 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) （a,b為常數(shù)

7、）；(2) 解：(1) (2) 11 已知求當(dāng)t=時的值 解： 習(xí)題 3-31 設(shè)f(x)=ln(1+x),求f(n)(x) 解：， ， 設(shè) 則 由數(shù)學(xué)歸納法知 .3 求下列函數(shù)在指定點的高階導(dǎo)數(shù)：(1) f(x)，求f(0)；(2) f(x)，求f(0)，f(3)(0)；(3) f(x)=(x+10)6,求f(5)(0),f(6)(0)解：(1) (2), , (3) 習(xí)題 3-41 在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立：(1) d( )costdt; (2) d( )sinxdx;(3) d( )dx; (4) d( )dx；(5) d( )dx; (6) d( )secxdx;(7) d(

8、 )lnxdx; (8) d( )dx解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2 根據(jù)下面所給的值，求函數(shù)y=x的y,dy及y-dy：(1) 當(dāng)x=1,x=01時； (2) 當(dāng)x=1,x=001時 解： (1)當(dāng)時， (2)當(dāng)時， 3 求下列函數(shù)的微分：(1) y=xex; (2) y=;(3) y=cos； (4) y=；(5) y=lntan； (6) y=8xx-6；(7) y=解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 4 求由下列方程確定的隱函數(shù)y=y(x)的微分dy：(1) y=1+xey； (2) ；(3) y=x+siny； (4) y2x=arccosy解：(1)方程兩邊微分，得： ，即 (2) 方