板塊分析函數(shù)與導數(shù)

1、高中數(shù)學復習之函數(shù)專題研究  函數(shù)是高中數(shù)學的主體知識，也是高考考查的重點內(nèi)容之一。函數(shù)思想是思考和解決數(shù)學問題的重要思想，它融匯了配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等許多重要的數(shù)學思想和方法。其特點是內(nèi)容多、聯(lián)系廣、方法靈活、綜合性強，主要考查邏輯思維能力及分析和解決問題的能力，因而函數(shù)內(nèi)容成為歷年高考命題的重中之重。一、考試內(nèi)容:映射,函數(shù)概念,函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,反函數(shù)及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關系;指數(shù)概念擴充,運算和指數(shù)函數(shù);對數(shù)概念,運算和對數(shù)函數(shù).函數(shù)的應用;導數(shù)的概念,幾何意義,幾種常見函數(shù)的導數(shù),兩個函數(shù)的和,差,積,商的導數(shù),復合函

2、數(shù)的導數(shù),基本函數(shù)導數(shù)的運算公式,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最值.二、大綱要求:會判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)；理解掌握指數(shù)冪及其運算,對數(shù)及其運算；掌握指、對數(shù)函數(shù)概念、圖像和性質(zhì)，能夠用函數(shù)的性質(zhì)、指對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決某些簡單實際問題。理解導數(shù)概念，可導函數(shù)單調(diào)性一其導數(shù)的關系；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)定義和幾何意義，熟記導數(shù)公式，掌握兩個函數(shù)和差積商的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)，和一些實際問題的最大值和最小值。三、原聲再現(xiàn)一、（2006文）2.函數(shù)的反函數(shù)是 （ A ）（A） （B）（C） （D）3.曲線在點（1，3）處的切線方程是 (

3、 D )（A） （B） （C） （D）21（本小題滿分14分）已知函數(shù)其中是的f(x)的導函數(shù)。（）對滿足的一切的值，都有求實數(shù)的取值范圍；（）設，當實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)f(x)的圖像與直線3只有一個公共點。本題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應用、解不等式等基礎知識，以及推理能力、運輸能力和綜合應用數(shù)學知識的能力。解：（）由題意令，對，恒有，即即 解得故時，對滿足的一切的值，都有（）當時，的圖象與直線只有一個公共點當時，列表：極大極小又的值域是，且在上單調(diào)遞增當時函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點。當時，恒有由題意得 即 解得綜上，的取值范圍是(2006理)3.已知下面結(jié)論正確的是 （ D

4、）（A）f(x)在x=1處連續(xù) （B）f(1)5 （C） （D）22（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)是。對任意兩個不相等的正數(shù)，證明：（）當時，；（）當時，。本題主要考查導數(shù)的基本性質(zhì)和應用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力，滿分14分。證明：（）由得而又 由、得：即（）證法一：由，得下面證明對任意兩個不相等的正數(shù),有恒成立即證成立 設，則令得，列表如下：極小值對任意兩個不相等的正數(shù)，恒有證法二：由，得是兩個不相等的正數(shù)設， 則，列表：極小值即即對任意兩個不相等的正數(shù)，恒有二、（2007文）(2)函數(shù)f(x)=1+log2x與g（x）=2-x+1在同一直角坐

5、標系下的圖象大致是（20）(本小題滿分12分)設函數(shù)f（x）=ax3+bx+c（a0）為奇函數(shù)，其圖象在點（1,f（1）處的切線與直線x6y7=0垂直，導函數(shù)f（x）的最小值為12.（）求a，b，c的值；（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在1,3上的最大值和最小值.解析：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導數(shù)的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力（）為奇函數(shù)，即的最小值為 又直線的斜率為 因此，（），列表如下：極大極小所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，在上的最大值是，最小值是（22）(本小題滿分14分)已知函數(shù)f（x）=x24，設曲線yf（x）在點（xn，f（xn）處的切

6、線與x軸的交點為（xn+1,u）（u,N +），其中為正實數(shù).（）用xx表示xn+1；（）若a1=4，記an=lg，證明數(shù)列a1成等比數(shù)列，并求數(shù)列xn的通項公式；（）若x14，bnxn2，Tn是數(shù)列bn的前n項和，證明Tn<3.解析：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力（）由題可得所以曲線在點處的切線方程是：即令，得即顯然，（2007理）(2)同文 (3)（A）0 (B)1 (C) (D)解析：選D本題考查型的極限原式或原式（12）已知一組拋物線，其中a為2,4,6,8中任取的一個數(shù)，b為1,3,5,7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取

7、兩條，它們在與直線x=1交點處的切線相互平行的概率是（A）（B）（C）（D）它們在與直線交點處的切線的斜率（13）若函數(shù)f(x)=e-(m-u)2 (c是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是m,且f(x)是偶函數(shù)，則m+u= .解析：，（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數(shù)（）用表示；() 證明：對一切正整數(shù)的充要條件是（）若，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式。本題綜合考察數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。解：（）由題可得所以過曲線上點的切線方程為，即令，得，即顯然 （）證明：（必要性）若對一切正整數(shù)，則，即，而

8、，即有（充分性）若，由用數(shù)學歸納法易得，從而，即又 于是，即對一切正整數(shù)成立（）由，知，同理，故從而，即所以，數(shù)列成等比數(shù)列，故，即，從而所以(22)(本小題滿分14分)設函數(shù).()當x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;()對任意的實數(shù)x,證明()是否存在,使得an恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.（22）本題考察函數(shù)、不等式、導數(shù)、二項式定理、組合數(shù)計算公式等內(nèi)容和數(shù)學思想方法。考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識。（）證法一：因證法二：因而故只需對和進行比較。令，有，由，得因為當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以在處有極小值，故當時，從而有，

9、亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。三、(2009文)2.函數(shù)y=2x+1(xR)的反函數(shù)是( )A.y=1+log2x(x0) B.y=log2(x-1)(x1)C.y=-1+log2x(x0) D.y=log2(x+1)(x-1)答案：C12.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對任意實數(shù)x都有xf(x+1)=(1+x),則的值是( )A.0 B. C.1 D.答案：A20. (本小題滿分12分)已知函數(shù)=x3+2bx2+cx-2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10. (1)求函數(shù)的解析式;(2)設函數(shù),若g(x)的極值存在,求實數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g(x)取得極值

10、時對應的自變量x的值.解：(1)由已知,切點為(2,0),故有f(2)=0,即4b+c+3=0,f(x)=3x2+4bx+c,由已知,f(2)=12+8b+c=5,得8b+c+7=0.聯(lián)立，解得c=1,b=-1,于是函數(shù)解析式為=x3-2x2+x-2.（2）,，令g(x)=0.當函數(shù)有極值時，0,方程有實根，由=4(1-m)0，得m1.當m=1時，g(x)=0有實根,在左右兩側(cè)均有g(shù)(x)0，故函數(shù)g(x)無極值.當m1時,g(x)=0有兩個實根,當x變化時,g(x)、g(x)的變化情況如下表:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)g(x)+0-0+g(x)極大值極小值故在m(-,1

11、)時，函數(shù)g(x)有極值：當時,g(x)有極大值；當時,g(x)有極小值.(2009理) .已知函數(shù)連續(xù)，則常數(shù)的值是B. . . .12.同文16設是已知平面上所有向量的集合，對于映射，記的象為。若映射滿足：對所有及任意實數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換。現(xiàn)有下列命題：設是平面上的線性變換，則對，則是平面上的線性變換；若是平面上的單位向量，對，則是平面上的線性變換；設是平面上的線性變換，若共線，則也共線。其中真命題是（16） （寫出所有真命題的序號）21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)。（I）求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；（II）若（III）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，設，若函數(shù)的極值存在，求

12、實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導數(shù)應用等基礎知識、考查分類整合思想、推理和運算能力。解：（）由題意知當當當.（4分）（）因為由函數(shù)定義域知>0,因為n是正整數(shù)，故0<a<1.所以（）令 當m=0時，有實根，在點左右兩側(cè)均有故無極值 當時，有兩個實根當x變化時，、的變化情況如下表所示：+0-0+極大值極小值的極大值為，的極小值為 當時，在定義域內(nèi)有一個實根， 同上可得的極大值為綜上所述，時，函數(shù)有極值；當時的極大值為，的極小值為當時，的極大值為(2010文) (2)函數(shù)y=log2x的圖象大致是(A) (B) (C) (D)解析：本題考查對數(shù)函數(shù)

13、的圖象和基本性質(zhì). 答案：C（5）函數(shù)的圖像關于直線對稱的充要條件是（A） （B） （C） （D）解析：函數(shù)f(x)x2mx1的對稱軸為x于是1 Þ m2。答案：A（22）（本小題滿分14分）設（且），g(x)是f(x)的反函數(shù).（）求；（）當時，恒有成立，求t的取值范圍；（）當0a時，試比較f(1)+f(2)+f(n)與的大小，并說明理由.（）（）分別見理22題（）（）(2010理)（2）下列四個圖像所表示的函數(shù)，在點處連續(xù)的是（A） （B） （C） （D）解析：由圖象及函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)知，D正確.答案：D（3）2log510log50.25（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4解

14、析：2log510log50.25log5100log50.25log5252。答案：C（4）同文5（22）（本小題滿分14分）設（且），g(x)是f(x)的反函數(shù).（）設關于的方程求在區(qū)間2，6上有實數(shù)解，求t的取值范圍；（）當ae（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，證明：；（）當0a時，試比較與4的大小，并說明理由.(2011文) 4函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱的圖象像大致是(A)16函數(shù)的定義域為A，若且時總有，則稱為單函數(shù)例如，函數(shù)=2x+1()是單函數(shù)下列命題：函數(shù)（xR）是單函數(shù)；指數(shù)函數(shù)（xR）是單函數(shù)；若為單函數(shù)，且，則；在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)其中的真命題是_答案：（寫出

15、所有真命題的編號）22（本小題共l4分）已知函數(shù)，（）設函數(shù)F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設，解關于x的方程；（）設，證明：答案同理（2011理）5函數(shù)f(x)在點xx0處有定義是f(x)在點xx0處連續(xù)的(B)A充分而不必要的條件B必要而不充分的條件C充要條件D既不充分也不必要的條件7已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x0時，則f(x)的反函數(shù)的圖象大致是(A)11已知定義在0，)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)3f(x2)，當x0,2)時，f(x)x22x.設f(x)在2n2,2n)上的最大值為an(nN*)，且an的前n項和為Sn，則 (D)A3 B C2

16、 D13計算_-20_.16同文22已知函數(shù)，.(1)設函數(shù)F(x)f(x)h(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)設aR，解關于x的方程；(3)試比較與的大小22解：(1)由 (x0)知，令F(x)0，得.當時，F(xiàn)(x)0；當時，F(xiàn)(x)>0.故當時，F(xiàn)(x)是減函數(shù)；當時，F(xiàn)(x)是增函數(shù)F(x)在處有極小值且. (2)原方程可化為log4(x1)log2h(4x)log2h(ax)，即，.當1a4時，原方程有一解；當4a5時，原方程有；當a5時，原方程有一解x3；當a1或a>5時，原方程無解 (3)由已知得.設數(shù)列an的前n項和為Sn，且 (nN*)，從而有a1S11，當

17、2k100時，.又，即對任意的2k100，有ak>.又因為，所以.故.三、試卷分析 （一）20062011四川卷函數(shù)導數(shù)題，分值，知識點，總分表。(22)06(19)(22)07(31)（22）09（26）（24）10（28）（21）11（30）2指數(shù)圖像對稱指對數(shù)圖像反函數(shù)連續(xù)對數(shù)圖連續(xù)圖像3切線連續(xù)連續(xù)對數(shù)運算4二次指圖對稱5二次連續(xù)與有定義7奇偶指函反函圖11性質(zhì)12切線斜率奇偶性質(zhì)13指函數(shù)奇偶對數(shù)運算16新定義新定義20單調(diào)奇偶二次導數(shù)切線,極值21單調(diào)導數(shù)函數(shù)導數(shù)應用定義域單調(diào)導數(shù)極值22導數(shù)應用函數(shù)性質(zhì)函數(shù)和導數(shù)對函反函導數(shù)導數(shù)單調(diào)極值w_w w. k#s5_u.c o*m

18、窗體頂端四、結(jié)論:近幾年高考考查的特點是：（1）全面考查函數(shù)的基礎知識，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等均有涉及；（2）函數(shù)的圖像與性質(zhì)的相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)換是編制高考數(shù)學試題的重要出發(fā)點和落腳點，考查的重點是函數(shù)值、最值(極值)、函數(shù)的單調(diào)性等；（3）把函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與導數(shù)等知識的交匯與綜合作為試卷的把關題或壓軸題，強化以函數(shù)為主干知識網(wǎng)絡的整體意識；（4）利用導數(shù)解決有關函數(shù)圖像及性質(zhì)。總之，函數(shù)試題在突出雙基的基礎上更突出綜合性、應用性和創(chuàng)新性。五、命題預測：函數(shù)與導數(shù)是每年高考和必考內(nèi)容，它涉及三大題型，難度有高，中，低三個檔次。涉及的知識包括定義域，值域，解析式

19、，反函數(shù)，奇偶性、周期，單調(diào)性，極值，最值等。出現(xiàn)頻率較高的題型是反函數(shù)、單調(diào)性、極值、最值和與范圍相關的問題。函數(shù)與導數(shù)的解答試題是高考命題的重要題型，它常與不等式、數(shù)列等知識綜合，近幾年來已形成了以函數(shù)為載體，導數(shù)為工具，考查學生的綜合能力為目標的命題特點， 鑒于今年是老教材最后一年，以穩(wěn)為主， 大膽預測今年仍然會以選擇，填空的形式考查定義，定義域，值域，解析式，反函數(shù)，圖像，連續(xù)等基礎知識和函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的方法；以解答題的形式單獨或與不等式、數(shù)列結(jié)合考查極值，最值，單調(diào)，和與范圍相關的問題，一般有2-3個小題有針對性地考查函數(shù)與導數(shù)的重要知識和方法，有一道解答題綜合考查函數(shù)與

20、導數(shù)，特別是導數(shù)在研究函數(shù)（文科常是冪函數(shù)，理科常涉及指、對數(shù)函數(shù)，還有積商的導數(shù)）問題中的應用，這道解答題是試卷的把關題之一六、復習建議     一、知識方面：重基礎，每年考試中檔題和容易題占到120分左右，而且每年高考統(tǒng)計的及格率都在50%左右，說明學生的基本知識，基本技能、方法有待加強。就學生的數(shù)學水平而言，抓基礎是必要的。建議從這幾個方面入手：（一）、深刻理解函數(shù)的概念進一步鞏固求函數(shù)的定義域、值域(最值)、函數(shù)值的基本方法，尤其值得注意的是，凡涉及到函數(shù)問題,必須首先考慮定義域，（尤其是涉及到對數(shù)函數(shù)和根式類的函數(shù)）這也是學生解決問題時容易忽略

21、的地方。如11年22題許多學生就是忽略了定義域而失分。例1已知函數(shù)y=的最大值為M，最小值為m，則的值為（    ）A.     B.   C.    D. 分析：本題考查函數(shù)定義域、值域（最值），求解時必需先求定義域。     （二）、掌握基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)，圖像特征以及解決方法理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性，進一步夯實基礎，通過各知識點的整合與交匯，加強函數(shù)性質(zhì)的綜合訓練，提升學生解決綜合問題的能力。如11年理科7題就把奇偶性，

22、反函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖像結(jié)合來考。22題綜合了對數(shù)，導數(shù)，單調(diào)，極值等。例2已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間-8，8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4則x1+x2+x3+x4=          分析：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性，以及由函數(shù)圖像解答方程問題，運用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題。   （三）、理解導數(shù)的概念及幾何意義1.利用導數(shù)求解切線問題例3在平面直角坐標系xoy中，點P在曲線C：y=x3-10x+3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為_ 。分析：本題考查導數(shù)的幾何意義和計算能力。   2.利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性及值域（極值、最值）問題例4已知函數(shù)f（x）=x-+a（2-lnx），（a>0）討論f（x）的單調(diào)性。分析：本題主要考查函數(shù)的定義域、利用導數(shù)等知識研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力。3.利用導數(shù)分析函數(shù)圖像的變化趨勢例5已知函數(shù)f（x）=（x2+ax-2a2+3a）ex（eR）其中（eR）（）當a=0時，求曲線y=f（x）在點