構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度

1、第3章 構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度學(xué)習(xí)目標(biāo) 理解各種基本變形的應(yīng)力概念和分布規(guī)律； 掌握虎克定律及材料在拉伸和壓縮時的機(jī)械性能指標(biāo)的含義； 掌握各種基本變形的應(yīng)力和強(qiáng)度計算方法； 掌握彎曲剛度的基本計算方法； 了解應(yīng)力集中和交變應(yīng)力的概念及材料在交變應(yīng)力作用下的破壞特點(diǎn)。31 分布內(nèi)力與應(yīng)力、變形與應(yīng)變的概念311 分布內(nèi)力與應(yīng)力 桿件受力作用時截面上處處有內(nèi)力。由于假定了材料是均勻、連續(xù)的，所以內(nèi)力在個截面上是連續(xù)分布的，稱為分布內(nèi)力。用截面法所求得的內(nèi)力是分布內(nèi)力的合力，它并不能說明截面上任一點(diǎn)處內(nèi)力的強(qiáng)弱。為了度量截面上任一點(diǎn)處內(nèi)力的強(qiáng)弱程度，在此引入應(yīng)力這一重要概念。截面上一點(diǎn)的內(nèi)力，稱為該點(diǎn)的

2、應(yīng)力。與截面相垂直的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，用表示；截面相切的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，也稱剪應(yīng)力，用表示。在國際單位制中，應(yīng)力的基本單位是Nm2，即Pa。工程中常用單位為MPa，GPa，它們的換算為：l MPa=106Pa=1 Nmm2 1 GPa=103MPa=103 Nmm2312應(yīng) 變在外力的作用下，構(gòu)件的幾何形狀和尺寸的改變統(tǒng)稱為變形。一般講，構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)的變形是不均勻的，某點(diǎn)上的變形程度，稱為應(yīng)變。 圍繞構(gòu)件內(nèi)K點(diǎn)取一微小的正六面單元體，如圖31(a)所示，設(shè)其沿軸方向的棱邊長為，變形后的邊長為+，如圖31(b)所示，稱為的線變形。 當(dāng)趨于無窮小時，比值=表示一點(diǎn)處微小長度的相對變形量，稱為這一點(diǎn)的線

3、應(yīng)變或正應(yīng)變，用表示。 一點(diǎn)處微小單元體的直角的改變量圖31(c)，稱為這一點(diǎn)的切應(yīng)變，用表示。 線應(yīng)變和切應(yīng)變是度量構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)變形程度的兩個基本量，它們都是無量綱的量。 圖31正應(yīng)變和切應(yīng)變32軸向拉伸與壓縮的應(yīng)力應(yīng)變及虎克定律321 拉伸與壓縮時橫截面上的應(yīng)力 拉壓桿，如圖32(a)(b)所示，橫截面上的軸力是橫截面上分布內(nèi)力的合力，為確定拉壓桿橫截面上各點(diǎn)的應(yīng)力，需要知道軸力在橫截面上的分布。試驗表明，拉壓桿橫截面上的內(nèi)力是均勻分布的，且方向垂直于橫截面。因此，拉壓桿橫截面上各點(diǎn)只產(chǎn)生正應(yīng)力且正應(yīng)力沿截面均勻分布，如圖32(c)(d)所示。設(shè)拉壓桿橫截面面積為A，軸力為FN，則橫截面上各

4、點(diǎn)的正應(yīng)力為 = (3-1) 正應(yīng)力的符號規(guī)定與軸力相同。即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。例31 如圖33所示圓截面桿，直徑d=40 mm，拉力F=60 kN，試求11，22截面上的正應(yīng)力。解 (1)計算兩截面上的軸力 FNl=FN2=60 kN (2)計算兩截面上的應(yīng)力圖32拉伸與壓縮時橫截面上的應(yīng)力 圖33圓截面桿11截面的面積為 A1= =856 mm222截面的面積為 A2= = l 256 mm211截面上的正應(yīng)力為 1= = 701 MPa22截面上的正應(yīng)力為 2= 477 Mpa322拉壓桿的變形和應(yīng)變桿件在軸向外力作用下，桿的長度和橫向尺寸都將發(fā)生改變。桿件沿軸線方向的伸長(或縮短)

5、量，稱為軸向變形或縱向變形，將桿件橫向尺寸的縮短(或伸長)量，稱為橫向變形。 設(shè)圓截面等直桿原長為，截面面積為A，在軸向外力F作用下，桿長由變?yōu)?，則桿件的軸向變形為=1。桿件拉伸時，為正；壓縮時，為負(fù)。為桿件的絕對變形，其大小與原尺寸有關(guān)，為了準(zhǔn)確地反映桿件的變形情況，消除原尺寸的影響，需要計算單位長度的變形量即相對變形，稱為線應(yīng)變。對于軸力為常量的等截面直桿，桿的縱向變形沿軸線均勻分布，故其軸向線應(yīng)變?yōu)?。桿件拉伸時，為正；桿件壓縮時，為負(fù)值。323虎克定律實驗研究指出：在一定范圍內(nèi)，桿件的絕對變形與所施加的外力F及桿件長度成正比，而與桿件的橫截面面積A成反比。引入與桿件材料有關(guān)的比例系數(shù)

6、E，上式可寫為 = (32)這一比例關(guān)系，稱為虎克定律。其中F是軸向力，即FN。比例系數(shù)E稱為材料的拉壓彈性模量，它表示材料抵抗拉(壓)變形的能力，彈性模量愈大，變形愈小，E的數(shù)值與材料有關(guān)。常用工程材料的E值，可查閱相關(guān)機(jī)械設(shè)計手冊。從公式(32)還可以看出，分母EA愈大，桿件變形愈小，所以EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度，它表示桿件抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力。將 =代人=，可得虎克定律的另一表達(dá)式 =E (33)公式表明，在一定范圍以內(nèi)，桿件橫截面上的正應(yīng)力與縱向線應(yīng)變成正比。例32 求圖34(a)所示桿的軸向變形、最大正應(yīng)力max及最大線應(yīng)變max。已知：A1=2A2=100 mm2，E=

7、200 GPa，1=2=400 mm，F(xiàn)=10 kN。解：(1)作軸力圖根據(jù)桿所受外力，可作出桿的軸力圖，如圖34(b)所示。 圖34(2)計算桿的軸向變形由軸力圖和桿的結(jié)構(gòu)圖可知，應(yīng)先分別計算AB段的變形1，和BC段變形2，再求桿的總變形。 AB段： 1=0.2 mm (伸長) BC段： 2= = =04 mm(縮短) 桿的總變形： =1+2=0.2 mm04 mm =02mm (縮短)(3)計算桿的最大正應(yīng)力max 由軸力圖和桿的結(jié)構(gòu)圖可知，桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在BC段，為 max = =200 MPa(壓)(4)計算桿的最大線應(yīng)變max由=可知，最大線應(yīng)變與最大正應(yīng)力相對應(yīng)，故max也出現(xiàn)

8、在BC段上的各點(diǎn)，為max = =0.001 (壓)33材料在拉伸、壓縮時的力學(xué)性能 材料的力學(xué)性能是指材料在受力和變形過程中所具有的特性指標(biāo)。它是材料的固有特性，可以通過實驗獲得。上一節(jié)介紹的材料彈性模量E，就是材料重要的力學(xué)性能指標(biāo)。331 材料拉伸時的力學(xué)性能 拉伸試驗一般在常溫、靜載荷條件下進(jìn)行，試驗時采用標(biāo)準(zhǔn)試件。圓截面的標(biāo)準(zhǔn)試件，如圖35所示。 圖35圓截面拉伸試件 試件兩端是夾持部分，中間工作長度和直徑的關(guān)系為=l0d或=5d。 試件裝到試驗機(jī)上后，緩慢增加拉力F，試件在標(biāo)距長度內(nèi)產(chǎn)生變形，將對應(yīng)的和繪成F一曲線，稱為拉伸圖。一般在試驗機(jī)上能自動繪出。1低碳鋼的拉伸試驗 低碳鋼是

9、工程上廣泛使用的材料，在此以低碳鋼Q235為例研究其拉伸時的力學(xué)性能。 圖36是低碳鋼的拉伸圖。由于試驗與試件長度和橫截面積A有關(guān)，因此，即使同一材料當(dāng)試件尺寸不同時，拉伸圖也不相同。為消除試件尺寸的影響，將縱坐標(biāo)F除以試件的橫截面積A得到盯=FA，橫坐標(biāo)除以試件的長度得到=,即可繪出關(guān)系曲線，稱為應(yīng)力一應(yīng)變圖，如圖37所示。該圖表示從加載開始到破壞為止應(yīng)力與應(yīng)變的對應(yīng)關(guān)系。圖36低碳鋼的拉伸圖 圖37低碳鋼拉伸圖 通過試驗，對照關(guān)系曲線，可以看出低碳鋼的拉伸試驗分為4個階段。 (1)彈性階段 在圖37所示應(yīng)力一應(yīng)變圖的OA段內(nèi)，如果卸去外力，試件的變形將全部消失，說明在此階段材料只產(chǎn)生彈性變

10、形，所以O(shè)A段稱為彈性階段。彈性階段的最高點(diǎn)A所對應(yīng)的應(yīng)力，是材料只發(fā)生彈性變形的最大應(yīng)力，稱為材料的彈性極限，用e表不。 在彈性階段內(nèi)的OA段，關(guān)系曲線為一直線，說明在此階段內(nèi)與成正比，即符合虎克定律，=E。直線最高點(diǎn)A所對應(yīng)的應(yīng)力，是正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力，稱為材料的比例極限，用p表示。直線OA的斜率，數(shù)值上等于材料的彈性模量E。 彈性極限e和比例極限p的物理意義并不相同，但兩者數(shù)值相近，例如，低碳鋼Q235的e和p都約為200 MPa。因此，實際應(yīng)用中對兩者通常不作嚴(yán)格區(qū)分，即認(rèn)為在彈性階段范圍內(nèi)材料服從虎克定律。 (2)屈服階段 在應(yīng)力超過彈性極限e后的關(guān)系曲線上，出現(xiàn)一段近似

11、水平的小鋸齒形曲線BC。此時，說明的應(yīng)力有波動但幾乎未增加，材料卻發(fā)生很大的變形。此時，材料失去抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服，BC段也被稱為屈服階段。在屈服階段除第一次下降的最小應(yīng)力外的最低應(yīng)力稱為屈服極限，用s表示。低碳鋼Q235的s約為235 Mpa。 工程上一般不允許材料發(fā)生塑性變形，因此，屈服極限是材料的重要強(qiáng)度指標(biāo)。 (3)強(qiáng)化階段 屈服階段過后，關(guān)系曲線又成為上升的曲線，此時材料恢復(fù)抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化，CD段稱為強(qiáng)化階段。強(qiáng)化階段的最高點(diǎn)D所對應(yīng)的應(yīng)力是材料所能承受的最大應(yīng)力，稱為強(qiáng)度極限，用b表示。低碳鋼Q235的b約為380 MPa。 強(qiáng)化階段，應(yīng)

12、變隨應(yīng)力增加而顯著增大，此時的變形主要是塑性變形。 (4)縮頸階段 應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限b時，試件在內(nèi)部不均勻或有缺陷的薄弱處會出現(xiàn)局部收縮，稱為縮頸現(xiàn)象，即圖示DE段，最后導(dǎo)致試件斷裂。 試件斷裂后，其彈性變形隨著載荷的消失而恢復(fù)，剩余塑性變形。斷裂的兩段試件總1。減去原來的長度，再除以原長的百分比，稱為材料的伸長率，用表示，即 = 100 伸長率大的材料，在軋制或冷壓加工成型時不易斷裂，并能承受較大的沖擊載荷。工程中按伸長率的大小將材料分為兩類，5的材料，如結(jié)構(gòu)鋼、鋁材等，稱為塑性材料，低碳鋼Q235的伸長率約為2530，是典型的塑性材料；<5的材料，如鑄鐵、工具鋼、陶瓷等，稱為脆性材料

13、。試件試驗前截面面積為4，斷裂后斷口最小橫截面的面積為A1，則 = ×100 其中，稱為斷面收縮率。低碳鋼Q235的斷面收縮率約為60。 2鑄鐵的拉伸試驗 鑄鐵拉伸時的關(guān)系曲線，如圖38所示。圖中沒有明顯的直線，也沒有屈服和縮頸現(xiàn)象，試件是突然斷裂的。鑄鐵斷后伸長率約為0.50.6，是典型的脆性材料。衡量脆性材料強(qiáng)度的唯一指標(biāo)是強(qiáng)度極限b。 圖38鑄鐵拉伸圖 332材料壓縮時的力學(xué)性能為避免試件被壓彎，金屬材料的壓縮試件應(yīng)為短圓柱形，圓柱的高度一般為直徑的2.53.5倍。 1低碳鋼的壓縮試驗 如圖39所示，實線部分是低碳鋼壓縮時的關(guān)系曲線，虛線是低碳鋼拉伸時的關(guān)系曲線。由圖可見，在屈

14、服階段以前，壓縮與拉伸的曲線基本相同，說明低碳鋼壓縮與拉伸時的彈性模量E，比例極限p， 彈性極限e和屈服極限s是相同的，只是超過屈服極限s后，由于試件被壓扁，橫截面積不斷增大，抗壓能力不斷提高，試件只會壓扁而不會斷裂，因此，無法得到低碳鋼的抗壓強(qiáng)度極限b。 2鑄鐵的壓縮試驗 如圖310所示，實線部分是鑄鐵壓縮時的關(guān)系曲線，虛線是鑄鐵拉伸時的關(guān)系曲線。由圖可見，鑄鐵拉伸和壓縮的關(guān)系曲線中均沒有明顯的直線部分，材料近似服從虎克定律。鑄鐵壓縮也沒有屈服極限，但鑄鐵壓縮時的強(qiáng)度極限是拉伸時的45倍，所以鑄鐵常用于承受壓力的構(gòu)件。 鑄鐵在壓縮時，有明顯的變形，試件略呈鼓形。破壞時，端面與軸線大致成50左

15、右。圖39低碳鋼壓縮圖 圖310鑄鐵壓縮圖 工程材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能可查閱相關(guān)機(jī)械設(shè)計手冊。表3l列出了幾種常用的工程材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能和應(yīng)用，僅供參考。表31常用工程材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能(常溫、靜載)材料名稱 屈服極限強(qiáng)度極限塑性指標(biāo)應(yīng)用舉例或牌號 /MPa/MPa/% /%A3鋼（Q235）235 39224一般零件，如拉桿、螺釘、軸等A5鋼（Q275）274 490 6082035號鋼3135292045機(jī)器零件45號鋼3535971640灰口鑄鐵拉147372壓 6401300<1軸承蓋、基座、泵體、殼體等球墨鑄鐵294 412392 5881.5 10

16、軋輥、，曲軸、凸輪軸、齒輪、活塞、閥門、底座等34安全系數(shù)和許用應(yīng)力341 極限應(yīng)力和工作應(yīng)力 工程上把材料喪失正常工作能力的應(yīng)力，稱為極限應(yīng)力或危險應(yīng)力，以表示。因此，當(dāng)塑性材料達(dá)到屈服極限時，或脆性材料達(dá)到強(qiáng)度極限時，材料將產(chǎn)生較大的塑性變形或斷裂。所以，對于塑性材料，=；對于脆性材料，=。 構(gòu)件工作時，由載荷引起的應(yīng)力稱為工作應(yīng)力。桿件受軸向拉伸或壓縮時，要保證構(gòu)件能夠安全工作，其橫截面上的工作應(yīng)力<。342安全系數(shù)和許用應(yīng)力 從生產(chǎn)的經(jīng)濟(jì)性考慮問題，為了充分利用材料的強(qiáng)度，理想的情況是最好使構(gòu)件的工作應(yīng)力接近于材料的危險應(yīng)力。但是由于載荷的大小往往估計不準(zhǔn)確；構(gòu)件的材料不可能絕對

17、均勻，不能保證它和標(biāo)準(zhǔn)試件的機(jī)械性能完全相同，這樣，構(gòu)件的實際工作條件比理想情況要偏于不安全的一面。 從確保安全考慮問題，構(gòu)件材料應(yīng)有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度儲備。特別是那些一旦破壞會造成停產(chǎn)、人身或設(shè)備事故等嚴(yán)重后果的重要構(gòu)件，更應(yīng)該有較大的強(qiáng)度儲備。為此，可把危險應(yīng)力。除以大于l的系數(shù)n，作為材料的許用應(yīng)力。許用應(yīng)力以表示，即， = （34）式中：n安全系數(shù)。 塑性材料的許用應(yīng)力=；脆性材料的許用應(yīng)力=。ns，nb性材料的屈服極限和脆性材料的強(qiáng)度極限規(guī)定的安全系數(shù)。 正確地選取安全系數(shù)是工程中一件非常重要的事。如果安全系數(shù)ns (或nb)偏大，則許用應(yīng)力低，構(gòu)件過于安全，但用料過多，會增加設(shè)備的質(zhì)量和體

18、積；如果安全系數(shù)偏小，則許用應(yīng)力高，用料少，但構(gòu)件過于危險。所以，安全系數(shù)的確定，是合理解決安全與經(jīng)濟(jì)之間矛盾的關(guān)鍵。 各種材料在不同工作條件下的安全系數(shù)或許用應(yīng)力，可從有關(guān)規(guī)范或設(shè)計手冊中查到。35軸向拉伸與壓縮的強(qiáng)度計算 桿件中最大應(yīng)力所在的橫截面稱為危險截面。為了保證構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度，必須使危險截面的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，即： max= (35)式中：N危險截面的內(nèi)力，N，拉壓時內(nèi)力N即為軸力FN； A危險截面的截面積，mm2； max危險截面處的應(yīng)力，MPa。 此式稱為拉伸或壓縮時的強(qiáng)度條件公式。利用強(qiáng)度條件，可以解決強(qiáng)度校核、設(shè)計截面尺寸、計算許用載荷3類強(qiáng)度計算問題。例33

19、空心混凝土柱，如圖311所示，受軸向壓力P=300 kN。已知=125 mm，d=75 mm，材料的許用壓應(yīng)力=30 MPa，試校核此柱子的抗壓強(qiáng)度。解： A=1l 209 mm2 =2676 MPa 因為<，所以此柱子的抗壓強(qiáng)度足夠。 圖311 圖312例34 氣動夾具，如圖312(a)所示，已知：汽缸內(nèi)徑D=140 mm，缸內(nèi)氣壓P=06 MPa，活塞桿材料為20號鋼，=80 MPa，試設(shè)計活塞桿的直徑。 解：活塞桿左端承受活塞上的氣體壓力，右端承受工件的阻力，所以活塞桿為軸向拉伸構(gòu)件，如圖712(b)所示。拉力F可由氣體壓力及活塞面積求得。設(shè)活塞桿橫截面面積遠(yuǎn)小于活塞面積，在計算氣

20、體壓力作用面的面積時，前者可略去不計。故有 活塞桿的軸力為 F=9.23kN活塞桿的橫截面面積為 A=115 mm2由此求出d121 mm，可取活塞桿的直徑為14 mm。例35 圖313(a)所示為一個鋼木結(jié)構(gòu)的起吊架，其中AB為木桿，其截面面積為AAB=104 mm2，許用壓應(yīng)力AB=7 MPa；BC為鋼桿，其截面面積為ABC=600 mm。，許用應(yīng)力BC=160 MPa，試求B處可承受的最大許可載荷。 圖313解：(1)受力分析 用截面法畫受力圖，如圖313(b)所示，由平衡條件可求得各桿軸力NAB和NBC與載荷的關(guān)系 =0 即 NBCsin 30=0得 NBC=2 =0 即 NAB=0得

21、 NAB = =2Q·(2)求最大許可載荷由強(qiáng)度條件公式(35)可知，木桿的許可軸力為 即 得 40 415 N=404 kN 鋼桿的許可軸力為 即 得 48 000 N=48 kN 為保證結(jié)構(gòu)安全，B處可吊起的許可載荷應(yīng)取404 kN，48 kN中的較小值。即 max=404 Kn36剪切和擠壓的實用計算361剪切的實用計算 以鉚釘聯(lián)接為例，為了對其進(jìn)行剪切強(qiáng)度計算，必須先計算剪切面上的內(nèi)力。應(yīng)用截面法，用一假想的平面將鉚釘沿剪切面切開，取其下部作為研究對象，如圖29(c)所示。為了保持下段鉚釘?shù)钠胶猓孛嫔媳赜袃?nèi)力存在，這個與截面相切的內(nèi)力即為剪力FQ。 根據(jù)平衡條件，可求得剪力

22、FQ的大小為FQ=F。 與剪力相對應(yīng)的應(yīng)力稱為剪應(yīng)力。由于剪應(yīng)力在剪切面上的分布情況比較復(fù)雜，要從理論上進(jìn)行計算往往很困難，有時甚至是不可能的，因此，工程上通常采用實用計算法，即假設(shè)剪應(yīng)力均勻地分布在剪切面上，于是，剪應(yīng)力的計算式可寫為 (36)式中：A剪切面面積。 為了保證鉚釘聯(lián)接安全可靠地工作，要求作用于剪切面上的剪應(yīng)力不超過材料的許用剪應(yīng)力，因此，剪切強(qiáng)度條件為 (37)式中：材料的許用剪應(yīng)力。 許用剪應(yīng)力的大小等于材料的剪切極限應(yīng)力除以安全系數(shù)。剪切極限應(yīng)力是根據(jù)剪切試驗中測得的破壞時的剪力，按平均值計算得到的極限應(yīng)力；安全系數(shù)是根據(jù)實踐經(jīng)驗并針對具體情況確定的。 剪切許用應(yīng)力可從有關(guān)

23、手冊中查得，也可按下列近似經(jīng)驗公式確定 塑性材料 =(0608) 脆性材料 =(081) 式中：材料的許用拉應(yīng)力。 和軸向拉伸或壓縮一樣，應(yīng)用剪切強(qiáng)度條件也可解決工程上剪切變形的三類強(qiáng)度問題。362擠壓的實用計算 仍以鉚釘聯(lián)接為例，鉚釘與被聯(lián)接的鋼板在一個半圓柱面上互相接觸，產(chǎn)生擠壓作用。通常把兩個接觸面間的壓力稱為擠壓力，以符號表示。由擠壓力引起的應(yīng)力稱為擠壓應(yīng)力，以吒表示。由于擠壓應(yīng)力在擠壓表面上的分布情況也比較復(fù)雜，因而和剪切一樣，仍采用實用計算法，即假定擠壓應(yīng)力在擠壓計算面積上是均勻分布的，故擠壓應(yīng)力為 (38)式中：Aj擠壓的計算面積。 此面積需根據(jù)接觸面的具體情況而定：若接觸面為平

24、面，則接觸面面積即為擠壓計算面積；若接觸面為半圓柱形，則以接觸半圓柱面的直徑投影面積作為擠壓計算面積。為了保證構(gòu)件不受到擠壓破壞，擠壓的強(qiáng)度條件應(yīng)為 (39)式中： 材料的許用擠壓應(yīng)力，可從有關(guān)設(shè)計手冊中查得。 一般塑性材料 =(1525) 脆性材料 =(0915) 式中： 材料的許用拉應(yīng)力。 應(yīng)該注意，如果互相擠壓的材料不同，則應(yīng)按擠壓許用應(yīng)力較小的材料進(jìn)行強(qiáng)度計算。例36 如上一章圖210(a)所示的一拖車掛鉤，用銷釘聯(lián)接。已知：掛鉤部分的鋼板厚度8 mm，拖力F=15 kN，銷釘?shù)牟牧蠟?0號鋼，其許用剪應(yīng)力=40 MPa，許用擠壓應(yīng)力=100 MPa，鋼板材料為Q235，許用擠壓應(yīng)力=

25、90 MPa，試設(shè)計銷釘?shù)闹睆健＝猓阂话阆劝醇羟袕?qiáng)度條件設(shè)計銷釘直徑，然后按擠壓強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。若擠壓強(qiáng)度不夠，可增加擠壓面面積，或按擠壓強(qiáng)度條件重新設(shè)計銷釘直徑。 (1)按剪切強(qiáng)度條件計算 如圖210(b)所示，銷釘在mm，nn兩個截面上同時承受剪切作用，首先計算剪切面上的剪力FQ。應(yīng)用截面法，用假想平面將銷釘沿剪切面mm，nn切開，取中段為研究對象，如圖210(c)所示。 由平衡條件可求出剪力 FQ=F2=75 kN 根據(jù)剪切強(qiáng)度條件 得 或 故 取 d=16 mm (2)校核擠壓強(qiáng)度 由圖210(c)可知，擠壓力Fj=F； 擠壓計算面積Aj=d×2t 代人擠壓強(qiáng)度條件可得 鋼

26、板可見，銷釘直徑d=16 mm能滿足剪切和擠壓強(qiáng)度的要求。37圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力、強(qiáng)度計算371 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力 圓軸扭轉(zhuǎn)時各橫截面僅產(chǎn)生繞軸線的轉(zhuǎn)動，各橫截面之間距離保持不變，沒有縱向變形，因此橫截面上無正應(yīng)力，只有切應(yīng)力存在，且與半徑垂直。切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，而橫截面上距離圓心越遠(yuǎn)的點(diǎn)，剪切變形越大，所以各點(diǎn)切應(yīng)力的大小與其到圓心的距離成正比，最大切應(yīng)力發(fā)生在圓軸表面，圓心處切應(yīng)力為零。 根據(jù)靜力平衡條件，導(dǎo)出橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計算公式(公式推證從略) (3l0)式中：橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力，Pa或MPa； T該橫截面上的扭矩，N·m或kN·m，N

27、3;mm； IP橫截面對圓心的極慣性矩，m4或mm4； 橫截面上任一點(diǎn)到圓心的距離，m或mm。 圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力最大，其數(shù)值為 令 WP = (311) 則 (312)式中：抗扭截面系數(shù)，m4或mm4。既是圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞能力的幾何參數(shù)。 最大應(yīng)力；與橫截面上的扭矩T成正比，與WP成反比。 工程中軸的橫截面通常采用實心圓和空心圓兩種形狀，其極慣性矩IP。和抗扭截面系數(shù)WP的計算公式見表32。 表32圓和圓環(huán)橫截面的極慣性矩IP，和抗扭截面系數(shù)WP例37 圖314所示為空心圓截面軸，外徑D=40 mm，內(nèi)徑d=20 mm，扭矩T=1 kN·m，計算=15mm處A點(diǎn)的

28、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，以及截面上的最大和最小扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。圖714解：（1）空心軸的極慣性矩為 (2)計算切應(yīng)力 372 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件 圓軸扭轉(zhuǎn)時，產(chǎn)生最大切應(yīng)力的橫截面稱為危險截面，為保證軸的安全工作，要求軸內(nèi)最大切應(yīng)力不大于材料的許用切應(yīng)力。因此圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件為 (313)式中：Tmax危險截面的最大扭矩； WP危險截面的抗扭截面系數(shù)。 注意：對于階梯軸，因為抗扭截面系數(shù)WP不是常量，最大工作應(yīng)力不一定發(fā)生在最大扭矩Tmax，所在的截面處，應(yīng)該按照(T/ WP)max來確定。 圓軸扭轉(zhuǎn)時的許用切應(yīng)力應(yīng)由扭轉(zhuǎn)試驗測定，也可以查找機(jī)械設(shè)計手冊。在靜載荷作用下，許用切應(yīng)力與拉伸許用應(yīng)力的關(guān)系為

29、 塑性材料 =(0506) 脆性材料 =(081) 應(yīng)用上述公式，可以解決強(qiáng)度校核、截面設(shè)計、確定許用載荷3類問題。例38 階梯鋼軸如圖315(a)所示，已知材料的許用切應(yīng)力=80 MPa，受外力偶矩為：Ml=10 kN·m，M2=7 kN·m，M3=3kN·m，AB段的直徑d1=100 mm ,BC段的直徑為d2=60 mm，試校核該軸的強(qiáng)度。 圖315解：(1)作扭矩圖圖315(b)(2)強(qiáng)度校核AB段： T1=10 kN·m BC段： T2=M3=10 kN·m 經(jīng)過校核，該軸滿足強(qiáng)度要求。 本例題同時表明，最大切應(yīng)力發(fā)生在了扭矩較小的B

30、C段的橫截面上。例39 如圖316所示，實心軸與空心軸通過牙嵌式離合器聯(lián)接傳遞扭矩，已知材料的許用切應(yīng)力=40 MPa，傳遞的力偶矩T=08 kN·m，空心軸內(nèi)徑與外徑比，試計算實心軸的直徑D和空心軸的外徑D1。圖316解：根據(jù)公式 得 (1)實心軸 帶人數(shù)據(jù)得 D 453 mm，取D=46 mm (2)空心軸 帶人數(shù)據(jù)得 D1 463 mm，取D1=48 mm例310 已知空心軸材料的許用切應(yīng)力=100 MPa，傳遞的力偶矩T=198 kN·m，空心軸外徑D=76 mm，壁厚25 mm，求：校核該軸的強(qiáng)度。如改為實心軸，并保證相同的強(qiáng)度，試設(shè)計實心軸的直徑。 解：(1)校

31、核強(qiáng)度，最大切應(yīng)力在空心軸的外圓處 經(jīng)過校核，該軸滿足強(qiáng)度要求。 (2)保持強(qiáng)度不變，即實心軸與空心軸的最大切應(yīng)力相等 帶人數(shù)據(jù)得 D1=471 mm，取D。=48 mm 在強(qiáng)度相同條件下，兩軸的質(zhì)量比(質(zhì)量比等于體積比也等于橫截面積比)為 空心軸的質(zhì)量僅為實心軸的l3，可見采用空心軸更為合理。 但要注意，過薄的圓筒受扭時筒壁可能發(fā)生褶皺，喪失承載能力，同時在加工空心軸時會增加成本，所以不能在任何條件下都采用空心軸。38彎曲的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度計算 一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩，又有剪力，這種彎曲稱為剪切彎曲。若梁的橫截面上只有彎矩而無剪力，稱為純彎曲。如圖717所示為車軸的計算簡圖，可知A

32、B段的彎矩M= ，剪力FQ=0，屬純彎曲；而CA和BD段為剪切彎曲。381 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 1純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律 如圖718所示的矩形截面梁，在發(fā)生純彎曲變形后，一邊凹陷，一邊凸出，凹邊的縱向纖維層縮短，凸邊的縱向纖維層伸長。由于梁的變形是連續(xù)的，因此其問必有一層既不伸長也不縮短的纖維，這一長度不變的縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，可以證明中性軸通過截面的形心。位于中性層上、下兩側(cè)的纖維，一側(cè)伸長另一側(cè)縮短，引起橫截面繞中性軸的微小轉(zhuǎn)動。纖維伸長，橫截面上對應(yīng)各點(diǎn)受拉應(yīng)力；纖維縮短，橫截面上對應(yīng)各點(diǎn)受壓應(yīng)力。所以中性軸是橫截面上拉應(yīng)力區(qū)域與壓應(yīng)力

33、區(qū)域的分界線。正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖319所示。 圖317純彎曲和剪切彎曲圖318矩形截面梁純彎曲變形 圖319矩形截面正應(yīng)力分布2純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算公式 式中：橫截面上任一點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力； M橫截面上的彎矩； y欲求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離； Iz橫截面對中性軸z的慣性矩。 上述正應(yīng)力的分布規(guī)律和計算公式是由純彎曲梁計算所得，但經(jīng)過驗證，對于剪切彎曲的細(xì)長梁(梁的跨度與截面高度比5的梁)，在材料的彈性范圍內(nèi)，結(jié)論和公式依然適用。3橫截面上最大的正應(yīng)力 當(dāng)y=ymax時，彎曲正應(yīng)力達(dá)到最大值，由公式(314)可得 (315) (316)可得 (317)式中：W抗彎截面系數(shù)，mm3。W是抵

34、抗彎曲破壞能力的幾何參數(shù)。 當(dāng)截面的形狀對稱于中性軸時，如矩形、工字鋼、圓形等，其上、下邊緣距中性軸的距離相等，即y1=y2= ymax,如圖320所示，因而最大拉應(yīng)力。與最大壓應(yīng)力；相等。當(dāng)中性軸不是對稱軸時，如T形截面(圖321)，y1y2，所以最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力不相等，要分別計算。圖320 對稱截面的應(yīng)力分布圖321 非對稱截面的應(yīng)力分布782 簡單截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù) 軸慣性矩，和抗彎截面系數(shù)形是取決于截面形狀、尺寸的物理量。截面的面積分布離中性軸越遠(yuǎn)，截面的I和W越大。 常用的I和W計算公式見表73，其他常用型鋼的，和形可查閱機(jī)械設(shè)計手冊中的型鋼表。表73常用的I和W計算公

35、式783梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計算梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件是：梁的最大彎曲正應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力，即 (718)最大正應(yīng)力所在的截面稱為危險截面，最大正應(yīng)力所在的點(diǎn)稱為危險點(diǎn)。對于塑性材料，由于其抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度相等，即，其強(qiáng)度條件為 (719)對于胞眭材料，由于其抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度不相等，即，其強(qiáng)度條件為 (720) (721) 根據(jù)上述公式，可以完成梁的強(qiáng)度校核、截面設(shè)計、確定許用載荷三類問題的計算。例311 如圖322(a)所示，T形截面對中性軸的，Iz=3×105mm4，F(xiàn)1=3 kN，F(xiàn)2=55 kN，AC=n=02 m，BC=b=04 m，材料的許用拉應(yīng)力=70 MPa，許用壓

36、應(yīng)力=150 MPa，試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的強(qiáng)度。 圖322解：(1)畫計算簡圖圖322(b)(2)計算截面的彎矩并畫彎矩圖 MA=0 MB =Fl(+b)+ F2 b=3 kN×(0.2 m+0.4 m)+5.5 kN×0.4 m=0.4 kN·m MC =Fl =3 kN×0.2 m=0.6 kN·m梁的彎矩圖如圖322(c)所示。由圖可以得知，C截面的彎矩絕對值最大。(3)校核梁的C截面強(qiáng)度因為該截面彎矩為負(fù)值，所以中性軸以下截面為壓應(yīng)力，以上截面為拉應(yīng)力。上邊緣的最大拉應(yīng)力為 下邊緣的最大壓應(yīng)力為 所以c截面的強(qiáng)度符合要求。 (4)

37、校核梁的B截面強(qiáng)度 因為該截面彎矩為正值，所以中性軸以下截面為拉應(yīng)力，以上截面為壓應(yīng)力。 上邊緣的最大壓應(yīng)力為 下邊緣的最大拉應(yīng)力為 所以，B截面的強(qiáng)度不符合要求。B截面的下邊緣處將先被破壞。 由此可見，當(dāng)：材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不同，中性軸不是對稱軸，彎矩圖上既有正彎矩也有負(fù)彎矩，3個條件同時存在時，既要計算最大正彎矩截面的強(qiáng)度，又要計算最大負(fù)彎矩截面的強(qiáng)度。384梁彎曲時的變形和剛度條件 1撓度和轉(zhuǎn)角 如圖323所示的簡支梁，彎曲變形時，橫截面nn位置，其形心從C點(diǎn)位移到C點(diǎn)。梁的橫截面形心在與原來軸線垂直方向上的位移，稱為該截面的撓度，用符號表示；橫截面相對于原來位置轉(zhuǎn)過的角度，稱

38、為該截面的轉(zhuǎn)角，用符號表示。 圖323簡支粱的彎曲變形 彎曲變形后梁的軸線變成一條連續(xù)光滑的平面曲線，稱為撓度曲線，簡稱撓曲線。在圖中所示的坐標(biāo)系中，撓曲線的方程稱為撓度方程，可以表示為 (322) 由于軸線是各截面形心的連線，所以，該方程中的x為變形前截面位置的橫坐標(biāo)，為變形后該截面的撓度。 由于截面的轉(zhuǎn)角等于撓度曲線在該截面的切線與軸的夾角，在小變形的情況下，任一截面的轉(zhuǎn)角都可以表示為 (323) 所以，撓度和轉(zhuǎn)角的數(shù)值可以由撓度方程及其一階導(dǎo)數(shù)確定。采用圖323所示的坐標(biāo)系時，向上的撓度為正，向下的撓度為負(fù)；逆時針的轉(zhuǎn)角為正，順時針的轉(zhuǎn)角為負(fù)。 在一定外力作用下，梁的撓度、轉(zhuǎn)角都和材料的

39、彈性模量E與截面慣性矩Iz的乘積EIz成反比，EIz越大，撓度和轉(zhuǎn)角越小，所以EIz稱為梁的抗彎剛度。在機(jī)械設(shè)計手冊中可以查到各種梁在簡單載荷作用下的撓度方程，以及某些截面的撓度和轉(zhuǎn)角計算公式。 2梁的剛度條件 受幾種載荷共同作用的梁，利用撓度方程表，先計算每一種載荷單獨(dú)作用下的變形，然后將它們進(jìn)行代數(shù)和疊加，這種計算方法稱為疊加法。一般在只有小變形和材料服從虎克定律的前提下，才能使用疊加法計算梁的變形。 機(jī)械工程中有剛度要求的梁，有關(guān)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范規(guī)定了許用撓度或許用轉(zhuǎn)角的數(shù)值,分別用和表示。其中許用撓度一般表示為梁的跨度的倍數(shù)，如 一般傳動軸 =(0.000 30.000 5) 安裝齒輪或

40、滑動軸承處 =0.001 rad 所以梁的剛度條件為 (724) 385提高梁彎曲強(qiáng)度和剛度的主要措施 1提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施 在一般情況下，彎曲正應(yīng)力是控制梁強(qiáng)度的主要因素。根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，梁的彎曲強(qiáng)度與橫截面的形狀和尺寸、最大彎矩和材料有關(guān)。因此，提高梁的強(qiáng)度可從以下幾個方面考慮： (1)選擇合理的截面形狀 從彎曲強(qiáng)度考慮，比較合理的截面形狀是在截面面積A一定的前提下，使截面具有盡可能大的抗彎截面系數(shù)W，截面的比值越大，截面越經(jīng)濟(jì)合理。工程中常見截面的比值如表34所示。表34常用工程材料截面W/A的比值可見，矩形截面優(yōu)于圓形截面，圓環(huán)截面又優(yōu)于矩形截面，而最合理的為工字形和

41、槽截面。這一結(jié)論可以從正應(yīng)力的分布規(guī)律來解釋，彎曲正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布，當(dāng)離中性軸最遠(yuǎn)各點(diǎn)處的正應(yīng)力達(dá)到材料的許用應(yīng)力時，中性軸附近各點(diǎn)處的正應(yīng)力仍很小，該處材料的作用未充分發(fā)揮。因此，在離中性軸較遠(yuǎn)處配置較多的材料可提高材料的利用率。 根據(jù)上述原則，對于抗拉與抗壓強(qiáng)度相同的塑性材料梁，宜采用對稱于中性軸的各種截面，如矩形、工字形等截面。對于抗拉強(qiáng)度低于抗壓強(qiáng)度的脆性材料梁，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，如T形、形截面等，最理想的截面是使，如圖321所示。 (2)合理地布置載荷和支座 合理地布置載荷和支座，可以降低梁的最大彎矩，從而提高梁的強(qiáng)度。 如圖324所示，將梁上的集中載荷分散為

42、兩處靠近支座的集中力，梁上的最大彎矩將減小一半。 圖324集中載荷分散為兩處靠近支座的集中力 如圖725所示的受均布載荷的簡支梁，若將兩個支座各向內(nèi)側(cè)適當(dāng)移動0.2，則其最大彎矩將從0.125q。減小為0.025q。，僅為原來的15。 使集中力盡量靠近支座，也可以降低最大彎矩。如圖326所示的銑床的齒輪軸，若讓齒輪緊靠左邊軸承，而不是位于軸的中問位置，其最大彎矩為，而不再是,，從而使最大彎矩降低了40。因此，機(jī)械工程中的齒輪、帶輪等都盡量靠近軸承處，以降低梁的最大彎矩，提高梁的彎曲強(qiáng)度。 (3)采用變截面梁 一般情況下，在梁的不同截面，彎矩值不同。等截面梁的尺寸由最大彎矩確定，因此，除了危險截

43、面的應(yīng)力達(dá)到材料的許用應(yīng)力外，其他截面的正應(yīng)力均小于許用應(yīng)力，材料未充分利用。因而從整體上看，等截面梁不合理，故機(jī)械中常采用變截面梁。如鑄鐵托架，搖臂鉆的橫臂AB、魚腹梁、階梯軸等，它們的截面尺寸隨彎矩大小而定，稱為變截面梁。若各截面的最大應(yīng)力都達(dá)到許用值，則稱為等強(qiáng)度梁，如圖327所示。 應(yīng)該指出，上述措施只是從彎曲強(qiáng)度的角度考慮的，工程實際中，還應(yīng)結(jié)合工藝要求、結(jié)構(gòu)功能等因素，作全面考慮。 (a) (b)圖325受均布載荷的簡支梁支座向內(nèi)移動 圖326集中力盡量靠近支座 2提高梁彎曲剛度的主要措施 由機(jī)械設(shè)計手冊查得梁的變形公式可知，梁的變形與載荷(m，P，q)成正比，與梁的跨度f或z的高

44、次冪成正比，與抗彎剛度肼成反比。因此，提高梁剛度的措施為： (1)縮短梁的跨度或增加支座 縮短跨度是提高梁剛度極為有效的措施。在跨度不允許減小的情況下，可以增加中間支座。如切削工件時，卡盤夾緊一端為固定端，在自由端加裝尾架頂針，以降低撓度，使切削工件符合要求。 (a) (b) (c)圖327變截面梁 (2)增大抗彎剛度肼 因為各種鋼材的E值接近，所以選擇慣性矩，較大的截面形狀，是比較經(jīng)濟(jì)的措施，例如采用圓環(huán)形、箱形、工字形等截面形狀。 (3)改善加載方式 同強(qiáng)度問題一樣，改善加載方式可以降低彎矩，減小梁的變形。另外，可適當(dāng)調(diào)整載荷方向，使兩種載荷引起的變形能互相抵消一部分，從而達(dá)到減小變形的目的。79交變應(yīng)力與疲勞失效791交變應(yīng)力的概念 機(jī)器中的某些傳動軸常常受到隨時間作周期性變化的應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為交變應(yīng)力。例如，圖328(a)所示的火車輪軸，受到載荷FP的作用，當(dāng)軸轉(zhuǎn)動時，其橫截面上的彎曲正應(yīng)力會隨時間作周期性的變化。如中間截面上的C點(diǎn)，每運(yùn)動一周，其位置由1開始，經(jīng)2，3，4后又回到l圖328(b)，其應(yīng)力值變化為：。車軸不停地轉(zhuǎn)動，該點(diǎn)的應(yīng)力就不斷地如此反復(fù)，所以C點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力為交變應(yīng)力。若以時間t為橫坐標(biāo)，彎曲正應(yīng)力為縱坐標(biāo)，則C點(diǎn)的應(yīng)力隨時間的變化曲線如圖328(c)所示。 792交變應(yīng)力的循環(huán)特性 為了清楚地看出交變