橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

1、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)考綱傳真1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題 中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、 頂點(diǎn)、離心率）.3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【知識(shí)通關(guān)】1 .橢圓的定義（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi, F2的距離的和等于宣婁匚（大于|FiF2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢 圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)一兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.（2）集合 P = M|MFi|十|MF2|=2a, |FiF2|=2c,其中 a, c為常數(shù)且 a>0, c>0.當(dāng)2a>|FiF2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為橢圓；當(dāng)2a=

2、|FiF2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a<|FiF2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡不存在.2 .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2 y2蔡+b2=1(a>b>0)y2 x2 3+b2=1(a>b>0)圖形T玲rr性質(zhì)范圍a<x< a b<y< bb< x< b a< y< a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(-a, 0), A2(a,0), B1(0, -b), B2(0, b)A1(0, -a), A2(0, a), B1( b, 0), B2(b, 0)離心率e= X，且 eC(0, 1) aa, b,

3、c的關(guān)系c2= a2 b2常用結(jié)論1點(diǎn)P（x。，yo）和橢圓的位置關(guān)系 x2 y0 ,（1）點(diǎn)P（x。, y。）在橢圓內(nèi)? 尹祥<1.點(diǎn)P（x。，y。）在橢圓上？ +岸=1.點(diǎn)P(x0, y0)在橢圓外？孑+ jy2> 1.2 .焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(xo, yo)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形.門=|PFi|, r2= x2 y2|PF2|, / FiPF2= 0, ZXPF1F2的面積為 S,則在橢圓孑 +1(a>b>0)中：(1)當(dāng)門=r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，8最大； c 9. . 一(2)S= b2tan 2 = c|y0|,當(dāng)|y0|=b時(shí)

4、，即點(diǎn)P的包置為短軸環(huán)點(diǎn)時(shí)，S取取大值， 最大值為be(3)a c< |PF 1|< a+ c.3 .橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊長(zhǎng)， a2= b2 + c2.4 .已知過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB,則4ABF2的周長(zhǎng)為4a.5 .橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式x2 y2若M(xo, y。)是橢圓/+=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn)，則有.b2bx0kAB kOM = 2,即 kAB = 2 .aa y06.弦長(zhǎng)公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長(zhǎng)|AB| =、1 + k2 |x1-x2|=yj 1 + k2 x1 + x2 2 4x1x

5、2=、卜+2|y1 y2|= q 1+ y1 + y2 2 4y1y2(k 為直線斜率).【基礎(chǔ)自測(cè)】1 .判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打"x”)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.()橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成PF1F2的周長(zhǎng)為2a+ 2c(其中a為橢圓的 長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距).()橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.()(4)關(guān)于x, y的方程mx2+ny2=1(m>0, n>0, mwn)表示的曲線是橢圓.()答案(1)x (2)V (3)x ， ，一 x2 v2A. (8 0)2 .橢圓16+ 25= 1的焦

6、點(diǎn)坐標(biāo)為() (0,均C. (=9,0)D. (0,為)B3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)A(2, 0), B(2, 0)的距離之和為6,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡 方程為()x22y2 x2a. §+y =1B- 9+石=1C.9 + x2=1D.x9 + =14.若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)、短軸的長(zhǎng)和焦距成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率是1+加-2-c.B.C、一x2 y25.橢圓C: 25+16= 1的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2,過(guò)F2的直線父橢圓C于A,B兩點(diǎn)，則 F1AB的周長(zhǎng)為.20【題型突破】橢圓的定義及其應(yīng)用I題型1|【例 1】(1)已知兩圓 C1： (x4)2+y2=169, C2: (x +

7、4)2 + y2=9,動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程為（）a. 64-48-1848+641c. 48-魯1D * + 武=64 48，一 x2 y2（2）F1, F2是橢圓§+寧=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且/ AFiF2 = 45 ,則 AF1F2的面積為（）A. 7B.4D.7.52(1)D (2)C方法總結(jié)1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面： 一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 否為橢圓；二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng) 、面積、弦長(zhǎng)、最值和離心率等 2.橢圓的定義式必須滿足2a> |FiF2|.*賒填習(xí)(I)如圖所示，一圓形紙片的圓

8、心為 o, f是圓內(nèi)一定一T、點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使 M與F重合，然后抹平 彳< 紙片，折痕為CD,設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是()° JA.橢圓B,雙曲線C.拋物線D.圓x2 V2(2019徐州,K擬)已知Fi, F2是橢圓C: +$=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF11PF2,若PF1F2的面積為9,則b =.A (2)3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程I題型2|【例2】(1)在4ABC中，A( 4, 0), B(4, 0), ABC的周長(zhǎng)是18,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()x2y2V2x2A.-+ V9=1(yw0)B.會(huì)+ e = 1(了

9、 0)259259x2y2y2x2C.京+ 9 = 1(y金0)D.存 + § = 1(yw 0)3 5 .一已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)一2 5，«3,，5), 則橢圓方程為.過(guò)點(diǎn)(43,一響, 且與橢圓：y|+=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為259y2 x2 彳(1)A (2)10+ 6 = 1方法總結(jié)1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程多采用定義法和待定系數(shù)法.2利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形焦點(diǎn)位置，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為 mx2+ny2=1 m>0, n>0, mwn的形式.x2 v2BBES3

10、 (1)已知橢圓C:孑+ /=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,離心率為害,過(guò)F2的直線l交C于A, B兩點(diǎn)，若 AFiB的周長(zhǎng)為4y3,則C 3x2 cB. w+v2= 13的方程為（）x2 v2 >A. 3+2 = 1八 xf V2 dC. 12+ 8 = 1_ x2D三+二1(2)橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，其短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰為邊長(zhǎng)是2的正方形的頂點(diǎn)，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()x2 v2x22 dA. y+短=18.5+/=1x2 v2v2 x2c. 4+/1d. 4+2=12設(shè)F1, F2分別是橢圓E: x2+ b2= 1(0<b&

11、lt;1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線 交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF1|=3|F1B|,AF2，x軸，則橢圓E的方程為.(1)A (2)C (3)x2 + 3v2=1橢圓的幾何性質(zhì)I題型3|?考法1求離心率或范圍 , r 、“一#1 、l isx2 V2.，一 八 r 1【例3】(1)(2019深圳,K擬)設(shè)橢圓C:/V2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別 為F1, F2, P是C上的點(diǎn)，PF21F1F2, /PFF2= 30°,則C的離心率為(A.D.C.2(2017全國(guó)卷1)設(shè)人，B是橢圓C:萬(wàn)十= 1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若 C上存在 點(diǎn)M滿足/ AMB = 120&#

12、176;,則m的取值范圍是()A. (0,1U9, +00)B. (0,6U9, +00)C. (0,1U4, +oo)D. (0, V3U4, +oo)D (2)A?考法2與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的范圍問(wèn)題x2 V2【例4】(2019合肥質(zhì)檢)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓彳+專，、一1=1的離心率e=1, F, A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則PF PA的最大值為.4方法總結(jié)1求橢圓離心率的方法，直接求出a, c的值，利用離心率公式直 接求解.，列出含有a, b, c的齊次方程 或不等式，借助于b2=a2 c2消去b, 轉(zhuǎn)化為含有e的方程 或不等式 求解.2利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路 ，求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題 時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)， 要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式.般蹤韁習(xí)(1)(2018全國(guó)卷H)已知F1, F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一 點(diǎn).若PF11PF2,且/ PF2F1 = 60°,則C的離心率為()A. 1一當(dāng)B. 2-小D. V3-1, ，一，一 x2 V2若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1+,=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OP FP的最大值為()A. 2B. 3C