有限元方法理論及其應(yīng)用考試題目及要求2014

1、南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院研究生研究型課程考試題目及要求課程名稱： 有限元方法理論及應(yīng)用 考試形式：專題研究報(bào)告 論文 大作業(yè) 綜合考試考試題目：“有限元方法理論及應(yīng)用”理論研討及上機(jī)實(shí)驗(yàn)試題及要求：一、課程論文：彈性力學(xué)有限元位移法原理（30分）撰寫(xiě)一篇論文，對(duì)有限元位移法的原理作一般性概括和論述。要求論文論及但不限于下列內(nèi)容：1）彈性力學(xué)有限元位移法的基本思想和數(shù)學(xué)、力學(xué)基礎(chǔ)；2）有限元法求解的原理和過(guò)程，推導(dǎo)計(jì)算列式；對(duì)基本概念和矩陣符號(hào)進(jìn)行解釋和討論；3）等參單元的概念、原理和應(yīng)用。二、分析與計(jì)算（40分）1、圖示兩個(gè)結(jié)構(gòu)和單元相似，單元方位相同的平面應(yīng)力有限元模型，兩模型的單元厚度和材

2、料相同。兩個(gè)模型右端單元邊上受均勻剪切面力。對(duì)于下列2種情況，試根據(jù)有限元法和力學(xué)有關(guān)知識(shí)來(lái)分析論證兩個(gè)模型求解后對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)1）的位移值和對(duì)應(yīng)單元的應(yīng)力值之間的關(guān)系：1）兩個(gè)模型面力的合力相等；2）兩個(gè)模型面力值相等。（10分） (4)對(duì)上圖（a）,（b）求解剛度矩陣：?jiǎn)卧幪?hào)ijm(1)124(2)314(3)346(4)536對(duì)于（a）(b)剛度矩陣相等 結(jié)構(gòu)總的剛度矩陣的組集： (5)外部載荷與約束力：對(duì)于第一種情況；（a） (b) 對(duì)于第二鐘情況：(a) (b) （6） 位移矩陣： 有約束條件可知： （7）根據(jù)最小勢(shì)能原理： 進(jìn)行求解（8） 位移和應(yīng)力值的關(guān)系： 對(duì)于第一種情況：

3、節(jié)點(diǎn)1的位移： 單元（1）的應(yīng)力值： 對(duì)于第二種情況： 節(jié)點(diǎn)1的位移： 單元（1）的應(yīng)力值： 2、 證明3節(jié)點(diǎn)三角形單元滿足協(xié)調(diào)性條件（相鄰單元之間位移連續(xù)）。（10分） 證明：假設(shè)任意兩個(gè)相鄰的三角形單元如圖所示： 這里采用x,y的一次多項(xiàng)式作為位移插值函數(shù)： 將廣義坐標(biāo)換為單元節(jié)點(diǎn)自由度的二維插值： （1）相鄰之間單元連續(xù)，先說(shuō)明插值函數(shù)連續(xù)； 有方程可知道u,v函數(shù)在平面內(nèi)是連續(xù)的。 （2）單元1(i-j-m)和單元2（i-j-n）在i-j邊界處連續(xù)； （a）先證明u函數(shù)在單元間連續(xù) 把，代入上面的方程： 有上式可以看出在邊界處的位移變化與m,n點(diǎn)的坐標(biāo)值無(wú)關(guān)，只是與 i,j的坐標(biāo)值和位

4、移值有關(guān)，所以單元1與單元2在i-j邊界處u值相等 (b)同理可證得：?jiǎn)卧?與單元2在i-j邊界處v值相等 (3)結(jié)論：由于插值函數(shù)連續(xù)，單元1與單元2在邊界處u,v的值相等，所以三節(jié)點(diǎn)三角形單元相鄰單元之間位移連續(xù)。3、 對(duì)4節(jié)點(diǎn)四邊形平面等參元，試驗(yàn)證等參變換能把平面上的正方形母單元映射成為平面上4節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元。（10分）證明：如上圖所示，坐標(biāo)系中的正方形單元1-2-3-4（圖b）通過(guò)映射關(guān)系： 可以得到坐標(biāo)系中的矩形單元i-j-k-l(圖a),并保證四個(gè)頂點(diǎn)間的映射關(guān)系為： 1i 2j 3k 4l 更一般地，如果假設(shè)坐標(biāo)系xoy中的坐標(biāo)x,y與原坐標(biāo)系中的映射關(guān)系為： 則可以實(shí)現(xiàn)坐

5、標(biāo)系中的正方形單元1-2-3-4（圖b）向坐標(biāo)系xoy中任意直邊四邊形i-j-k-l(圖c)的映射。若進(jìn)一步假定在兩個(gè)不同坐標(biāo)系中，四邊形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為： 1i 2j 3k 4l同時(shí)也可以將上式改寫(xiě)成插值函數(shù)形式： 上式中中的就是坐標(biāo)系中的正方形單元頂點(diǎn)1，2，3，4上的拉格朗日插值基函數(shù)： 所以平面上的正方形母單元經(jīng)過(guò)等參變換能映射成為平面上4節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元4、圖示一個(gè)一維直桿問(wèn)題，桿的截面積為A,彈性模量為E。桿受線性變化的軸向線分布力。試構(gòu)造一種三次桿單元求解該問(wèn)題，單元有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)間隔均勻，形函數(shù)可以由形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造或采用拉格朗日插值多項(xiàng)式。整個(gè)桿用1個(gè)單元離散化。解出節(jié)

6、點(diǎn)位移后，由單元有關(guān)方程導(dǎo)出單元上位移和應(yīng)力的函數(shù)表達(dá)式，并將有限元解與精確解作比較。（10分）解：（1）對(duì)于三次單元，首先假設(shè)三次函數(shù)作為插值函數(shù)： （2） 等分的四個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為1，2，3，4整理為形函數(shù)形式： 采用拉格朗日插值多項(xiàng)式求解形函數(shù)： （3） 求出形函數(shù)： (4) 求解剛度矩陣： 經(jīng)過(guò)計(jì)算得： （5） 求解載荷矩陣： 經(jīng)過(guò)計(jì)算得： (6)用最小勢(shì)能原理得： 其中 由于可以劃去第一個(gè)方程解出其余三個(gè)方程組得： (7) 求解插值函數(shù)表達(dá)式： 所以： 精確解為： （8）單元應(yīng)力： 經(jīng)計(jì)算得： 精確解為： 一 實(shí)驗(yàn)題目： 一個(gè)200mm×200mm平板，中心有一個(gè)直徑5mm圓孔

7、，左右兩邊受面內(nèi)均勻拉伸載荷1MPa。建立平面應(yīng)力問(wèn)題有限元模型，分別采用3節(jié)點(diǎn)三角形單元和8節(jié)點(diǎn)四邊形等參元計(jì)算孔邊應(yīng)力集中。二 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?通過(guò)采用3節(jié)點(diǎn)三角形單元和8節(jié)點(diǎn)四邊形等參元計(jì)算孔邊應(yīng)力集中，對(duì)兩種單元的求解精度進(jìn)行比較。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單力學(xué)分析，可以知道本實(shí)驗(yàn)問(wèn)題屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，基于結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱性，可以只取模型的1/4進(jìn)行分析。以此來(lái)掌握平面問(wèn)題的有限元分析方法和對(duì)稱性問(wèn)題建模的方法。三 建模概述:3.1 定義工作文件和工作標(biāo)題3.1.1 定義工作文件名 執(zhí)行Utility Menu-FileChange Jobname3-1,單擊OK按鈕。3.1.2 定義工作標(biāo)題 執(zhí)行Util

8、ity Menu-FileChange Tilemy work，單擊OK按鈕。3.1.3 更改當(dāng)前工作目錄 執(zhí)行Utility Menu-FileChange the working directoryE/STUDY/ANSYS/kaoshi。3.2 定義單元類型、實(shí)常數(shù)和材料屬性3.2.1 設(shè)置計(jì)算類型 執(zhí)行Main MenuPreferencesselect StructuralOK。3.2.2 選擇單元類型 先：Main MenuPreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete Addselect SolidQuad 8node 182OK。（三節(jié)點(diǎn)三角形單

9、元） 后：Main MenuPreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete Addselect SolidQuad 8node 183OK。（八節(jié)點(diǎn)四邊形單元）如圖下圖所示：3.2.3 定義實(shí)常數(shù) 執(zhí)行Main MenuPreprocessorReal ConstantsAdd/Edit/DeleteAddOKClose。3.2.4 設(shè)置材料屬性 執(zhí)行Main MenuPreprocessorMaterial PropsMaterial ModelsStructuralLinearElasticIsotropic輸入實(shí)常數(shù)（在EX框中輸入210000，在PRXY

10、框中輸入0.3）OK。3.3 創(chuàng)建幾何模型3.3.1 生成矩形平面 執(zhí)行Main MenuPreprocessorModelingCreateAreasRectangleBy 2 Corners輸入尺寸OK。3.3.2 生成圓形 執(zhí)行Main MenuPreprocessorModelingCreateAreasCircleSolid Circle輸入圓點(diǎn)坐標(biāo)及半徑OK。3.3.3 布爾運(yùn)算得到幾何模型 執(zhí)行Main MenuPreprocessorModelingOperateBooleansSubtractArea選擇矩形面OK選擇圓形OK。如圖3-2所示：圖3-2 3.4 生成有限元網(wǎng)格

11、 執(zhí)行PreprocessorMeshingMesh ToolMesh AreasTetFreeMesh拾取幾何模型OK。如圖3-3所示的模型。圖3-3 初次劃分網(wǎng)格后的單元由于板中間有孔存在，應(yīng)力集中嚴(yán)重，所以應(yīng)該將孔的邊緣網(wǎng)格細(xì)化，執(zhí)行PreprocessorMeshingMesh ToolMesh AreasRefine選中孔周圍的網(wǎng)格（如圖3-4）OK將劃分網(wǎng)格精度定位2OK。得到如圖3-5所示。圖3-4孔周圍要細(xì)化的單元圖3-5細(xì)化后的單元3.5 加載并求解3.5.1 施加約束條件 執(zhí)行Main MenuSolutionDefine loadsApplyStructuralDispl

12、acementOn Lines，彈出一個(gè)拾取框，拾取左邊緣線，單擊OK按鈕，彈出Apply U.ROT on Line對(duì)話框，選擇“UX”選項(xiàng)，單擊OK按鈕。 執(zhí)行Main MenuSolutionDefine loadsApplyStructuralDisplacementOn Lines，彈出一個(gè)拾取框，拾取下邊緣線，單擊OK按鈕，彈出Apply U.ROT on Line對(duì)話框，選擇“UY”選項(xiàng)，單擊OK按鈕。3.5.2 施加載荷 執(zhí)行Main MenuSolutionApplyStructuralPressureOn Lines，彈出一個(gè)拾取框，拾取右邊緣線，單擊OK按鈕，彈出對(duì)話框，

13、所示輸入數(shù)據(jù)-1，單擊OK按鈕.如圖3-6所示圖3-63.5.3 求解 執(zhí)行Main MenuSolutionSolveCurrent LS，彈出一個(gè)提示框。瀏覽后執(zhí)行file-close，單擊OK按鈕開(kāi)始求解運(yùn)算。出現(xiàn)一個(gè)【Solution is done】對(duì)話框是單擊close按鈕完成求解運(yùn)算。四 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論：（1）兩種情況變形圖。 （2）兩種情況X方向應(yīng)力分量x應(yīng)力云圖：(3)分別繪制x沿Y軸和X軸的應(yīng)力大小： （沿Y軸方向的應(yīng)力大?。?（沿X軸方向的應(yīng)力大?。?（4） 對(duì)結(jié)果的分析： （1）模型x應(yīng)力分布：x應(yīng)力集中分布于中心圓孔與x、y軸相交的地方，且與x軸相交處應(yīng)力為負(fù)（應(yīng)

14、力值最?。cy軸相交處應(yīng)力為正（應(yīng)力值最大）；沿圓周向周圍，x有最大值迅速減小至最小值；沿y方向的x應(yīng)力隨著Y值的增加迅速下降，沿x方向的x應(yīng)力隨著X的增加先是急速增加后又有所下降最后有緩慢增加。 （2）應(yīng)力最大值2.95539，最小值-0.0668。誤差來(lái)源：有限元分析方法是將結(jié)構(gòu)離散化，網(wǎng)格劃分得越稀疏，計(jì)算出的結(jié)果就越 偏離理論值，分的越密集，結(jié)果越接近與真實(shí)值，三節(jié)點(diǎn)三角形與八節(jié)點(diǎn)四邊形比起來(lái)離散的比較稀疏，計(jì)算的結(jié)果偏離真實(shí)值較大。五 實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)： 通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)，對(duì)理論課所學(xué)有限元基本方法有了一個(gè)更加直觀、深入的理解。通過(guò)對(duì)ANSYS軟件處理平面孔的應(yīng)力集中問(wèn)題，了解了這款軟件

15、的基本應(yīng)用和它對(duì)有限元的一些很好的應(yīng)用。試驗(yàn)中，遇到諸多問(wèn)題，仔細(xì)思考，加之對(duì)講義的理解，確實(shí)很有收獲。更增加了對(duì)有限元的認(rèn)識(shí)，和對(duì)其功能之強(qiáng)大有了更深的理解。一 實(shí)驗(yàn)題目： 一個(gè)空心球的外半徑，內(nèi)半徑。內(nèi)壁受均勻壓力。試用有限元法計(jì)算該空心球體的應(yīng)力分布情況。要求分別應(yīng)用軸對(duì)稱二次等參單元建立軸對(duì)稱模型、應(yīng)用二次六面體等參單元建立三維模型求解。二 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?掌握用軸對(duì)稱二次等參單元建立軸對(duì)稱模型，并且通過(guò)與二次六面體等參單元建立三維模型進(jìn)新行比較，熟悉軸對(duì)稱模型的優(yōu)點(diǎn)。三 建模概述: 為了比較，分別采用三維模型和軸對(duì)稱模型進(jìn)行分析?？紤]到到三維實(shí)體模型的對(duì)稱性，只對(duì)1/8球體劃分網(wǎng)格，然后

16、在對(duì)稱面上施加對(duì)稱邊界條件。其中： 三維實(shí)體模型（1/8空心球體）使用Solid186(二次六面體單元)單元建立實(shí)體模型及劃分網(wǎng)格。 軸對(duì)稱模型（1/4圓環(huán)）使用Plane183（軸對(duì)稱類型）單元建立實(shí)體模型及劃分網(wǎng)格。兩種模型劃分網(wǎng)格如下：然后施加載荷和約束：三維實(shí)體模型 載荷為內(nèi)表面上壓力10Mpa；約束條件為三個(gè)對(duì)稱截面的對(duì)稱條件軸對(duì)稱模型 載荷為內(nèi)表面（圓弧段）上壓力10Kpa；約束條件是兩個(gè)對(duì)稱軸的法向位移為0。四 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論：1計(jì)算結(jié)果：（1） 徑向位移 （2）等效應(yīng)力2 對(duì)結(jié)果的分析： 對(duì)于兩種模型的結(jié)果進(jìn)行比較，徑向位移的變化完全一樣；等效應(yīng)力的最小值分別為：15.70

17、85和15.7231，對(duì)稱模型與三維模型比較增加了0.93%，等效應(yīng)力的最大值分別為：30.7298和30.6975，對(duì)稱模型與三維模型比較減少了1.1%，表明兩種模型的結(jié)果基本一致，五 實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)： 通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)對(duì)與二次六面體三維實(shí)體模型和軸對(duì)稱模型有了更深一步的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)了關(guān)于對(duì)稱圖形的處理方法，并對(duì)軸對(duì)稱模型有了深一步的理解，軸對(duì)稱模型與三維模型的解基本一致，但是軸對(duì)稱模型建模容易，求解迅速，是一種不錯(cuò)的方法。 一 實(shí)驗(yàn)題目： 一個(gè)矩形平板，長(zhǎng)1000mm,寬100mm，厚度10mm。材料的E=200GPa， 。板的一側(cè)短邊固支，其它三邊自由。在相同的較粗網(wǎng)格（厚度方向1層單元）下，

18、分別用8節(jié)點(diǎn)六面體全積分等參元和二次六面體等參元計(jì)算其前六階自由振動(dòng)頻率和振型，計(jì)算結(jié)果列在表中，對(duì)計(jì)算結(jié)果作對(duì)比和分析。二 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?學(xué)習(xí)用有限元分析結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型并且比較八節(jié)點(diǎn)六面體網(wǎng)格和二次六面體網(wǎng)格的區(qū)別。三 建模概述:1建立模型 分別用Solide185建立八節(jié)點(diǎn)六面體模型和Solide186建立二次六面體模型。并進(jìn)行網(wǎng)格劃分。如下圖： 2設(shè)置約束條件 執(zhí)行Main MenuPreprocessorLoadsDefine loadsApplyStructuralDisplacementOn Areas3設(shè)置六階自由振動(dòng)模型： 四 計(jì)算結(jié)果分析與結(jié)論：1. 計(jì)算結(jié)果：（1） 兩種模型的頻率： 八節(jié)點(diǎn)六面體單