三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)高三數(shù)學組 肖新國一、函數(shù)的圖像n例1（2002上海，15）函數(shù)y=x+sin|x|，x，的大致圖象是（ ）解析：由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin|x|，x，為非奇非偶函數(shù)。選項A、D為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為非奇非偶函數(shù)。點評：利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運用數(shù)形結合的思想方法。例例 2 （1）y=cosx+cos（x+3）的最大值是_； （2）y=2sin（3x4）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是 _?http:/www. xjktyg. com/ wxc/wxckt126. comwxckt126. comhttp:

2、/www. xjktyg. com/ wxc/?例例 3 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： （1）y=21sin（432x）；（2）y=sin（x+4）?http:/www. xjktyg. com/ wxc/ wxckt126. comwxckt126. comhttp:/www. xjktyg. com/ wxc/? 例例4.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=sin( x+ )( 0, 0 ) 是是 R 上的偶函數(shù)上的偶函數(shù), 其圖象關于點其圖象關于點 M( , 0) 對稱對稱, 且在區(qū)間且在區(qū)間 0, 上是單調(diào)函數(shù)上是單調(diào)函數(shù), 求求 和和 的值的值.43 2 = (k Z). 4k+2 3解解: f(

3、x)=sin( x+ )( 0, 0 ) 是是 R 上的偶函數(shù)上的偶函數(shù), sin(- - x+ )=sin( x+ ), 即即 - -cos sin x=cos sin x 對任對任 意實數(shù)意實數(shù) x 都成立都成立. 0, cos =0. 又又0 , = .2 f(x) 的的圖象關于點圖象關于點 M 對稱對稱, f(x)=cos x. 點點 M 為為 f(x) 圖象的一個對稱中心圖象的一個對稱中心. =k + (k Z). 43 2 f(x)=cos x 在區(qū)間在區(qū)間 0, 上是減函數(shù)上是減函數(shù). 0, 2 23綜上所述綜上所述, = , =2 或或 . 2 必有必有 , 即即 0 2. 要

4、使要使 f(x)=cos x 在區(qū)間在區(qū)間 0, 上是單調(diào)函數(shù)上是單調(diào)函數(shù), 2 4k+2 300, 即即 2sin(x- - )0 得得: 4 2k + x2k + , k Z4 45 x | 2k + x0, 0, x R) 在一個周期內(nèi)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示的圖象如圖所示:23 2 -25 27 2 oxy2 求直線求直線 y= 3 與函數(shù)與函數(shù) f(x) 圖象的所有交點的坐標圖象的所有交點的坐標. 27 解解: 根據(jù)圖象得根據(jù)圖象得 A=2, T= - -(- - )=4 , 2 = .12y=2sin( x+ ). 12y=2sin( x+ ). 124 由由 3=2sin( x

5、+ ) 得得 124 32sin( x+ )= . 124 12由由 (- - )+ =0 得得 = . 2 4 x+ =2k + 或或 2k + (k Z). 124 32 3 x=4k + 或或 4k + (k Z).65 6 6 65 故所有交點坐標為故所有交點坐標為 (4k + , 3 ) 或或 (4k + , 3 ) (k Z).1.判斷三角函數(shù)的奇偶性，若不先關注定義域是否關于原判斷三角函數(shù)的奇偶性，若不先關注定義域是否關于原點對稱，常常會得出錯誤的結論點對稱，常常會得出錯誤的結論2.對于形如對于形如y=2sin(/3-2x)的單調(diào)區(qū)間，常因為沒有注意到的單調(diào)區(qū)間，常因為沒有注意到

6、x的系數(shù)為負，從而得出相反的結論的系數(shù)為負，從而得出相反的結論例例 5 試述如何由 y=31sin（2x+3）的圖象得到 y=sinx 的圖象?http:/www. xjktyg. com/ wxc/ wxckt126. comwxckt126. comhttp:/www. xjktyg. com/ wxc/? 例 6、為使方程0sincos2=+-axx在2, 0內(nèi)有解，則a的取值范圍是（ ） AaBa.-1111 CaD a.- -1054 t = -12 f(t) O 1 t 分析：分析：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：設sinx=t，則原方程化為0=1-a-t+t2，

7、且(10t，于是問題轉(zhuǎn)化為：若關于t的一元二次方程012=-+att在區(qū)間( 10，上有解，求a的取值范圍，解法如下： 設由已知條件f ttta( ) =+ -21 有ffaaa( )( )0010101011- - - -0, 0, 0 .xyo61014102030溫度溫度/時間時間/h(1)求這段時間的最大溫差求這段時間的最大溫差; (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式寫出這段曲線的函數(shù)解析式. (2)圖中從圖中從 6 時到時到 14 時的圖象是函數(shù)時的圖象是函數(shù) y=Asin( x+ )+b 半個周期的圖象半個周期的圖象. 解解: (1)由圖示由圖示, 這段時間的最大溫差是這段時間的最大溫差

8、是: 30-10=20. 12 =14- -6. 2 解得解得 = . 8 12又由圖示又由圖示 A= (30- -10)=10, b= (30+10)=20, 128 y=10sin( x+ )+20.將將 x=6, y=10 代入可取代入可取 = . 43 故所求的解析式為故所求的解析式為: y=10sin( x+ )+20, x 6, 14. 8 43 n對于具有周期性的函數(shù)，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象。求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤。n函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先