幾何證明選講

1、第一章幾何證明選講第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1.理解相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平行截割定理2會證明和應(yīng)用直角三角形射影定理基礎(chǔ)自主梳理梳理基礎(chǔ)知識 檢測自身能力1平行線等分線段定理定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段 _，那么在其他直線上截得的線段也 _ 推論1經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必 _ 推論2經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線 _ 2平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線，所得的 _成比例推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的 _成比例知知 識識 梳梳 理理相等相等平分第三邊平分另一腰對應(yīng)線段對應(yīng)線段3相似三角形的判定及性質(zhì)(1

2、)相似三角形的判定定義 _，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似判定定理1對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的 _對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng) _，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應(yīng) _且夾角相等，兩三角形相似判定定理3對于任意兩個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng) _，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對

3、應(yīng) _，兩三角形相似對應(yīng)角相等兩個角成比例成比例成比例成比例(2)兩個直角三角形相似的判定定理如果兩個直角三角形的一個銳角對應(yīng) _，那么它們相似如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng) _，那么它們相似如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng) _，那么這兩個直角三角形相似(3)相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)定理相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于 _；相似三角形周長的比等于 _；相似三角形面積的比等于 _；相似三角形外接圓(或內(nèi)切圓)的直徑比、周長比等于相似比，外接圓(或內(nèi)切圓)的面積比等于 _ 相等成比例成比例相似比相似比相似比的平方相似比的平方4直

4、角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的 _；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的 _比例中項比例中項課課 前前 自自 測測解析：由于ABA1B1，則有AOBA1OB1，且對應(yīng)邊的相似比為1：2，那么兩三角形對應(yīng)的各線段之比均為1：2，則對應(yīng)的外接圓的直徑之比也是1：2，故A1OB1的外接圓直徑為2.答案：2答案：33在ABC中，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DEBC，ADE的面積是2 cm2，梯形DBCE的面積為6 cm2，則DE：BC的值為_解析：ADEABC，利用面積比等于相似比的平方可得答案答案：1：24如右圖，已知在ABC中，CDAB于D點(diǎn)，BC2BDAB，

5、則ACB_.答案：905如右圖，已知在ABC中，ACB90，CDAB于D，AC6，DB5，則AD的長為_解析：在RtABC中，ACB90，CDAB，AC2ABAD.設(shè)ADx，則ABx5，又AC6，62x(x5)，即x25x360.解得x4(舍去負(fù)值)，AD4.答案：4熱點(diǎn)分類講練點(diǎn)擊重點(diǎn)難點(diǎn) 關(guān)注熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)之一平行線分線段成比例定理的應(yīng)用1在與有關(guān)比例問題的證明中，要結(jié)合平行線分線段成比例定理，構(gòu)造平行線進(jìn)行解決2作平行線的方法：(1)利用中點(diǎn)作出中位線可得平行關(guān)系(2)利用已知線段的比例，作線段的平行線思路探究(1)結(jié)合題目給出的條件，可利用平行線分線段成比例定理證明(2)結(jié)合圖形和(1)

6、的結(jié)論進(jìn)行合理的代換(3)利用(2)的結(jié)論進(jìn)行變形熱點(diǎn)之二相似三角形的性質(zhì)與判定定理的應(yīng)用三角形相似的證明方法很多，解題時應(yīng)根據(jù)條件，結(jié)合圖形選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄒ话愕乃伎汲绦蚴牵合日覂蓪?nèi)角對應(yīng)相等；若只有一個角對應(yīng)相等，再判定這個角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例；若無角對應(yīng)相等，就要證明三邊對應(yīng)成比例例2如下圖，已知 ABCD中，G是DC延長線上一點(diǎn)，AG分別交BD和BC于E、F兩點(diǎn)，證明AFADAGBF.思維拓展一般地，證明等積式成立，可先將其化成比例式，再根據(jù)三角形相似證明其成立三角形相似具有傳遞性，如果A1B1C1A2B2C2，A2B2C2A3B3C3，那么A1B1C1A3B3C3.本題就是利用其

7、傳遞性來解決問題的即時訓(xùn)練： 如右圖，BD、CE是ABC的高，求證：ADEABC.熱點(diǎn)之三射影定理的應(yīng)用1在使用直角三角形射影定理時，要學(xué)會將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中“比例式”2證題時，要注意作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時常用的方法例3一直角三角形的兩條直角邊之比是1：3，則它們在斜邊上的射影的比是_即時訓(xùn)練： 如下圖所示，在ABC中，ADBC于D，CE是中線，DCBE，DGCE于G，EC的長為4，則EG_.解析：連接DE.因為ADBC于D，所以ADB是直角三角形，則DE1/2ABBEDC.又因為DGCE于G.所以DG垂直平分CE，故EG2.答案：2高考動態(tài)研究感悟高考真題 檢驗實戰(zhàn)

8、技能直直 指指 考考 向向 本考點(diǎn)主要考查相似三角形的判定與應(yīng)用，屬中檔題考查時多與圓的有關(guān)知識聯(lián)系，涉及射影定理、相似比等基本知識經(jīng)經(jīng) 典典 考考 題題自自 主主 體體 驗驗 為方便教學(xué)使用，本部分單獨(dú)裝訂成活頁裝，請做課時作業(yè)(60) 第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系會證明和應(yīng)用以下定理：(1)圓周角定理；(2)圓的切線判定定理與性質(zhì)定理；(3)相交弦定理；(4)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理；(5)切割線定理基礎(chǔ)自主梳理梳理基礎(chǔ)知識 檢測自身能力1圓周角定理(1)圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 _ (2)圓心角定理圓心角的度數(shù)等于 _ 推論1同弧或等弧所對的圓周角 _；同

9、圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也 _ 推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是 _；90的圓周角所對的弦是 _ 知知 識識 梳梳 理理一半它所對弧的度數(shù)相等相等直角直徑2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對角 _ 定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的 _ (2)判定判定定理如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn) _ 推論如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn) _ 互補(bǔ)對角共圓共圓3圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)性質(zhì)性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的 _ 推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過 _ 推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過 _

10、(2)判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的 _ 4弦切角的性質(zhì)定理弦切角等于它所夾的弧所對的 _ 半徑切點(diǎn)圓心切線圓周角5與圓有關(guān)的比例線段(1)相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的 _ 相等(2)割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的 _ 相等(3)切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的 _ (4)切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的 _ 積積比例中項夾角6平行射影(1)正射影的定義：給定一個平面，從一點(diǎn)A作平面的垂線，垂足為點(diǎn)A，稱點(diǎn)

11、A為點(diǎn)A在平面上的正射影(2)平行射影的定義：設(shè)直線l與平面相交，稱直線l的方向為投影方向過點(diǎn)A作平行于l的直線(稱為投影線)必交于于一點(diǎn)A，稱點(diǎn)A為A沿l的方向在平面上的平行射影7平面與圓柱面的截線用一個平面去截一個圓柱，當(dāng)平面與圓柱的兩底面平行時，截面是一個 _ ；當(dāng)平面與圓柱的兩底面不平行時，截面是一個 _ 圓橢圓8平面與圓錐面的截線在空間中，取直線l為軸，直線l與l相交于O點(diǎn)，夾角為，l圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l的交角為(當(dāng)與l平行時，記0)，則(1)，平面與圓錐的交線為 _；(2)，平面與圓錐的交線為 _；(3)CD，K、M分別在AD、BC上，D

12、AMCBK，求證：C、D、K、M四點(diǎn)共圓證明：在四邊形ABMK中，DAMCBK，A、B、M、K四點(diǎn)共圓連結(jié)KM，有DABCMK，DABADC180，CMKKDC180.故C、D、K、M四點(diǎn)共圓熱點(diǎn)之三相交弦定理、切割線定理的應(yīng)用1相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用2應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等思維拓展相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計算提供了有力的方法和工具，應(yīng)用時一方面要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征，另一方面

13、在與定理相關(guān)的圖形不完整時，要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分在實際應(yīng)用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理；見到兩條割線就要想到割線定理；見到切線和割線時就要想到切割線定理即時訓(xùn)練： 如右圖，已知O的割線PAB交O于A，B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA3，AB4，PO5，求O的半徑解：設(shè)圓的半徑為R，由PAPBPCPD，得3(34)(5R)(5R)，解得R2.高考動態(tài)研究感悟高考真題 檢驗實戰(zhàn)技能直直 指指 考考 向向 以解答題的形式考查與圓相關(guān)的角的問題、四點(diǎn)共圓問題、圓的切線問題以及與圓有關(guān)的比例線段問題，是高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法.2010年課標(biāo)全國卷以解答題的形式考查了圓的綜合問題，是一個新的考查方向經(jīng)經(jīng) 典典 考考 題題自自 主主