大學(xué)數(shù)學(xué)：第6章 2克萊姆法則矩陣及其運(yùn)算

1、學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求理解理解Cramer法則，會(huì)用法則，會(huì)用Cramer法則解方程組；法則解方程組；理解矩陣的概念，了解單位矩陣、對(duì)角矩陣?yán)斫饩仃嚨母拍?，了解單位矩陣、?duì)角矩陣三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對(duì)稱(chēng)矩陣、反三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣的定義及性質(zhì)；對(duì)稱(chēng)矩陣的定義及性質(zhì)； 掌握矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算率，掌握矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算率，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。如果線(xiàn)性方程組如果線(xiàn)性方程組11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa x

2、b的的系數(shù)行列式系數(shù)行列式D不等于零不等于零， 則方程組有唯一解則方程組有唯一解 11,DxD22,DxDnnDxD,行列式的應(yīng)用行列式的應(yīng)用Crammer法則法則 （1）證明證明例例1 用用Cramer法則求解線(xiàn)性方程組法則求解線(xiàn)性方程組 01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解 系數(shù)行列式為系數(shù)行列式為 14211213513241211111D111121414235215121120D 252211111428421532110D 所以所以 1, 3, 2, 144332211DDxDDxDDxDDx3111124426235311

3、15220D 45211112114223131220D小結(jié)：小結(jié)：Crammer法則的使用有極大的局限性法則的使用有極大的局限性（1） Crammer法則只能用于求解法則只能用于求解方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù) 個(gè)數(shù)相等個(gè)數(shù)相等的線(xiàn)性方程組；的線(xiàn)性方程組；（2） Crammer法則只能求得法則只能求得系數(shù)行列式不為零系數(shù)行列式不為零時(shí)的時(shí)的 線(xiàn)性方程組的唯一解；線(xiàn)性方程組的唯一解； 即如果方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等，或系數(shù)即如果方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等，或系數(shù) 行列式等于零，則行列式等于零，則Crammer法則失效。法則失效。（3）計(jì)算量大計(jì)算量大，要計(jì)算，要計(jì)算 n+1 個(gè)個(gè) n 階

4、行列式的值。階行列式的值。 如何解決這些問(wèn)題呢？留待第七章解決。如何解決這些問(wèn)題呢？留待第七章解決。齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組 11112212112222112200.0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x常數(shù)項(xiàng)全為零常數(shù)項(xiàng)全為零的線(xiàn)性方程組，稱(chēng)為的線(xiàn)性方程組，稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組。 這樣的方程組一定有解，這樣的方程組一定有解，至少有零解至少有零解 120nxxx根據(jù)根據(jù)Crammer法則，當(dāng)系數(shù)行列式法則，當(dāng)系數(shù)行列式D0時(shí)，齊次線(xiàn)性時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組只有方程組只有唯一的零解唯一的零解；否則，當(dāng)系數(shù)行列式；否則，當(dāng)系數(shù)行列式 D=0 時(shí)，時(shí)

5、，齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組有非零解有非零解（無(wú)窮多個(gè)）。（無(wú)窮多個(gè)）。例例2 當(dāng)當(dāng)k為何值時(shí)，下面的方程組為何值時(shí)，下面的方程組只有零解只有零解？ 1231231232020250 xkxkxkxxkxxxx解解 因?yàn)橄禂?shù)方程組的行列式為因?yàn)橄禂?shù)方程組的行列式為 2121265(5)(1)125kkDkkkkkk所以當(dāng)所以當(dāng) k5且且 k1時(shí)，原方程組時(shí)，原方程組只有零解只有零解 （當(dāng)（當(dāng) k5或或 k1時(shí)，原方程組時(shí)，原方程組有非零解）有非零解） 用加減消元法求解二元一次方程組用加減消元法求解二元一次方程組11 1122121 12222a x a xba x a xb（1）（2）221

6、2(1)(2)aa得得112212211122212()a aa axbab a112212212211121()a aa axb aba1121(2)(1)aa得得 矩陣的引入矩陣的引入 當(dāng)當(dāng)11 2212 210a aa a時(shí)時(shí)122212111221221bab axa aa a211121211221221b abaxa aa a 可見(jiàn)，在求解方程組的過(guò)程中，只有方程組可見(jiàn)，在求解方程組的過(guò)程中，只有方程組的的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，未知量只是進(jìn)行同類(lèi)，未知量只是進(jìn)行同類(lèi)項(xiàng)的合并。項(xiàng)的合并。 在日常生活中，我們也經(jīng)常關(guān)心一些在日常生活中，我們也經(jīng)常關(guān)心一些數(shù)表數(shù)表：如

7、價(jià)格表、股票行情表、財(cái)務(wù)報(bào)表等等，這些重如價(jià)格表、股票行情表、財(cái)務(wù)報(bào)表等等，這些重要的要的“矩形數(shù)表矩形數(shù)表”，在數(shù)學(xué)學(xué)科中，則可用，在數(shù)學(xué)學(xué)科中，則可用矩陣矩陣來(lái)表示。來(lái)表示。111212122212.nnmmmnaaaaaaaaa的第一個(gè)下標(biāo)的第一個(gè)下標(biāo) 稱(chēng)為稱(chēng)為行標(biāo)行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)第二個(gè)下標(biāo) 稱(chēng)為稱(chēng)為列標(biāo)列標(biāo)。ija其中：其中： 稱(chēng)作矩陣的稱(chēng)作矩陣的元素元素。ijaij矩陣的定義（見(jiàn)書(shū)矩陣的定義（見(jiàn)書(shū)P233定義定義1） 簡(jiǎn)稱(chēng)為簡(jiǎn)稱(chēng)為 m n 矩陣，簡(jiǎn)記作矩陣，簡(jiǎn)記作 ()ijm nAa矩陣的一般形式如下：矩陣的一般形式如下： 矩陣的概念矩陣的概念 11121121222212.nnmm

8、mnna aabaaabaaab稱(chēng)為方程組的稱(chēng)為方程組的增廣矩陣增廣矩陣111212122212.nnmmmna aaaaaaaa稱(chēng)為方程組的稱(chēng)為方程組的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣11 11221121 1222221 122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb設(shè)有線(xiàn)性方程組設(shè)有線(xiàn)性方程組線(xiàn)性方程組與矩陣之間可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系線(xiàn)性方程組與矩陣之間可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系行矩陣（行向量）行矩陣（行向量）只有一行的矩陣。只有一行的矩陣。 1 21 2412.na aa等等 列矩陣（列向量）列矩陣（列向量）只有一列的矩陣。只有一列的矩陣。 209 1112maaa等等

9、幾種特殊形式的矩陣幾種特殊形式的矩陣 0 000 000 00 00.0000 等等零矩陣零矩陣 所有元素都為零的矩陣所有元素都為零的矩陣，簡(jiǎn)記作，簡(jiǎn)記作 。0m n 方陣方陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。如：行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。如：等等0 00 0二階方陣二階方陣111222000三階方陣三階方陣111212122212.nnnnnna aaaaaaaan階方陣階方陣如如等等0 00 22 0 00 0 00 0912000000naaa 對(duì)角形矩陣對(duì)角形矩陣主對(duì)角線(xiàn)上的元素不全為零，其它的主對(duì)角線(xiàn)上的元素不全為零，其它的 元素都為元素都為0的的方陣方陣，簡(jiǎn)記作，簡(jiǎn)記作 。 單位矩陣單位矩陣主主對(duì)

10、角線(xiàn)上的元素都是對(duì)角線(xiàn)上的元素都是1的對(duì)角形矩陣，的對(duì)角形矩陣， 簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作 。如：。如：nE21001E1 0. 00 1.0.0 0.1nE3100010001E等等2 1 20 1 00 0 111121222000nnnnaaaaaa上三角形矩陣上三角形矩陣主對(duì)角線(xiàn)下方元素全為零、上方的主對(duì)角線(xiàn)下方元素全為零、上方的 元素不全為元素不全為0的的方陣方陣。如：。如：等等下三角形矩陣下三角形矩陣主對(duì)角線(xiàn)上方的元素全為零，下方主對(duì)角線(xiàn)上方的元素全為零，下方 的元素不全為的元素不全為0的的方陣方陣。2 0 04 1 05 3 711212212000nnnnaaaaaa同型矩陣：同型矩陣：有

11、相同的行數(shù)與相同的列數(shù)的有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)的 兩個(gè)矩陣，稱(chēng)為兩個(gè)矩陣，稱(chēng)為同型矩陣同型矩陣。如：如：11010437A11110000B054123000C789123D只有矩陣只有矩陣 與矩陣與矩陣 同型同型AB注意：同型是相等的必要條件。注意：同型是相等的必要條件。相等矩陣：相等矩陣：若若 兩矩陣兩矩陣同型同型且對(duì)應(yīng)位置上且對(duì)應(yīng)位置上 的的元素相等元素相等，則稱(chēng)，則稱(chēng) 相等，記相等，記 作作 。AB、AB、AB2 0 02 00 2 00 20 0 2000000000000011 11 1001001001001如：如：且且，例題：例題：已知已知27015xyxzA31701xzz

12、Bxz 求求, ,x y z的值。的值。，AB，124xyz231151xxyxzxz關(guān)關(guān)系系式式 矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì)矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì) （1）交換律）交換律 A+B = B+A （2）結(jié)合律）結(jié)合律 （A+B）+C = A+（B+C） 矩陣的加法（見(jiàn)矩陣的加法（見(jiàn)P234定義定義2） 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律：矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律： ijijm nABab注意：只有同型矩陣才能相加。注意：只有同型矩陣才能相加。 120211331110213例例m nm nm nAOA顯顯然然成成立立矩陣的減法矩陣的減法 設(shè)設(shè)1111nmmnaaAaa，則稱(chēng)矩陣，則稱(chēng)矩陣 1111nmmnaaaaA為為A 的的

13、負(fù)矩陣負(fù)矩陣，記作，記作。若若A、B為為同型同型矩陣，則規(guī)定矩陣，則規(guī)定()ABAB 即即ijijm nABab，m nm nm nAAO數(shù)乘矩陣（見(jiàn)教材數(shù)乘矩陣（見(jiàn)教材P235定義定義3） 如：如：1236334912若若 ,ijmnAakR，則，則ijm nkAka注意：數(shù)乘矩陣時(shí)，注意：數(shù)乘矩陣時(shí)， 矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)K。 等等32 0 020 2 00 0 2E0000000nkkkEk 數(shù)量矩?cái)?shù)量矩陣陣數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律：數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律： 1AAA 2AAA 3ABAB102111211B 設(shè)設(shè) ， ，求滿(mǎn)足，求滿(mǎn)足方程方程 的的 。310121

14、342A 32AXBX41.5112.513.55.52.5X 矩陣的乘法（見(jiàn)教材矩陣的乘法（見(jiàn)教材P235定義定義4）設(shè)設(shè)1111tmmttmaaAaa則則1111nttnntbbBbb1111nmmnm nccABCcc其中其中1 122.ijijijittjca ba ba b(1,2,. ;1,2,. )imjn行行i列列j 左矩陣左矩陣 右矩陣右矩陣A的列數(shù)的列數(shù) B的行數(shù)的行數(shù)例如：例如：1011 2 32220 1 21106 7 54 4 21011 2 32220 1 2110無(wú)意義！無(wú)意義！ 左邊矩陣左邊矩陣 右邊矩陣右邊矩陣 的的 列列 數(shù)數(shù) 的的 行行 數(shù)數(shù)注意：注意：

15、AB存在，存在，BA無(wú)意義，無(wú)意義，ABBA (1 02 1 0 1)2 0 10 20 01 11 21 01 11 21 0例題：計(jì)算下列各題例題：計(jì)算下列各題01 2 011 （1）011 2 01 （2）ABBA000120120AB與與BA不同型不同型 同型同型但不相等。但不相等。12011210（3）01121012（4）11230102（5）23110201（6）特殊特殊AB=BA2121121225022502（1）一般地，一般地，ABBA，即乘法不滿(mǎn)足交換律。，即乘法不滿(mǎn)足交換律。（2）當(dāng)）當(dāng)AB=BA時(shí)，稱(chēng)時(shí)，稱(chēng)A、B為為可交換矩陣可交換矩陣，或，或稱(chēng)稱(chēng)A、B可交換。此時(shí)，

16、可交換。此時(shí)，A、B必為同階方陣。必為同階方陣。小小結(jié)結(jié)nA與與特別地，有：特別地，有：nnnnnAA EE A，即，即nE可交換?？山粨Q。（8）10120010120111100000（7）1110001000000AB 00AB或或ABACBCBACABC矩陣的乘法運(yùn)算矩陣的乘法運(yùn)算不滿(mǎn)足消去律不滿(mǎn)足消去律矩陣相乘的運(yùn)算規(guī)律：矩陣相乘的運(yùn)算規(guī)律：一般地：一般地： 1ABBA 20AB 3ABACBACA或或若若 A 是方陣，則乘積是方陣，則乘積 .AAA有意義，記作有意義，記作kA稱(chēng)為稱(chēng)為 A 的的 k 次冪。次冪。0A 或或0B BCA BCAB C（1）,AB CACBC,C ABCA

17、CB（2）k ABkA BA kB（3）mm nm nnm nE AAEA（4）00,00m kk nm kk nAA（5）klk lAAAlkk lAA性質(zhì)性質(zhì)線(xiàn)性方程組的矩陣表示法（線(xiàn)性方程組的矩陣表示法（2）11 11221121 1222221 122. .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb（1）若記：若記：12mbbBb111212122212.nnmmmna aaaaaAaaa12nxxXx則方程組（則方程組（1）可記為：）可記為：AXB矩陣矩陣A的轉(zhuǎn)置（見(jiàn)教材的轉(zhuǎn)置（見(jiàn)教材P237定義定義5）,TtAA A或或如如12133121T0 3

18、2 42 0T1111mTnmnaaAaa1111nmmnaaAaa如果如果，則，則112323T 141455T0 223 40矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律：矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律： 1TTAA 2TTTABAB 3TTAA 4TTTABB A驗(yàn)證（驗(yàn)證（4）式：）式：201132A101123210B答案答案08()18210AB A為對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣ijjiaaA為反對(duì)稱(chēng)矩陣為反對(duì)稱(chēng)矩陣,0ijjiiiaaa 反對(duì)稱(chēng)矩陣反對(duì)稱(chēng)矩陣：如果：如果 ，則稱(chēng)矩陣，則稱(chēng)矩陣A為反對(duì)稱(chēng)矩陣。為反對(duì)稱(chēng)矩陣。 TAA 對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣：如果：如果 ，則稱(chēng)矩陣，則稱(chēng)矩陣A為對(duì)稱(chēng)矩陣。為對(duì)稱(chēng)矩陣。 TAA方陣的行列式方陣的行列式1、方陣的行列式、方陣的行列式設(shè)設(shè)A為為n階方陣，則保持階方陣，則保持A的元素及排列方式不變而的元素及排列方式不變而得到的得到的n階行列式，稱(chēng)為方陣階行列式，稱(chēng)為方陣A的行列式，記作的行列式，記作detA或或A（determinant）如如4321A則則24321detA數(shù)表數(shù)表數(shù)值數(shù)值2、方陣的行列式的性質(zhì)、方陣的行列式的性質(zhì)(1) (2) (3)