普朗克黑體輻射公式推導(dǎo)

1、普朗克黑體輻射公式的推導(dǎo)所謂的黑體是指能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對(duì)黑體，簡稱黑體。黑體輻射：由這樣的空腔小孔發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射。輻射熱平衡狀態(tài)：處于某一溫度 T 下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的 輻射能量相等時(shí)，輻射達(dá)到熱平衡狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：熱平衡時(shí)，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對(duì) 溫度 T 有關(guān)而與黑體的形狀和材料無關(guān)。實(shí)驗(yàn)得到:0510亠X (10 cm)1. Wien 公式從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個(gè)分布公式：Wien 公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符 合，長波部分則明顯不一致。能量密度匚d、3ex

2、)( 6/T010能量密度052. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh -Jeans公式Rayleigh-Jea ns 公式在低頻區(qū)和實(shí)驗(yàn)相符，但是在高頻區(qū)公式與實(shí)驗(yàn)不符，并且O0E二Evdv,既單位體積的能量發(fā)散，而實(shí)驗(yàn)測得的黑體輻射的能量密度是0E = T4，該式叫做 Stefan-Bolzmann 公式，二叫做 Stefan-Bolzmann 常數(shù)。3. Planek 黑體輻射定律1900 年 12月 14日 Planek 提出如果空腔內(nèi)的黑體輻射和腔壁原子處于平衡，那么輻射的能量分布與腔壁原子的能量分布就應(yīng)有一種對(duì)應(yīng)。作為輻射原子的模型，Planek 假定：(1) 原子

3、的性能和諧振子一樣，以給定的頻率 v 振蕩；(2)黑體只能以E = hv 為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，而不是象經(jīng)要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量。C31p(hkT) 1該式稱為 Planek 輻射定律h 為普朗克常數(shù)，h=6.626 10”4j.s4,普朗克的推導(dǎo)過程：把空窖內(nèi)的電磁波分解為各個(gè)頻率的簡振振動(dòng)，簡振模的形式最后為k(r,tCkei(K.rwt)，:=1,2表示兩個(gè)互相垂直的偏振方向，C；為常系數(shù)每一個(gè)簡振模在力學(xué)上等價(jià)于一個(gè)自由度，記頻率在、 d內(nèi)的自由度數(shù)為g、小，則(0, v)范圍內(nèi)的總自由度數(shù) G(v)與 g(v)的關(guān)系為G、= g、小。*8兀V32借助幾

4、何方法求出G廠；，取微分得g i d32d3ee令E代表體積為 V 的空窖內(nèi)熱平衡輻射的總內(nèi)能，u；,Td代表單位體積，頻率間隔在E血,、d內(nèi) 的能 量， 于是一二，T小二.；gC)小，間隔在亠dr內(nèi)的振動(dòng)自由度數(shù)。0Z八en=0由此可以知道振子的平均能量與其頻率有關(guān)，能應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理得到平均能量為; = KT 與振子的頻率無關(guān)，代入_ 8_-u v,T d -；g、d、可以得到u v,T d3kT e2，這就是瑞利-金斯公式，在低頻區(qū)和實(shí)驗(yàn)符合，高頻區(qū)嚴(yán)重偏離。8: ,*1J, 8L2Idg.d依舊認(rèn)為他正確，Vc但是能量均分定理不適用，原因在于麥克斯韋一一波爾滋蔓分布不對(duì)，問題

5、出在振子能量取連續(xù)值上。Planek 假定：黑體只能以 E = hv 為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，而 不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，對(duì)于頻率為 v 的振子，其能普朗克熱輻射理論采用的也是波的觀點(diǎn),量只能取一個(gè)最小能量單元的整數(shù)倍即廿二nhl,他認(rèn)為振子的平均分布仍遵從麥克斯韋一一玻爾茲曼分布，即a?G）二ef代表頻率為 v 對(duì)的振子處于能級(jí)；n V的平均數(shù)，于是振子的平均能量為八訂八enn_ _ _ _n_ _ej-e；n，n即-曰心其中Z二e代表頻n=0v 的振子的配分函數(shù)，可以得到代表頻率為-.的振子的平均能量,gr.，v1g2d代表單位體積內(nèi)頻率e-n

6、 hh、z _1ekT-1量均分定理不成立。把上式代入u v,T小-；giT得到:卞7所這就是普朗克輻射公式。e -1臺(tái)匕 冃匕.4片，令 x =hv/kT 得 E 二卑辛-e1e h3xxn=oe -1dx =aT4,其中_8：5k4a15h3e311a 式Wien公式d.；3exp( -C/T)d、.2)當(dāng) v 很小(長波)時(shí)，因?yàn)?exp(hv /kT)-1 1+(h v /kT)-1=(h v /kT),貝 U Planek 定律變?yōu)?Rayleigh-Jeans 公式。dvexp(hv / kT) -1丿普朗克公式- 維恩公式 瑞利金斯公式圖7.5. 1熱輻射譜密度的三種理論5,對(duì) Planek 輻射定律的討論:8二h、3C3（1 ）當(dāng) v 很大（短波）時(shí)，因?yàn)?化為 Wien 公式。exp(hv /kT)-1 exp(hv /kT