理想流體旋渦運(yùn)動(dòng)

1、什么是無(wú)旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)什么是流線第四章 理想流體的旋渦運(yùn)動(dòng)流體的旋渦運(yùn)動(dòng)是自然界普遍存在的一種流動(dòng)現(xiàn)象。例如 臺(tái)風(fēng)、龍卷風(fēng)依然在破壞亞洲、澳洲和美洲的海岸，每年吞噬這成千上萬(wàn)人的生命。由于它的特殊性，人們對(duì)其認(rèn)識(shí)在早期十分模糊，并且?guī)弦环N神秘的色彩。百慕大三角區(qū)的旋渦更使人神秘莫測(cè)，另外旋渦還伴隨有飛機(jī)、艦船等的機(jī)械能損失。另一方面，旋渦有利于人類。現(xiàn)代生物力學(xué)證實(shí)主動(dòng)脈竇內(nèi)血液流動(dòng)形成的蝸旋使主動(dòng)脈瓣在射血結(jié)束時(shí)關(guān)閉，保證了人體血液循環(huán)的正常運(yùn)行；利于三角翼形成的渦旋可增加機(jī)翼的升力；在水壩泄水口，為保證壩基不被急泄而下的水流沖壞，采用消能設(shè)備人為制造渦旋以消耗水流動(dòng)能。渦旋運(yùn)動(dòng)的一些基

2、本概念和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性 (a)圖是圓筒中水隨圓筒一起繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)形成的渦流，此時(shí)水的運(yùn)動(dòng)如同剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)速度和離軸距離成正比 (b)圖是水中插一個(gè)旋轉(zhuǎn)的直圓柱面形成的渦流注意，自由面呈現(xiàn)拋物曲面形狀(c)圖是面漿中插一個(gè)旋轉(zhuǎn)直圓柱形成的渦流，有趣的是面漿會(huì)順著圓柱向上“爬”(d) 圖是流體以一定流速繞過(guò)圓柱時(shí)，圓柱后面將出現(xiàn)兩列交替排列的渦，稱為卡門渦街e) 圖是柱狀渦，旋風(fēng)就是這一類渦流，通常直徑10m，面高達(dá) 1000m(f) 圖是碟狀渦，海洋和大氣層中很多為此類渦流和柱狀渦相反，其直徑達(dá)1000km，而高度約10km(g) 圖是人體主動(dòng)脈竇內(nèi)血液在主動(dòng)脈辯開(kāi)啟時(shí)所形成的渦流，正是這個(gè)渦

3、的作用使主動(dòng)脈瓣在射血結(jié)束時(shí)關(guān)閉渦的這個(gè)作用早已由達(dá) 芬奇指出(h) 圖是銀河系的渦狀結(jié)構(gòu)，天文測(cè)旦證實(shí)了這樣的結(jié)構(gòu)此類結(jié)構(gòu)的星系并不是唯一的，宇宙中成千成萬(wàn)地存在著無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)在圖(a)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無(wú)旋流動(dòng)； 在圖(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)。 在日常生活中也有類似的例子，例如兒童玩的活動(dòng)轉(zhuǎn)椅，當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運(yùn)動(dòng)，但是每個(gè)兒童始終是頭向上，臉朝著一個(gè)方向，即兒童對(duì)地來(lái)說(shuō)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)。判斷流體微團(tuán)無(wú)旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿足0zyx0rotV 流

4、體的流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)決定的。流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過(guò)其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為無(wú)旋流動(dòng)。 這里需要說(shuō)明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)， 4-1 渦量場(chǎng)以及旋渦的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性 rotV速度的旋度稱為流場(chǎng)的速度的旋度稱為流場(chǎng)的渦量渦量 ),(tzyx是矢量流場(chǎng)，稱為渦量場(chǎng) 1 渦線、渦管和渦束渦線、渦管和渦束 1843年年H.L.F赫姆霍茨赫姆霍茨1. 渦線渦線定義定義: 某一瞬時(shí)漩渦

5、場(chǎng)中的一條曲線，曲線上任意一點(diǎn)的某一瞬時(shí)漩渦場(chǎng)中的一條曲線，曲線上任意一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度一致。切線方向與該點(diǎn)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度一致。由定義推導(dǎo)出其微分方程，設(shè)某一點(diǎn)上流體微團(tuán)的瞬時(shí)角速度為由定義推導(dǎo)出其微分方程，設(shè)某一點(diǎn)上流體微團(tuán)的瞬時(shí)角速度為kjizyx取過(guò)該點(diǎn)渦線上的微元矢量為取過(guò)該點(diǎn)渦線上的微元矢量為kdzjdyidxld根據(jù)定義，這兩個(gè)矢量方向一致，矢量積為根據(jù)定義，這兩個(gè)矢量方向一致，矢量積為0，即，即0ldzyxdzdydx這就是渦線的微分方程。這就是渦線的微分方程。 渦面 在渦量場(chǎng)中任取一條非渦線的曲線，過(guò)該曲線的每一點(diǎn)作同一時(shí)刻的渦線，這些渦線將構(gòu)成一個(gè)

6、曲面稱作渦面渦管定義渦管定義: 某一瞬時(shí)，在漩渦場(chǎng)中任取一封閉曲線某一瞬時(shí)，在漩渦場(chǎng)中任取一封閉曲線c(不是渦線不是渦線)，通過(guò)曲，通過(guò)曲線上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成封閉的管形曲面。線上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成封閉的管形曲面。如果曲線如果曲線c構(gòu)成的是微小截面，那么該渦管稱為構(gòu)成的是微小截面，那么該渦管稱為微元渦管微元渦管。橫斷渦。橫斷渦管并與其中所有渦線垂直的斷面稱為渦管斷面，在微小斷面上，管并與其中所有渦線垂直的斷面稱為渦管斷面，在微小斷面上，各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度相同。各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度相同。n/ /n2 渦通量和速度環(huán)量渦通量和速度環(huán)量對(duì)有限面積，則通過(guò)這一面積的對(duì)有限面積，則通過(guò)這一面積

7、的渦通量渦通量定義為定義為AdAJlld速度環(huán)量速度環(huán)量定義定義: 某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中取任意閉曲線某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中取任意閉曲線 ，在線上取一微元線段在線上取一微元線段 ，速度，速度 在在 切線上切線上的分量沿閉曲線的分量沿閉曲線 的線積分，的線積分，即為沿該閉合曲線的速度環(huán)量。即為沿該閉合曲線的速度環(huán)量。開(kāi)爾文開(kāi)爾文1869年年VllldlVldVcoslld速度環(huán)量是標(biāo)量，有正負(fù)號(hào)，規(guī)定沿曲線逆時(shí)針繞行的方速度環(huán)量是標(biāo)量，有正負(fù)號(hào)，規(guī)定沿曲線逆時(shí)針繞行的方向?yàn)檎较?，沿曲線順時(shí)針繞行的方向?yàn)樨?fù)方向。向?yàn)檎较颍厍€順時(shí)針繞行的方向?yàn)樨?fù)方向。速度環(huán)量是旋渦強(qiáng)度的量度，通常用來(lái)描述漩渦場(chǎng)。速度環(huán)

8、量是旋渦強(qiáng)度的量度，通常用來(lái)描述漩渦場(chǎng)。證：流體以等速度證：流體以等速度v0水平方向流動(dòng)，先求沿圖所示的矩形封閉曲水平方向流動(dòng)，先求沿圖所示的矩形封閉曲線的速度環(huán)量，線的速度環(huán)量，000004134231212341bvbv其次求沿圖所示圓周線的速度環(huán)量其次求沿圖所示圓周線的速度環(huán)量0)90cos(coscoscos2002002000drvdrvrdvdsvoKK同樣可證，均勻流中沿任何其他封閉曲線的速度環(huán)量等于零。同樣可證，均勻流中沿任何其他封閉曲線的速度環(huán)量等于零。例題例題1 證明均勻流的速度環(huán)量等于零。證明均勻流的速度環(huán)量等于零。實(shí)際上，速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線K運(yùn)動(dòng)的總的

9、趨勢(shì)的大小，或者說(shuō)所反映的是流體的有旋性。kwj vi uVkzj yi xlddddzwyvxulVddddllzwyvxulV)ddd(d由 Stokes 定理llV dJdAA渦通量J與速度環(huán)量 雖然都能用來(lái)表征旋渦的特性，但是在某些時(shí)況下，利用速度環(huán)量往往更為方便，這是因?yàn)樗俣拳h(huán)量是線積分，被積函數(shù)是速度本身；而渦通量則是面積分，被積函數(shù)是速度的偏導(dǎo)數(shù)再考慮例1 3渦管強(qiáng)度守恒定理AdAJ內(nèi)容：在同一時(shí)刻、同一渦管的各個(gè)截面上，渦通量（渦管強(qiáng)度）都是相同的稱為該瞬時(shí)渦管的強(qiáng)度若 A為某瞬時(shí)渦管的某一橫截面，則渦通量1n2n3n2n1A2A3A321AAAA321321AAAAdAndA

10、ndAndAJ03 n2121AAAdAndAndAJ由 Gauss定理0ddivdAA02121AAdAndAn22nn2121AAdAndAn對(duì)于微元渦管對(duì)于微元渦管11A22A近似認(rèn)為近似認(rèn)為11/ /n22/ /n由渦管強(qiáng)度守恒定理由渦管強(qiáng)度守恒定理1122AA （1）對(duì)于同一微元渦管，截面越小的地方，渦量越大（2）渦管截面不可能收縮到零 (?) 。渦管（渦線）本身首尾相接，形成一封閉的渦環(huán)或渦圈；渦管（渦線）兩端可以終止于所研究流體的邊壁上（固體壁面或自由面）。4-2 Kelvin速度環(huán)量定理 渦管強(qiáng)度守恒定理指出：同一時(shí)刻渦管不同截面的渦通量是相同的，然而Stokes定理又指出任一

11、封閉曲線上的速度環(huán)量等于以該曲線為周界的任意曲面的渦通量。由此，我們知道，同一時(shí)刻繞渦管的任意封閉曲線的速度環(huán)量相等但是，不同時(shí)刻的情況如何呢?下面將討論這個(gè)問(wèn)題1 速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率 首先引出首先引出流體線流體線(也稱為時(shí)間線也稱為時(shí)間線)的概念。（與跡線相關(guān)）的概念。（與跡線相關(guān)）流體線：指在流場(chǎng)中任意指定的一段線，該線段在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始流體線：指在流場(chǎng)中任意指定的一段線，該線段在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終是由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)所組成終是由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。 (體系體系)封閉流體線速度環(huán)量對(duì)時(shí)間的變化率等于此封閉流體線的加速度環(huán)量ddtldldtdVKelvin方程 )()(t

12、dtldltVtdVVldtlddV)()(dldtdVdldtdVdlVdtddVVdldtdV)2(2VddldtdV)(lldlVdtddlVdtddtdllVddldtdV)2(2ldldtdV t時(shí)刻時(shí)刻ttltdtldltVtdVV)(流體線微元流體線微元t 時(shí)刻流體線微元lt + 時(shí)刻流體線微元tdtldl)(tddtldldtdV2 Kelvin環(huán)量定理 正壓性正壓性的的理想理想流體在流體在有勢(shì)的質(zhì)量力有勢(shì)的質(zhì)量力作用下沿任何作用下沿任何封閉流體線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化，即封閉流體線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化，即0dtd體力有勢(shì)體力有勢(shì)gradF流體是正壓的流體是正壓的Pgra

13、dpgrad1pgradFVVtVdtdV1)(PgradgraddtdV()()0lllddVdlgradgradPdldPdtdt 對(duì)于密度函數(shù)僅與壓力有關(guān)的理想流體，當(dāng)體力有勢(shì)時(shí)，沿任何封閉流體線的速度環(huán)量在流體運(yùn)動(dòng)的全部時(shí)間內(nèi)將保持不變由 Kelvin方程1 渦線、渦管和渦束渦線、渦管和渦束2 渦通量和速度環(huán)量的關(guān)系渦通量和速度環(huán)量的關(guān)系3渦管強(qiáng)度守恒定理4 Kelvin定理 4-3 Lagrange定理 在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓理想流體中，在某一時(shí)刻流體內(nèi)的在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓理想流體中，在某一時(shí)刻流體內(nèi)的某一部分內(nèi)沒(méi)有旋渦，則在以前或以后的時(shí)間內(nèi)，該部分流體內(nèi)某一部分內(nèi)沒(méi)有

14、旋渦，則在以前或以后的時(shí)間內(nèi)，該部分流體內(nèi)也不會(huì)有旋渦。也不會(huì)有旋渦。證明：由條件知，在某一時(shí)刻（可認(rèn)為是初始時(shí)刻），在被研究的那部分流體中，處處有 ，則由Stokes公式知 0LlV d0AndA由 Kelvin定理，沿上述任意封閉流體線的速度環(huán)量，在以前或以后的時(shí)間內(nèi)將保持為零A是以封閉流體線L為邊界的流體面再利用由Stokes公式，對(duì)于完全位于所討論的那部分流體中的任何流體曲面A而言，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有LlV d0AAdAndA由于曲面A選取的任意性，故要使上式成立，則必須處處有 02 亥姆霍茲亥姆霍茲(Helmholtz ）方程）方程理想流體運(yùn)動(dòng)中渦量理想流體運(yùn)動(dòng)中渦量 必須滿足的方

15、程必須滿足的方程 。pgradFVVtV1)(pgradFVVgradtV1)2(2)1()()2()(2pgradrotrotFVrotVrotgradtVrottrotVttVrot)()(0)2(2VrotgraddivVVVVrot)()()()(1)1(2pgradgradpgradrot)(1)()(2pgradgradrotFdivVVVt公式11在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓理想流體0rotF0pgradgrad0)()(divVVVt亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程它為動(dòng)力學(xué)方程。優(yōu)點(diǎn)是不出現(xiàn)壓力、體力和密度，而只包含速度它為動(dòng)力學(xué)方程。優(yōu)點(diǎn)是不出現(xiàn)壓力

16、、體力和密度，而只包含速度和渦量和渦量3 關(guān)于旋渦的形成和消失關(guān)于旋渦的形成和消失由Lagrange定理可知，當(dāng)流體滿足下述三個(gè)條件：(1)流體是理想的：(2)流場(chǎng)是正壓的，(3)體力是有勢(shì)的時(shí)，若流體在某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)有旋，則將永遠(yuǎn)有旋；若流體某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則將永遠(yuǎn)無(wú)旋即流場(chǎng)中的旋渦既不會(huì)產(chǎn)生也不會(huì)消失因此，Lagrange定理是判斷流場(chǎng)是否有旋的重要定理（1）無(wú)窮遠(yuǎn)均勻來(lái)流繞流物體的流場(chǎng)是無(wú)旋流場(chǎng)；（2）物體在靜止流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)所造成的流場(chǎng)也是無(wú)旋流場(chǎng)等等但要特別指出的是，如果上述三個(gè)條件中有一個(gè)條件得不到滿足旋渦就既可以產(chǎn)生，也可以消失這說(shuō)明等壓面與等密度面處處重合在實(shí)際流體的流場(chǎng)中，開(kāi)始

17、并不存在旋渦，只是流體繞過(guò)物體或在實(shí)際流體的流場(chǎng)中，開(kāi)始并不存在旋渦，只是流體繞過(guò)物體或流體流經(jīng)特變的邊界時(shí)才產(chǎn)生旋渦。這表明，旋渦既能在流體中流體流經(jīng)特變的邊界時(shí)才產(chǎn)生旋渦。這表明，旋渦既能在流體中產(chǎn)生也會(huì)在流體中消失。產(chǎn)生也會(huì)在流體中消失。粘性粘性是旋渦產(chǎn)生和消失的根本原因。是旋渦產(chǎn)生和消失的根本原因。 流線不能突然折轉(zhuǎn)，因而在圖的物體尾部，必然有一部分流體不能參與主流方向的運(yùn)動(dòng)，而被主流帶動(dòng)產(chǎn)生渦旋這樣就消耗了主流的能量，或者增大了運(yùn)動(dòng)物體的阻力。如果將物體平直的尾部改成圓滑的“流線型”形狀，則可以減小尾部的渦旋，改善運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)力性能，所謂“流線型”就是適應(yīng)流線不能突然折轉(zhuǎn)而采取的減少

18、阻力的措施。在局部裝置處經(jīng)常出現(xiàn)渦旋區(qū)和速度的重新分布。 渦旋區(qū)中，流體不規(guī)則地旋轉(zhuǎn)、碰撞、回流，往往給主流運(yùn)動(dòng)造成巨大的阻礙，消耗主流運(yùn)動(dòng)的能量，導(dǎo)致壓強(qiáng)、水頭、能量的降低，這種渦旋區(qū)的存在是局部阻力的普遍現(xiàn)象。1渦線保持定理渦線保持定理在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓理想流體中，在某一時(shí)刻構(gòu)成渦面、在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓理想流體中，在某一時(shí)刻構(gòu)成渦面、渦線或渦管的流體質(zhì)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)的全部時(shí)間內(nèi)將仍然構(gòu)成渦面、渦線或渦管的流體質(zhì)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)的全部時(shí)間內(nèi)將仍然構(gòu)成渦面、渦線或渦管渦線或渦管 （正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)

19、點(diǎn)組成的渦管。遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。）4-4 渦線及渦管強(qiáng)度保持定理渦線及渦管強(qiáng)度保持定理 （亥姆霍茲旋渦定理）（亥姆霍茲旋渦定理）在初始時(shí)刻流體渦面 上，任取一個(gè)封閉流體線L為周界的流體曲面 A，依據(jù)渦面的定義和Stokes公式 *ALlV d0AndA考慮以后任意時(shí)刻 ,*A*1AL1LLdlVdtddtd0LLdlVdlV1LdlV010LdlV由 Stokes公式01AndA首先證明渦面的保持性：在初始時(shí)刻組成渦面的流體質(zhì)點(diǎn)，在以后任一時(shí)刻也永遠(yuǎn)組成渦面因?yàn)橹芫€ 可取任意小，而且它可位于 面上的任意位置，因此在 面上任一點(diǎn)都應(yīng)有 1L1A1A0n即 為渦面1A渦管永遠(yuǎn)保持為

20、由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。渦面永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦面。渦面永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦面。下面證明渦線保持定理下面證明渦線保持定理在初始時(shí)刻取一渦線 ，通過(guò) 作兩個(gè)相交的渦面 與 LLaAbA以后任一時(shí)刻1taA1aAbA1bAL1L由渦面保持定理 都是渦面bA1bA所以 是渦線 1L流體質(zhì)點(diǎn)凍結(jié)在渦線上隨渦線一起運(yùn)動(dòng)。流體質(zhì)點(diǎn)凍結(jié)在渦線上隨渦線一起運(yùn)動(dòng)。2 渦管強(qiáng)度保持定理渦管強(qiáng)度保持定理 在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓理想流體中任何渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓理想流體中任何渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化，永遠(yuǎn)保持定值。間而變化，永

21、遠(yuǎn)保持定值。11LAndlVdAJ由Kelvin定理，沿上述封閉流體周線的速度環(huán)量在運(yùn)動(dòng)的全部時(shí)間內(nèi)保持不變0dtd再由渦管表面保持性，渦管強(qiáng)度在運(yùn)動(dòng)中永遠(yuǎn)保持不變01dAdtddtdJAn渦管強(qiáng)度守恒定理渦管強(qiáng)度守恒定理 ？ 例 在理想、不可壓縮流體的定常流動(dòng)中，若體力有勢(shì)，試證明：（1） 對(duì)于平面流動(dòng)，沿流線渦量保持不變（2） 對(duì)于 的軸對(duì)稱流動(dòng)， 沿流線保持不變0Vr證明：對(duì)于平面流動(dòng)，存在kwz00在流動(dòng)平面（xy）上，任取一小流管（寬度為一個(gè)單位的流層）在流管中做面積為 的微元渦管，根據(jù)渦管強(qiáng)度保持定理121A2Axy1A2211AA根據(jù)連續(xù)性方程 21AA因?yàn)榱黧w不可壓縮 21AA

22、 常量21所以 沿流線 沿流線渦量 總與z軸平行，且數(shù)值不變。所以渦量 沿流線保持不變（2）對(duì)于 的軸對(duì)稱流動(dòng)，存在 因此0V0eezVrVrotVrz)(r11A2Axr在流管中做面積為 的微元渦管，根據(jù)渦管強(qiáng)度保持定理1A2211AA對(duì)于不可壓縮流體，根據(jù)質(zhì)量守恒原理，組成上述環(huán)形渦管的流體質(zhì)量應(yīng)守恒 221122ArAr1221rrAA常量2221rrr2 4-5 旋渦的形成 形成旋渦的原因可能是以下三個(gè)中的一個(gè)：（1）流體是非理想的 （2）流體是非正壓的 （3）體力是無(wú)勢(shì)的 1 流體是非正壓時(shí)旋渦的形成 仍考慮 流體是理想的，體力是有勢(shì)的gradpgraddtdV1 由Kelvin 方

23、程LLLLLddpdlgraddlpgraddldtdVdtd11 由此得Ldpdtd1Ldpdtd1比容為了闡明上述方程右端項(xiàng)放入意義，下面引進(jìn)等壓等容管概念 p=常量稱為等壓面 =常量稱為等容面對(duì)于正壓情況， 等壓面和等容面是重合的)(pp 對(duì)封閉流線L但對(duì)于非正壓情況，等壓面和等容面彼此相交的作一系列單位間距的等壓面和等容面,將流體空間分為一系列管子,稱為單位等壓-等容管DACDBCABLpdpdpdpdpd1在AD、BC上，p恒定， dp=0在AB、DC上， 恒定1) 1() 1(00101000001ppppLdpdppd11Lpd負(fù)單位管積分環(huán)行方向?yàn)樨?fù)；正單位管；積分環(huán)行方向?yàn)檎?/p>

24、111Lpd1NpdL當(dāng)周線L包含N1個(gè)正的單位等壓-等容管當(dāng)周線L包含N2個(gè)負(fù)的單位等壓-等容管2NpdL010p10ABCD0ppgradgrad對(duì)于ABCD的周線 1Lgradp到grad 為正方向1L2L個(gè)負(fù)的只包圍個(gè)正的只包圍2211NLNLL2121NNpdpdpdLLL21NNdtdBjerknes定理(伯耶克內(nèi)斯) 如果流體是理想的，且體力是有勢(shì)的，則沿著任何封閉流體線L的速度環(huán)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)將等于穿過(guò)此周線L的正的與負(fù)的單位等壓-等容管數(shù)目之差llV dJdAA對(duì)于處在有勢(shì)體力作用下的理想、非正壓流體，通過(guò)任何流體面A的渦通量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)將等于穿過(guò)該流體面力的正的與負(fù)的單位等

25、壓等容管數(shù)目之差 由于速度環(huán)量刻劃了漩渦的性質(zhì)，所以，等壓面與等容面的相交便是旋渦形成的原因之一他們發(fā)現(xiàn)，每年的11月到第二年的3月，風(fēng)總是從東北方的大陸上吹來(lái)，拂動(dòng)著海水向西南流去。這時(shí)的海上總是晴空萬(wàn)里，積云和雨水都很少。4月至11月則恰恰相反，出現(xiàn)西南風(fēng)，驅(qū)趕著云濤和海流不斷馳向東北方，海上的雷雨也比較多。 橫渡印度洋的辦法找到了！說(shuō)起來(lái)道理很簡(jiǎn)單，只消掌握住風(fēng)向和海流的變化規(guī)律，就能定期揚(yáng)帆到遠(yuǎn)方去貿(mào)易，并能按時(shí)順風(fēng)返回故鄉(xiāng)。夏、秋兩季，可以利用西南風(fēng)直航印度；冬、春季兩行，再順著東北風(fēng)返回阿拉伯半島和非洲。 依靠季風(fēng)的幫助，他們十分順利地建立起了和非洲、印度的聯(lián)系。接著，印度和波斯的

26、船只也出現(xiàn)在這條航線上。由于這種按季節(jié)而變化的定向風(fēng)幫了商船隊(duì)的大忙，所以人們就把它稱作貿(mào)易風(fēng)貿(mào)易風(fēng) 信風(fēng)信風(fēng)。貿(mào)易風(fēng)貿(mào)易風(fēng)假定地球是圓球，在高度相同的地方壓力相同，即等壓面是以地心為中心的球面；由于太陽(yáng)對(duì)地球表面照射強(qiáng)度不同，同一高度，赤道要比北極溫度高。因此，沿球面從北極向赤道溫度逐步升高，根據(jù)氣體狀態(tài)方程RTp可以看到，比容 由北極向赤道逐步增大；此外，在同一地點(diǎn)，高度越高，空氣越稀薄，比容也越大。所以等容面不是球面，而是自赤道到北極向上傾斜。這樣，沿 到 有正的單位等壓等容管，即 。從而是空氣沿地面從北緯流向南緯，在赤道上升，然后再?gòu)纳蠈恿骰乇本暎诒本曁幵傧陆档降孛妗＿@種環(huán)流就是貿(mào)易

27、風(fēng)pgradgrad0 dtd3 體力無(wú)勢(shì)的時(shí)漩渦的產(chǎn)生假設(shè)理想流體，但不正壓。以地球表面上大氣運(yùn)動(dòng)為例說(shuō)明體力無(wú)勢(shì)時(shí)漩渦的產(chǎn)生考慮地球自轉(zhuǎn)，在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中流體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為)(21rervapgradFdtdv)2(22RgradaeR為所研究的流體質(zhì)點(diǎn)到地球自轉(zhuǎn)軸的距離地球引力有勢(shì)gradF)(21)2(22rrvpgradRgraddtdvLrLLrdlvdlpgraddldtdvdtd)(21第一項(xiàng)反映對(duì)速度環(huán)量變化的影響，將產(chǎn)生貿(mào)易風(fēng)由于貿(mào)易風(fēng)，在圓周L上每一點(diǎn)將有自北緯到南緯運(yùn)動(dòng)的速度，L逆時(shí)針為正RLrvdl0)()(dlvdlvrr所以Coriolis力無(wú)勢(shì)將使即隨著時(shí)間的增

28、長(zhǎng)， 將減小0dtd這樣，就產(chǎn)生按順時(shí)針?lè)较蛴蓶|向西的 風(fēng)。因此，貿(mào)易風(fēng)將不是嚴(yán)格地自北向南吹，而是自東北向西南吹 LrLLrdlvdlpgraddldtdvdtd)(214.6 由渦量場(chǎng)和散度場(chǎng)決定速度場(chǎng) 流動(dòng)區(qū)域出現(xiàn)漩渦時(shí)，流動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生變化。所以確定漩渦引起的速度場(chǎng)常常是重要的。5.3 由渦量場(chǎng)決定速度場(chǎng) 設(shè)在流場(chǎng)中，同時(shí)存在渦旋場(chǎng)和散度場(chǎng) （1） VrotqVdiv,其中 分別為已知的速度散度和渦量函數(shù)，現(xiàn)要求這散度和渦量場(chǎng)所決定的速度場(chǎng)V),(tzyxqq ),(tzyx1 基本方程的歸結(jié) 由流體與物面即不分離又不滲透的條件可知，物面上流體的法向速度 應(yīng)等于物體本身的法向速度 ，即w

29、nV)(wwnV wnV)(wwnV 將速度V分解為三部分 （3）aveVVVV （2）將（3）式帶入基本方程（1）和邊界條件（2）qVVVdivave)()(aveVVVrotwwwavenVnVVV)(0eeVrotqVdiv它們可分解為vvVrotVdiv0wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(000eeVrotqVdiv必存在速度勢(shì)eeegradVqe2以上三組方程和邊界條件與原基本方程及邊界條件的提法是完全等價(jià)的對(duì) 而言，相當(dāng) 于求滿足Poisson任一特解e第一組方程vvVrotVdiv0必存在矢量勢(shì)vBvvBrotV)(vBrotrotvvBdivBgrad

30、2)(若假定 稍后說(shuō)明含義0vBdivvB2對(duì) 而言，也相當(dāng) 于求滿足Poisson任一特解vB0eeVrotqVdiv它們可分解為vvVrotVdiv0wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(0015式第二組方程wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(00這是一組無(wú)散度和無(wú)旋的流動(dòng)。由無(wú)旋條件 必存在速度勢(shì)aaagradV代入無(wú)散度條件02a所對(duì)應(yīng)的邊界條件wwvwewwawanVVVnVn)()()(式中的 與 由第一組和第二組方程的特解給出weV )(wvV )(因此，求已知散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)引起的流動(dòng)，可以歸結(jié)為求解兩個(gè)與散度和旋度有關(guān)的Poisso

31、n方程的特解，以及一個(gè)Laplace方程及其邊界條件的解下面僅討論給定旋度場(chǎng)的不可壓縮流動(dòng)（第二組方程）Laplace方程第三組方程0vBdivvB2給定旋度場(chǎng)的不可壓縮流動(dòng)相當(dāng)于給定旋度場(chǎng)的無(wú)散度流動(dòng)vB2是矢量型泊松方程，有解drtBv),(41),(t為渦量場(chǎng)dd d d 222)()()(zyxr為積分元到所感應(yīng)點(diǎn)的距離 現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)源所在的點(diǎn)M的坐標(biāo)為( )，其強(qiáng)度為，要求它在M點(diǎn)以外任一點(diǎn)P(x,y,z)處所定的邊度場(chǎng),d),(第二組方程對(duì)應(yīng)的誘導(dǎo)速度場(chǎng)為drtrotrotBVvv),(41drtrotdrtrotrotBVvv),(41),(4132)1()(rrrrgradrgradrrotdrrVv341（4-56）0vBdiv的力學(xué)含義041dArnBdivAv對(duì)于任意一點(diǎn)，要求在邊界 A上，處處滿足0