球的表面積和體積

1、球的表面積與體積-集中訓練球:球的半徑是R，則其體積,其表面積；球的半徑（R），截面圓半徑（），球心到截面的距離為（）構成直角三角形，因而有關系：，它們是計算球的關鍵所在。球的組合體: (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.請各位同學推導： 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.1、在三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為 ()2、(2015·山西四校聯(lián)考，15)已知一

2、個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為_【解析】設該三棱錐的外接球的半徑是R.依題意得，該三棱錐的形狀如圖所示，其中AB平面BCD，AB2，CD2，BCBD2，BCBD，因此可將其補形成一個棱長為2的正方體，則有2R2，R，所以該三棱錐的外接球體積為×()34.3、(2015·課標，10，中)已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90°，C為該球面上的動點若三棱錐O­ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為() A36 B64 C144 D256【答案】C設球O的半徑為R，由題知當OC平面OAB時，三棱錐O

3、3;ABC的體積最大，VOABCR336，所以R6，所以S球4R2144.4、(2012·課標全國，8，中)平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A. B4 C4 D6【答案】B如圖，設平面截球O所得圓的圓心為O1，則|OO1|，|O1A|1，球的半徑R|OA|. 球的體積VR34.故選B.5、(2014·大綱全國，10，中)正四棱錐的頂點都在同一球面上若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A. B16 C9 D.【答案】A由題意易知，球心在正四棱錐的高上，設球的半徑為R，則(4R)2()2R2，解得R，所以球的表面積為4&

4、#215;，故選A.6、(2013·天津，10，中)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上若球的體積為，則正方體的棱長為_【解析】設正方體的棱長為a，則正方體的外接球半徑Ra.因為球的體積為，所以·R3，即Ra，所以a.7、(2013·課標，15，難)已知正四棱錐O­ABCD的體積為，底面邊長為，則以O為球心，OA為半徑的球的表面積為_【解析】設底面中心為E，則|AE|·|AC|，體積V|AB|2·|OE|OE|，|OA|2|AE|2|OE|26.從而以O為球心，OA為半徑的球的表面積S4·|OA|224.8、(2013

5、83;課標，15)已知H是球O的直徑AB上一點，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為 解析：平面截球O所得截面為圓面，圓心為H，設球O的半徑為R，則由AHHB12得OHR，由圓H的面積為，得圓H的半徑為1，所以12R2，得R2，所以球O的表面積S4R24·.9、(2013·課標，6)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為()A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm3 解析：設球的半徑為R，則球的截面圓的半徑

6、是4，且球心到該截面的距離是R(86)R2，故R2(R2)242R5.VR3(cm3)10、(2015·四川綿陽一模，7)如圖所示，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將表面積為4的雞蛋(視為球體)放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.【答案】D蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為1，雞蛋的表面積為4，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為d.而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為.11、(2015·遼寧沈陽一模，6)已知四面體P

7、73;ABC的四個頂點都在球O的球面上，若PB平面ABC，ABAC，且AC1，PBAB2，則球O的表面積為()A7 B8 C9 D10【答案】CPB平面ABC，ABAC，在四面體的基礎上構造長方體如圖，可知長方體的外接球與四面體的外接球相同，長方體的對角線就是外接球的直徑，即2R3，R，球O的表面積S4R24×912、(2015·河南駐馬店調(diào)研，13)在三棱柱ABC­ABC中，已知AA平面ABC，AA2，BC2，BAC，且此三棱柱的各個頂點都在一個球面上，則球的體積為_【解】依題意可知，球心到平面ABC的距離為AA1，平面ABC所在圓的半徑為BC，則球的半徑為2，

8、則球的體積為××23.13、(2014·寧夏銀川質(zhì)檢，10)已知矩形ABCD的面積為8，當矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把ACD折起，則三棱錐D­ABC的外接球表面積等于_【解析】設矩形的兩鄰邊長度分別為a，b，則ab8，此時2a2b48，當且僅當ab2時等號成立此時四邊形ABCD為正方形，其中心到四個頂點的距離相等，均為2，無論怎樣折疊，其四個頂點都在一個半徑為2的球面上，這個球的表面積是4×2216.14、若兩個球的表面積之比為,則這兩個球的體積之比為（）ABCD15、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此

9、幾何體的外接球的體積為 。16、已知長方體ABCD-A1B1C1D1的側面積和體積分別為12和24,且AB=AD,求該長方體外接球的表面積 .解析:設AB=a,AA1=b,則a2b=12,4ab=24,解得a=2,b=3,設長方體外接球的半徑為r,則4r2=22+22+32=17,所以長方體外接球的表面積S表=4r2=17.17、高和底面直徑相等的圓柱的表面積和球O的表面積相等,則該圓柱與球O的體積之比為A.23 B.21 C.13 D.32解析:設圓柱底面半徑為r1,球O的半徑為r2,由題意得6r12=4r22,故r1r2=23, 則V柱V球=2r1343r23=23.18、若一個底面是正三

10、角形的三棱柱的正視圖如圖所示,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為A.163 B.1912 C.193 D.43解析:由正視圖可得該三棱柱的底面邊長為2,高為1,易得底面外接圓的半徑等于233,設該球的半徑為r,則r2=(12)2+(233)2=14+43=1912,該球的表面積為4×1912=193. 答案:C19、已知A、B、C、D是表面積為6的球O上的四點,且DA平面ABC,三角形ABC是B=90°的等腰直角三角形,且AC=2,則VD-ABC的體積為. 解析:由條件可求得球O的半徑R=62,BC=AB=2,可證得球心O為DC的中點,則DC為球O的直徑,則DC=6,在直角三角形DAC中,DA=DC2-AC2=2,所以VD-ABC=13×2×12×2×2=23. 答案:2320、直三棱柱的六個頂點都在球的球面上，若，則球的表面積為（ ）A B C D 21、三棱錐的側棱兩兩垂直且長度分別為2cm，2cm，1cm，則其外接球的表面積是 cm222、邊長是的正內(nèi)接于體積是的球，則球面上的點到平面的最大距離為 .第10題圖23、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為AA BC D24、某幾何體的三視圖如圖，其頂點都在球O的球面