高中數(shù)學(xué)函數(shù)的極值典型例題

1、.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例求下列函數(shù)的極值：1 f ( x) x3 12 x ； 2 f (x) x2e x ； 3 f ( x)2x2.x21分析： 按照求極值的基本方法，首先從方程f ( x)0 求出在函數(shù)f (x) 定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值解： 1函數(shù)定義域為 Rf( )3x2 123(x2)(x2).x令 f ( x) 0 ，得 x2 當(dāng) x2 或 x2 時， f ( x)0 ，函數(shù)在, 2和 2,上是增函數(shù)；當(dāng) 2x2 時， f ( x)0，函數(shù)在（ 2， 2）上是減函數(shù)當(dāng) x2 時，函數(shù)有極大值f (2) 16，當(dāng) x2 時，函數(shù)有極

2、小值f ( 2)16.2函數(shù)定義域為 R f (x)2xe xx2e xx(2x)e x令 f ( x) 0 ，得 x0 或 x 2當(dāng) x0 或 x2 時， f (x)0，函數(shù)f ( x)在,0和2,上是減函數(shù)；當(dāng) 0 x 2 時， f ( x) 0 ，函數(shù)f ( x) 在（ 0， 2）上是增函數(shù)當(dāng) x0 時，函數(shù)取得極小值f (0)0 ，當(dāng) x2 時，函數(shù)取得極大值f (2)4e 2 3函數(shù)的定義域為Rf ( x)2(1 x2 )2x 2x2(1 x)(1 x).( x 21)2( x21) 2;.令 f( x) 0 ，得 x 1當(dāng) x1或 x1時， f ( x)0 ，函數(shù) f ( x) 在

3、, 1和 1,上是減函數(shù)；當(dāng)1 x 1 時， f ( x)0 ，函數(shù) f ( x) 在（ 1， 1）上是增函數(shù)當(dāng) x1 時，函數(shù)取得極小值f ( 1)3 ，當(dāng) x1 時，函數(shù)取得極大值 f (1)1.說明： 思維的周密性是解決問題的基礎(chǔ)，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性解答本題時應(yīng)注意f (x0 ) 0 只是函數(shù)f ( x) 在 x0 處有極值的必要條件， 如果再加之 x0 附近導(dǎo)數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在 x0 處取得極值反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤復(fù)雜函數(shù)的極值例求下列函數(shù)的極值：1 f ( x)3x2 (

4、x5) ； 2 f ( x)x2x6 .分析： 利用求導(dǎo)的方法，先確定可能取到極值的點，然后依據(jù)極值的定義判定在函數(shù) f ( x) 的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點”，除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導(dǎo)的點這兩類點就是函數(shù)f ( x) 在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點”解： 1 f ( x)2(x5)3x22( x 5) 3x5( x2) .33 x33 x33x令 f( x) 0 ，解得 x2，但 x0也可能是極值點當(dāng) x0 或 x2 時， f (x)0，函數(shù) f ( x) 在,0和 2,上是增函數(shù)；當(dāng) 0 x 2 時， f ( x) 0 ，函數(shù) f ( x)

5、在（ 0， 2）上是減函數(shù);.當(dāng) x0 時，函數(shù)取得極大值f (0) 0 ，當(dāng) x2時，函數(shù)取得極小值f (2)33 4x2x 6, ( x2或 x 3),2 f ( x)x6,(2x3),x22x 1, (x2或 x3), f( x)2x1, (2x3),不存在 , (x2或 x3).令 f( x)0 ，得 x122 或 1當(dāng) xx3 時， f (x)0 ，2函數(shù) f ( x) 在, 2和1,3上是減函數(shù)；2當(dāng) x3 或 2 x10，時， f (x)2函數(shù) f ( x) 在 3,和2,1上是增函數(shù)2當(dāng) x2 和 x 3 時，函數(shù) f ( x) 有極小值0，當(dāng) x1時，函數(shù)有極大值25 24說

6、明：在確定極值時， 只討論滿足f (x0 )0 的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號變化情況，確定極值是不全面的在函數(shù)定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點處也可能存在極值本題1 中 x 0 處， 2 中x 2 及 x 3 處函數(shù)都不可導(dǎo)， 但 f (x) 在這些點處左右兩側(cè)異號， 根據(jù)極值的判定方法，函數(shù) f (x) 在這些點處仍取得極值從定義分析，極值與可導(dǎo)無關(guān)根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例已知 f ( x)ax3bx2cx(a0) 在 x1 時取得極值，且f (1)1 1試求常數(shù)a、b、c 的值；2試判斷 x1 是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由分析： 考察函數(shù)f (x) 是實數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點，再

7、通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點必為f ( x)0 的根建立起由極值點x1 所確定的相關(guān)等;.式，運用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c 的值解： 1解法一：f ( x)3ax 22bxc x 1是函數(shù) f (x) 的極值點， x1 是方程 f ( x)0 ，即 3ax22bxc0 的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得2b（1）0,3ac1,（ 2）3a又 f (1)1 ， abc1，（3）由（ 1）、（2）、（3）解得 a1,b0,c322解法二：由f (1)f(1)0得3a2bc0，（ 1）3a2bc0（ 2）又 f (1)1 ， abc1，（3）解（ 1）、（ 2）、（3）得 a1 , b0, c3222 f ( x)1 x33 x ， f ( x)3 x23 3 ( x 1)( x 1).22222當(dāng)x或x1時， f ( x)0 ，當(dāng)1x1時， f ( x) 0.1函數(shù) f ( x) 在, 1和 1,上是增函數(shù)，在（1， 1）上是減函數(shù)當(dāng) x1時，函數(shù)取得極大值f (1)1，當(dāng) x1 時，函數(shù)取得極小值f (1)1 說明： 解題的成功要靠正確思路的選擇本題從逆向思維的角