202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.1空間幾何體的三視圖、面積和體積課件

1、第八章立體幾何8.1空間幾何體的三視圖、面積和體積高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (浙江專用)A A組自主命題組自主命題浙江卷題組浙江卷題組五年高考1.(2019浙江,4,4分)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家,他提出的“冪勢既同,則積不容異”稱為祖暅原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積,h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該柱體的體積(單位:cm3)是()A.158B.162C.182D.324答案答案B本題考查空間幾何體的三視圖、直觀圖;以三視圖還原直觀圖為背景考查學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力;體現(xiàn)直觀想象的核心素養(yǎng);以祖暅原理為背景旨在弘揚中

2、華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,指導(dǎo)學(xué)生樹立正確的歷史觀、民族觀、國家觀.由三視圖知該柱體的直觀圖為如圖所示的五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1,取CD中點G,連接AG,由側(cè)視圖知AGCD,AG=6,底面積S=S梯形AGCB+S梯形AGDE=(2+6)3+(4+6)3=27,該柱體體積V=Sh=276=162.故選B.1212解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵正確利用正視圖與俯視圖“長對正”的原理確定AG,BC的長.2.(2018浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案答案C本題考查空間幾何體的三視圖和直觀圖以及幾何體的體積公式.由三視圖可知

3、該幾何體是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底邊的長分別為1cm,2cm,高為2cm,直四棱柱的高為2cm.故直四棱柱的體積V=22=6cm3.122思路分析思路分析(1)利用三視圖可判斷幾何體是直四棱柱;(2)利用“長對正,高平齊,寬相等”的原則,可得直四棱柱的各條棱長.3.(2017浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+3223232答案答案A本題考查三視圖和直觀圖,三棱錐和圓錐的體積計算.由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1cm,高為3cm的半個圓錐和三棱錐S-ABC組成的,如圖,三棱錐的高為

4、3cm,底面ABC中,AB=2cm,OC=1cm,ABOC.故其體積V=123+213=cm3.故選A(2015浙江,2,5分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm3323403答案答案C該幾何體是由棱長為2的正方體和底面邊長為2,高為2的正四棱錐組合而成的幾何體.故其體積為V=222+222=cm3.133235.(2016浙江,14,4分)如圖,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大值是.解析解

5、析連接PA,取PA的中點N,連接BN,DN,PD=DA,PB=BA,DNPA,BNPA,又DNBN=N,PA面BDN,PABD,過A作AMBD,交BD的延長線于M,連接PM,又PAAM=A,BD面PAM,又BD面ABC,面PAM面ABC,過P作PHAM,垂足為H,又面PAM面ABC=AM,PH面ABC,即PH為四面體PBCD的高.設(shè)PD=AD=x(0 x0),則EF=x,連接FC,由題意可得FC=.在PAC中,cosAPC=3=.在PEC中,EC2=PC2+PE2-2PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx=x2+2,在FEC中,CEF=90,FC2=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,

6、x=,PA=PB=PC=2x=.AB=BC=CA=2,三棱錐P-ABC的三個側(cè)面為等腰直角三角形,PA、PB、PC兩兩垂直,故球O是棱長為的正方體的外接球,設(shè)球O的半徑為R,則2R=,R=,球O的體積V=R3=.故選D.22244424xxx22212xx22212xx22223262436解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵三棱錐與球的切、接問題,關(guān)鍵是確定三棱錐的特殊性.本題中確定三棱錐的側(cè)棱長是關(guān)鍵.通常情況下,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題后通過解三角形完成,充分利用平行、垂直的特殊位置關(guān)系更有利于解題.2.(2018課標(biāo)全國文,10,5分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB

7、1C1C所成的角為30,則該長方體的體積為()A.8B.6C.8D.8223答案答案C本題主要考查長方體的體積及直線與平面所成的角.如圖,由長方體的性質(zhì)可得AB平面BCC1B1,BC1為直線AC1在平面BCC1B1內(nèi)的射影,AC1B為直線AC1與平面BCC1B1所成的角,即AC1B=30,在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=2,在RtBCC1中,CC1=2,該長方體的體積V=222=8,故選C.3221BCBC22(2 3)2222易錯警示易錯警示不能準(zhǔn)確理解線面角的定義,無法找出直線與平面所成的角,從而導(dǎo)致失分.方法總結(jié)方法總結(jié)用定義法求線面角的步驟:(1)找出斜線上的某一點

8、在平面內(nèi)的射影;(2)連接該射影與直線和平面的交點即可得出線面角;(3)構(gòu)建直角三角形,求解得出結(jié)論.3.(2018課標(biāo)全國文,12,5分)設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,ABC為等邊三角形且其面積為9,則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A.12B.18C.24D.5433333答案答案B本題考查空間幾何體的體積及與球有關(guān)的切接問題.設(shè)等邊ABC的邊長為a,則有SABC=aasin60=9,解得a=6.設(shè)ABC外接圓的半徑為r,則2r=,解得r=2,則球心到平面ABC的距離為=2,所以點D到平面ABC的最大距離為2+4=6,所以三棱錐D-ABC體積的最大值為96=18,故選

9、B.1236sin603224(2 3)1333方法總結(jié)方法總結(jié)解決與球有關(guān)的切、接問題的策略:(1)“接”的處理:構(gòu)造正(長)方體,轉(zhuǎn)化為正(長)方體的外接球問題.空間問題平面化,把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中,作出適當(dāng)截面(過球心,接點等).利用球心與截面圓心的連線垂直于截面定球心所在直線.(2)“切”的處理:體積分割法求內(nèi)切球半徑.作出合適的截面(過球心,切點等),在平面上求解.多球相切問題,連接各球球心,轉(zhuǎn)化為處理多面體問題.4.(2017課標(biāo)全國理,8,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為()A.B.C.D.3424答案答案B本題考查

10、球的內(nèi)接圓柱的體積.設(shè)圓柱的底面半徑為r,則r2+=12,解得r=,V圓柱=1=,故選B.21232232345.(2017北京文,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A.60B.30C.20D.10答案答案D本題考查三視圖的相關(guān)知識,三棱錐體積的計算,考查學(xué)生的空間想象能力.根據(jù)三視圖將三棱錐P-ABC還原到長方體中,如圖所示,VP-ABC=354=10.故選D.13126.(2016課標(biāo)全國,10,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4B.C.6D.92323答案答案B易知A

11、C=10.設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則68=(6+8+10)r,所以r=2,因為2r=43,所以最大球的直徑2R=3,即R=.此時球的體積V=R3=.故選B.1212324392評析評析本題考查了球的體積公式和空間想象能力.弄懂“當(dāng)球面與柱體的側(cè)面或底面相切時體積最大”是求解的關(guān)鍵.7.(2015重慶,5,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.+B.+C.+2D.+213231323答案答案A由三視圖知,該幾何體是一個三棱錐與半個圓柱的組合體.V=V三棱錐+V圓柱=211+122=+.選A.1213121213評析評析本題考查三視圖、棱錐與圓柱的體積公式,屬容易題.8

12、.(2015課標(biāo),6,5分)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案答案B設(shè)圓錐底面的半徑為R尺,由2R=8得R=,從而米堆的體積V=R25=(立方尺),因此堆放的米約有22(斛).故選B.1416141332033203 1.629.(2015湖南,10,5分)某工件

13、的三視圖如圖所示,現(xiàn)將該工件通過切削,加工成一個體積盡可能大的長方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi),則原工件材料的利用率為材料利用率=()A.B.C.D.新工件的體積原工件的體積8916934( 21)312( 21)答案答案A原工件是一個底面半徑為1,高為2的圓錐,依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長方體,且落在圓錐底面上的面是正方形,設(shè)正方形的邊長為a,長方體的高為h,則0a,0h0)cm,則ABC的面積為a2cm2,點O到ABC三邊的距離都為acm,DBC的高為cm,則正三棱錐的高為=cm,25-a0,0a5,所得三棱錐的體積V=a2=cm3.令t=25a4-a5,則t=1

14、00a3-a4,由t=0,得a=4(滿足0a5),易知此時所得三棱錐的體積最大,為4cm3.解法二:由題意知折起以后所得三棱錐的直觀圖如圖所示,連接CO并延長交AB于H,連接DO、DH.則DO平面ABC.3436356a2233566aa5 3253a5 33313345 3253a312455 3253aa5 3325 333315令OH=xcm,則OC=2xcm,DH=(5-x)cm,得OD=cm,AB=2xcm.則VD-ABC=x2=x2cm3,令f(x)=x2,則f(x)=,則當(dāng)x(0,2)時,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(2,2.5)時,f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時,體積取最大值,為4

15、=4cm3.22(5)xx25 10 x31312 332xx25 10 x325 10 x1552x1552x152125252xxxx215(105)52xxx3515方法總結(jié)方法總結(jié)求解立體幾何中的最值問題.在求解立體幾何中的最值問題時,注意先要引入自變量,再根據(jù)幾何體的點、線、面的位置關(guān)系,表示幾何體中的相關(guān)量,進(jìn)而建立起目標(biāo)函數(shù),最后,利用函數(shù)的性質(zhì)來求解最值.10.(2016江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4

16、倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉庫的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,則當(dāng)PO1為多少時,倉庫的容積最大?解析解析(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因為A1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=A1PO1=622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).(2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則0h6,O1O=4h(m).連接O1B1.因為在RtPO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).

17、1321B1321B21O21B222a于是倉庫的容積V=V柱+V錐=a24h+a2h=a2h=(36h-h3),0h6,從而V=(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=2或h=-2(舍).當(dāng)0h0,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)2h6時,V0),則r24+r28=,解得r2=7,從而r=.131963131963713.(2017課標(biāo)全國文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90.(1)證明:直線BC平面PAD;(2)若PCD的面積為2,求四棱錐P-ABCD的體積.127解析解析本題考查線面平行的判定和體

18、積的計算.(1)證明:在平面ABCD內(nèi),因為BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC 平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中點M,連接PM,CM.由AB=BC=AD及BCAD,ABC=90得四邊形ABCM為正方形,則CMAD.因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因為CM底面ABCD,所以PMCM.12設(shè)BC=x,則CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.取CD的中點N,連接PN,則PNCD,所以PN=x.因為PCD的面積為2,所以xx=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2

19、,AD=4,PM=2.所以四棱錐P-ABCD的體積V=2=4.23142712214273132 (24)233考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點基礎(chǔ)題組考點基礎(chǔ)題組1.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷,2)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A.B.C.D.12131618答案答案C根據(jù)三視圖可知該三棱錐的直觀圖為如圖所示的P-ABC.所以V=111=,故選C.1213162.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(三),4)已知幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體

20、的表面積為()A.24+B.24+C.24+2D.24+322答案答案C根據(jù)三視圖可以判斷出該幾何體是棱長為2的正方體與一個半徑為,高為2的圓柱的組合體,故其表面積S=226+22=24+2.故選C.12123.(2019浙江杭州二模(4月),5)九章算術(shù)卷五商功中有如下問題:今有芻甍(音meng,底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w),下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈,問積幾何?已知該芻甍的三視圖如圖所示,則此芻甍的體積等于()A.3B.5C.6D.12答案答案B由題圖還原出該空間幾何體的直觀圖,如圖.易知該幾何體的體積是與其對應(yīng)的直三棱柱體積的,故體積V=314=5,故選B.5656124.

21、(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(四),11)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的四個側(cè)面中,直角三角形的個數(shù)為,體積是.答案答案3;2解析解析由三視圖還原為直觀圖如圖所示,由圖易知PAB,PAD,PBC為直角三角形,故四個側(cè)面中,共有3個直角三角形,其體積V=S梯形ABCDAP=2.135.(2019浙江嵊州高三上期末,13)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是,最長棱的長度為.答案答案;1436解析解析由三視圖知該幾何體為四棱臺,如圖所示,其體積V=h(S1+S2+)=2(11+22+)=(h為四棱臺的高,S1為正方形EFGH的面積,S2為正方形ABCD的面積),易知最長的棱為AE,

22、AE=.1312S S131 1 22 14322( 2)26易錯警示易錯警示(1)在三視圖中不區(qū)分虛線與實線,將直接影響實物圖形的判斷;(2)由三視圖求原幾何體的某棱長、表面積時不能正確確定幾何體表面的構(gòu)成,從而誤判各面的特點.1.(2019浙江金麗衢第二次聯(lián)考,4)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積為()A.cm2B.2cm2C.(2+1)cm2D.(2+2)cm22222考點二空間幾何體的表面積考點二空間幾何體的表面積答案答案B由三視圖可知,該幾何體是由同底的兩個圓錐組成的,圓錐的底面半徑為1,高為1,所以母線長為,該幾何體的表面積為兩個圓錐的側(cè)面積和,所以表面積

23、S=221=2cm2,選B.21222方法總結(jié)方法總結(jié)由三視圖還原幾何體:(1)根據(jù)主視圖和左視圖確定幾何體前、后與左、右側(cè)面的圖形形狀;(2)根據(jù)俯視圖確定底面的形狀;(3)根據(jù)三視圖中線的虛實確定幾何體的凹凸.易錯警示易錯警示(1)在三視圖中要注意區(qū)分虛線與實線,在繪制三視圖時,若相鄰幾何體的兩表面相交,表面的交線是它們的分界線,分界線和可見輪廓線都用實線畫出,被擋住的輪廓線用虛線畫出;(2)根據(jù)組合體三視圖還原直方圖時,可能因分析不清組合體是采用什么形式組合的而不能正確還原.2.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(二),11)九章算術(shù)中,將底面是等腰直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”,已知某“塹

24、堵”的三視圖如圖所示,則該“塹堵”的側(cè)面積為.答案答案4+42解析解析由題圖可知該三棱柱的側(cè)棱長為2,底面是底邊長為2,高為1的等腰直角三角形.故其側(cè)面積為22+22=4+4.223.(2019浙江寧波北侖中學(xué)高三模擬(一),12)已知某個幾何體的三視圖如圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:cm),可得這個幾何體的體積為,表面積為.答案答案;2(3+)8325解析解析由三視圖還原為立體圖,如圖.故其體積V=42=,表面積S=4+2+2+2=2(3+).138352254.(2019浙江金華十校聯(lián)考(4月),13)某幾何體的三視圖如圖所示,正視圖為腰長為1的等腰直角三角形,側(cè)視圖、俯視圖均為邊長為1的

25、正方形,則該幾何體的表面積是,體積是.答案答案+;2323213解析解析根據(jù)三視圖將幾何體P-ABCD還原到正方體中,如圖.其表面積S=312+1+=+,體積V=1=.122342( 2)3223213222131.(2019浙江紹興數(shù)學(xué)調(diào)測(3月),3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.B.8C.D.48 2324 232考點三空間幾何體的體積考點三空間幾何體的體積答案答案C由三視圖易知,該幾何體為半個圓錐.V=222=cm3,故選C.121324 232.(2019浙江諸暨高三上期末,4)某幾何體的三視圖如圖所示,其側(cè)視圖是一個邊長為2的正三

26、角形,則該幾何體的體積是()A.B.C.D.8 332 3316343答案答案A用兩條過該幾何體兩個頂點且平行于豎直側(cè)邊的直線將幾何體分為兩個四棱錐和一個三棱柱.每個四棱錐的體積為2=,三棱柱體積為2=2.故該幾何體的體積為2+2=,故選A.1312333333338 333.(2019浙江高考“超級全能生”聯(lián)考(2月),12)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是cm3,表面積是cm2.答案答案16;8+4+2426解析解析本題考查幾何體的三視圖、體積、表面積.易知該幾何體是一個底面為直角梯形,一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,所以該幾何體的體積V=4=16(cm3),表面積為

27、+=8+4+24(cm2).13(42)42(42)424 424 224 4 224 32 22264.(2019浙江金華十校高三上期末,14)一個棱柱的底面是邊長為6的正三角形,側(cè)棱與底面垂直,其三視圖如圖所示,則這個棱柱的體積為,此棱柱的外接球的表面積為.答案答案36;643解析解析由題意可知,該三棱柱是一個直三棱柱,且底面是邊長為6的正三角形,則底面積S=62sin60=9,該三棱柱的高h(yuǎn)=4,所以該三棱柱的體積V=Sh=94=36.設(shè)該三棱柱底面的外接圓半徑為r,則由正弦定理可知,該三棱柱底面的外接圓直徑為2r=4,設(shè)外接球的半徑為R,則其外接球的直徑為2R=8,所以R=4,因此,此

28、棱柱的外接球的表面積為4R2=442=64.123336sin60322(2 ) rh解后反思解后反思本題考查球體表面積的計算;考查柱體體積的計算;考查公式的靈活應(yīng)用,屬于中檔題.計算出棱柱的底面積,利用柱體體積公式可得出柱體的體積;先利用正弦定理求出底面的外接圓直徑2r,再利用公式2R=可計算出外接球的半徑R,最后利用球體表面積公式可得出外接球的表面積.22(2 ) rhB B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組時間:15分鐘分值:30分一、選擇題(每小題4分,共8分)1.(2019浙江寧波高三上期末,6)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.+B.+C.1+D.1+1312134412答案答案D根據(jù)已知可得該幾何體為四分之一個圓錐,與三棱柱的組合體.其中圓錐的底面半徑為1,高為1,故四分之一圓錐的體積為1=;三棱柱的底面是兩直角邊分別為1和2的直角