信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)（Word）

1、No. 3.22信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱課程英文名稱Mathematical Analysis、理論學(xué)時(shí)250、實(shí)踐學(xué)時(shí)0 一、課程的性質(zhì)與任務(wù)教學(xué)分析是數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)及信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課。它為進(jìn)一步學(xué)習(xí)微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)以及概率論等后繼課程打下一定的基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生樹立辯證唯物主義思想和觀點(diǎn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和較強(qiáng)的抽象思維能力。本課程是以極限為工具，研究函數(shù)的微分和積分的一門學(xué)科，其主要內(nèi)容包括極限論、一元微積分理論、多元微積分和級(jí)數(shù)等四大部分。理論學(xué)時(shí)共274學(xué)時(shí)，分三學(xué)期完成：數(shù)數(shù)學(xué)分析I*90學(xué)時(shí)；數(shù)學(xué)分析II

2、*70學(xué)時(shí)；數(shù)學(xué)分析III*90學(xué)時(shí)。通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生達(dá)到：一、對極限思想和極限方法有深刻的認(rèn)識(shí)，從而樹立辯證唯物主義觀點(diǎn)。二、掌握數(shù)學(xué)分析的基本知識(shí)和基本理論，能熟練地進(jìn)行基本運(yùn)算（如求極限、導(dǎo)數(shù)、微分和積分等），并具有一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，以及分析論證能力。三、能應(yīng)用微積分方法解決一定的實(shí)際問題。二、 數(shù)學(xué)分析I*課程內(nèi)容、目的要求學(xué)時(shí)分配（總學(xué)時(shí)90）（一）函數(shù) 6學(xué)時(shí)1熟練掌握函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù)等概念。2會(huì)求函數(shù)的定義域。3了解函數(shù)的各種表示法，掌握分析（或解析）表示法,特別對分段表示的函數(shù)要很好地理解。4熟悉基本初等函

3、數(shù)，初等函數(shù)。（二）極限 30學(xué)時(shí)1掌握數(shù)列極限、函數(shù)極限、無窮小量、無窮大量及確界概念，對極限的否定形式要有所了解。2會(huì)用“-N”，“-”，“-A”方法處理極限問題。3對下述性質(zhì)與定理要求能準(zhǔn)確地?cái)⑹霾?huì)證明。唯一性、有界性、保號(hào)性、收斂定理和海涅定理。4能運(yùn)用四則運(yùn)算法則、兩邊夾定理、單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理及兩個(gè)重要極限熟練地求極限。5理解無窮小量、無窮大量的概念，并會(huì)用無窮小量、無窮大量的性質(zhì)及等價(jià)無窮小處理極限問題。（三）連續(xù)函數(shù) 10學(xué)時(shí)1理解點(diǎn)連續(xù)、單側(cè)連續(xù)與區(qū)間上連續(xù)的定義；理解間斷點(diǎn)及其分類的概念。理解保號(hào)性，有界性，四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。2能準(zhǔn)確敘述并

4、會(huì)證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性，有界性，最值定理，一致連續(xù)定理（一致連續(xù)性定理的證明不作要求）。1 / 63了解初等函數(shù)的連續(xù)性。（四）實(shí)數(shù)的連續(xù)性 8學(xué)時(shí)1熟悉區(qū)間套定理，確界概念，確界存在定理，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理，聚點(diǎn)原理，收斂準(zhǔn)則，有限覆蓋定理的條件結(jié)論，會(huì)證明這些定理。2會(huì)用上述定理處理一些相關(guān)問題。（五）導(dǎo)數(shù)與微分 12學(xué)時(shí)（一）目的要求1掌握導(dǎo)數(shù)（包括單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)）的概念，掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。2能熟練地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義與四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本公式表，隱函數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)方程求導(dǎo)法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3會(huì)求一些函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。4理解微分的定義，微分的幾何意義，微

5、分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分法則，一階微分形式的不變性，會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算。（六）微分學(xué)中值定理及泰勒公式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 24學(xué)時(shí)1能正確敘述并證明費(fèi)爾馬引理，羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。2會(huì)用中值定理解決相關(guān)問題。3會(huì)求一些簡單函數(shù)的泰勒展開式。4能熟練地應(yīng)用洛畢大法則求不定型的極限。其它形式的不定型轉(zhuǎn)化成以上兩種形式的不定型5，了解函數(shù)單調(diào)性判別法。理解函數(shù)單調(diào)的充要條件，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充要條件，會(huì)應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。6理解極值概念，極值判別法，最大值與最小值概念，能熟練地求函數(shù)的極值和最大（小）值。7理解函數(shù)的凹凸性，拐點(diǎn)，漸近線的有關(guān)概念，會(huì)判別函數(shù)的凹凸，會(huì)求拐點(diǎn)坐

6、標(biāo)，能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)較正確地作出函數(shù)的圖像。三、 數(shù)學(xué)分析II*課程內(nèi)容、目的要求學(xué)時(shí)分配（總學(xué)時(shí)70）（七）不定積分 16學(xué)時(shí)1掌握原函數(shù)與不定積分的概念，熟記基本積分表，理解線性運(yùn)算法則。2熟練地掌握換元積分法與分部積分法。3掌握有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式的積分，并會(huì)利用它來求一些函數(shù)的積分。4掌握一些可化為有理函數(shù)的積分。（八）定積分 14學(xué)時(shí)1掌握定積分概念。2可積的必要條件，理解大和與小和及其性質(zhì)，可積的充要條件。3理解可積的充要條件，并能應(yīng)用它判斷或證明一些函數(shù)的可積性（包括可積函數(shù)類）。4定積分的性質(zhì)。熟悉定積分的線性，有限可加性，單調(diào)性，絕對可積性，積分中值定理。5理解可變上限的

7、定積分的性質(zhì)并能熟練的處理相關(guān)問題。6能熟練地應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式、換元積分法和分部積分法計(jì)算6定積分。7了解定積分的近似計(jì)算方法。（九）定積分的應(yīng)用 10學(xué)時(shí) 1會(huì)用微元法解決幾何物理中的一些問題。2定積分在幾何上的應(yīng)用。掌握平面圖形的面積，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，曲線的弧長與曲率。3了解定積分在物理上的應(yīng)用。求壓力、功、靜力矩、重心。（十）級(jí)數(shù) 30學(xué)時(shí)（1） 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1掌握無窮級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散、和、絕對收斂及條件收斂等概念。2能掌握收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)（包括絕對收斂與條件收斂的性質(zhì)）。3熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法。4掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的狄利克雷

8、、阿貝耳判別法。5了解級(jí)數(shù)的重排性質(zhì)（黎曼定理不證明）。（2） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1理解收斂域、極限函數(shù)、和函數(shù)和一致收斂等概念。2重點(diǎn)理解優(yōu)級(jí)數(shù)判別法、狄利克雷判別法、阿貝耳判別法； 3理解函數(shù)列的極限函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、可積性（逐項(xiàng)積分）與可微性（逐項(xiàng)微分）。會(huì)用性質(zhì)處理一些相關(guān)問題。（3） 冪級(jí)數(shù)1正確理解冪級(jí)數(shù)、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的概念，了解函數(shù)可展成泰勒級(jí)數(shù)條件。2掌握冪級(jí)數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性，和函數(shù)的連續(xù)性，可積性（逐項(xiàng)積分）與可微性（逐項(xiàng)微分）。3會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域的求法。4能用冪級(jí)數(shù)做某些近似計(jì)算。 （4） 福里哀級(jí)數(shù)1掌握三角函數(shù)系的正交性與

9、函數(shù)的福里哀級(jí)數(shù)的概念。2能了解福里哀級(jí)數(shù)收斂性判別法。3能將一些函數(shù)展成福里哀級(jí)數(shù)（包括只含正弦或余弦的展開）。四、 數(shù)學(xué)分析III*課程內(nèi)容、目的要求學(xué)時(shí)分配（總學(xué)時(shí)90）（十一）多元函數(shù)及其連續(xù)性 10學(xué)時(shí)（一）目的要求1掌握平面點(diǎn)集（鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、界點(diǎn)、邊界、開集、閉集與區(qū)域）的一些基本概念，多元函數(shù)的極限，累次極限以及連續(xù)性等概念。2了解閉區(qū)域套定理、聚點(diǎn)原理、有限覆蓋定理以及多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（十二）多元函數(shù)微分學(xué) 15學(xué)時(shí)1掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)等概念。2掌握全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)三者之間的關(guān)系。3會(huì)求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（包括高階）、全微分、方向?qū)?shù)。4理解極值和

10、最值的概念，掌握極值的必要條件，充分條件，會(huì)求多員函數(shù)的極值和某些函數(shù)的最大（?。┲?。5了解函數(shù)全微分的幾何意義。（十三）隱函數(shù) 14學(xué)時(shí)1 了解隱函數(shù)、函數(shù)行列式、條件極值的概念。2 能用隱函數(shù)存在定理判別隱函數(shù)的存在性，會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。3理解條件極值的概念及Lagrange's乘數(shù)法。會(huì)求多元函數(shù)的條件極值。4會(huì)求曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程。（十四）反常積分與含有參變量的積分 15學(xué)時(shí)1掌握廣義積分（無窮積分、瑕積分）收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念。2能用收斂性判別法判斷一些廣義積分的斂散性。3理解含有參變量積分的概念和分析性質(zhì)，了解-函

11、數(shù)、-函數(shù)的性質(zhì)。4能用收斂性判別法判斷一些廣義含參積分的斂散性。（十五）重積分 18學(xué)時(shí)1理解二重積分與三重積分的概念。2了解二重積分與三重積分的性質(zhì)。3掌握二重積分化為累次積分的方法，能應(yīng)用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。能將三重積分化為累次積分，并利用柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分。4會(huì)求一些圖形的面積、體積以及一些物體的質(zhì)量和重心。（十六）曲線積分與曲面積分 18學(xué)時(shí)1理解第一型曲線積分、第二型曲線積分的定義、性質(zhì)，掌握第一型曲線積分與第二型曲線積分的計(jì)算方法，了解第二型曲線積分與第一型曲線積分的關(guān)系；掌握格林公式及曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件。2理解第一型曲面積分、第二型曲面積分的定義、性質(zhì)。掌握第一型曲面積分與第二型曲面積分的計(jì)算方法，了解第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系；理解奧高公式,了解斯托克斯公式。3了解場論初步。五本課程是重慶三峽學(xué)院核心課程六課程使用的教材和主要參考書：使用教材：劉玉璉，數(shù)學(xué)分析講義（上、下冊），東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社出版。主要參考書：1、謝惠民等，數(shù)學(xué)分析講義（上、下冊），蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社出版。2、陳紀(jì)修等，數(shù)學(xué)分析（上、下冊），復(fù)