流體力學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、流體力學(xué)復(fù)習(xí)提綱學(xué)習(xí)重點(diǎn)四個(gè)基本：基本概念（術(shù)語(yǔ)）、基本原理（方法）、基本方程（公式）、基本計(jì)算（應(yīng)用）復(fù)習(xí)思考題；自測(cè)題；習(xí)題第一章 緒論基本要求v 理解流體的主要物理性質(zhì)，特別是粘滯性和牛頓內(nèi)摩擦定律；v 理解連續(xù)介質(zhì)假設(shè)和流體質(zhì)點(diǎn)的概念；v 理解理想流體和實(shí)際流體、可壓縮流體和不可壓縮流體的概念；v 掌握作用在流體上的質(zhì)量力、表面力的概念和表示方法。1-1 流體力學(xué)的任務(wù)及其發(fā)展簡(jiǎn)史1、流體力學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容流體在外力作用下，靜止與運(yùn)動(dòng)的規(guī)律；流體與邊界的相互作用。流體力學(xué)研究流體的宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是宏觀力學(xué)的一個(gè)獨(dú)特分支。2、流體力學(xué)的研究方法和數(shù)學(xué)方法（1）研究方法：理論分析（Theo

2、retical analysis）；實(shí)驗(yàn)研究（Experimental study）；數(shù)值模擬（Numerical simulation）。（2）數(shù)學(xué)方法（Mathematical method）：矢量分析(vector analysis)；場(chǎng)論（Field theory）。1-2 流體的主要物理力學(xué)性質(zhì)（力學(xué)模型）1、流體的基本特性 流動(dòng)性流體（氣體和液體）區(qū)別于固體的主要物理特性是易于流動(dòng)。流體幾乎不能承受拉力，沒(méi)有抵抗拉伸變形的能力。流體能承受壓力，具有抵抗壓縮變形的能力。流體不能承受集中力，只能承受分布力。運(yùn)動(dòng)流體具有抵抗剪切變形的能力，這種抵抗體現(xiàn)在限制剪切變形的速率而不是大小上，這

3、就是流體的粘滯性。流體在靜止時(shí)不能承受剪切力、抵抗剪切變形。流體只有在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，才能抵抗剪切變形。只要有剪切力的作用，流體就不會(huì)靜止下來(lái)，發(fā)生連續(xù)變形而流動(dòng)。作用在流體上的剪切力不論多么微小，只要有足夠的時(shí)間，便能產(chǎn)生任意大的變形。2、流體質(zhì)點(diǎn)概念和連續(xù)介質(zhì)假設(shè)（1）流體質(zhì)點(diǎn)概念宏觀（流體力學(xué)處理問(wèn)題的尺度）上看，流體質(zhì)點(diǎn)足夠小，只占據(jù)一個(gè)空間幾何點(diǎn)，體積趨于零。微觀（分子自由程的尺度）上看，流體質(zhì)點(diǎn)是一個(gè)足夠大的分子團(tuán)，包含了足夠多的流體分子，以致于對(duì)這些分子行為的統(tǒng)計(jì)平均值將是穩(wěn)定的，作為表征流體物理特性和運(yùn)動(dòng)要素的物理量就定義在流體質(zhì)點(diǎn)上。（2）理解流體質(zhì)點(diǎn)

4、概念的含義流體質(zhì)點(diǎn)宏觀尺寸充分小，微觀尺寸足夠大。流體質(zhì)點(diǎn)是構(gòu)成流體的最小單元。流體可以看成是由相互之間無(wú)任何間隙的大量的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。由流體質(zhì)點(diǎn)的性質(zhì)，便引出連續(xù)介質(zhì)的概念。（3）流體微團(tuán)流體中任意小的微元，包含了大量流體質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)微元體積充分小并以某坐標(biāo)點(diǎn)為極限時(shí)，流體微團(tuán)就成為處于這個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)。流體微團(tuán)的概念在流體力學(xué)中有著重要價(jià)值。（4）連續(xù)介質(zhì)假設(shè)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)將流體區(qū)域看成由流體質(zhì)點(diǎn)連續(xù)組成，占滿空間而沒(méi)有間隙，其物理特性和運(yùn)動(dòng)要素在空間是連續(xù)分布的，在流場(chǎng)中每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)空間點(diǎn)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是近似的、宏觀的假設(shè)，連續(xù)介質(zhì)概念的提出來(lái)自數(shù)學(xué)上的要求，它為建立流場(chǎng)

5、的概念奠定了基礎(chǔ)，也為數(shù)學(xué)工具（微積分、場(chǎng)論）的應(yīng)用提供了依據(jù)，使用該假設(shè)的力學(xué)統(tǒng)稱為“連續(xù)介質(zhì)力學(xué)”。除了個(gè)別情形外，在流體力學(xué)中使用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)（即把流體可看成是連續(xù)介質(zhì)）是合理的，實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)而建立起來(lái)的流體力學(xué)理論是正確的。3、流體的粘滯性（1）流體粘性概念的表述運(yùn)動(dòng)流體具有抵抗剪切變形的能力，就是粘滯性，這種抵抗體現(xiàn)在剪切變形的快慢（速率）上。發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的流體質(zhì)點(diǎn)（或流層）之間所呈現(xiàn)的內(nèi)摩擦力以抵抗剪切變形（發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的物理特性稱為流體的黏性或黏滯性。黏性是指發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)流體內(nèi)部呈現(xiàn)的內(nèi)摩擦力特性。在剪切變形中，流體內(nèi)部出現(xiàn)成對(duì)的切應(yīng)力，稱為內(nèi)摩擦應(yīng)力，來(lái)抵抗

6、相鄰兩層流體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。粘性是流體的固有屬性。但理想流體分子間無(wú)引力，故沒(méi)有黏性；靜止的流體因?yàn)闆](méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)而不表現(xiàn)出黏性。（2）牛頓內(nèi)摩擦定律切應(yīng)力剪切（角）變形速率：(，能否說(shuō)明是理想流體？靜止的粘性流體)動(dòng)力粘度系數(shù)（，動(dòng)力學(xué)量綱）；運(yùn)動(dòng)黏度（，運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱），。當(dāng)溫度升高時(shí)，液體的粘性降低，而氣體的粘性增大。牛頓內(nèi)摩擦定律適用條件：一維、層流、牛頓流體。應(yīng)用牛頓內(nèi)摩擦定律的相關(guān)計(jì)算：平移和旋轉(zhuǎn)縫隙內(nèi)的剪切流動(dòng)。牛頓流體與非牛頓流體4、理想流體假設(shè)理想流體假設(shè)是忽略粘性影響的假設(shè)，可近似反映粘性作用不大的實(shí)際流動(dòng)，粘性作用不大是相對(duì)于其它因素的作用而言的。忽略粘性影響實(shí)際上就是忽略切應(yīng)

7、力，由于m是流體的客觀屬性，所以往往是在變形速率不大的區(qū)域?qū)?shí)際流體簡(jiǎn)化為理想流體。理想流體假設(shè)給流體問(wèn)題的處理帶來(lái)很大的方便，可以大大簡(jiǎn)化理論分析過(guò)程。5、流體的壓縮性和膨脹性（Compressibility & Expansibility）（1）壓縮性定義為流體的體積隨壓力的增大而變小的特性。用體積壓縮系數(shù)或體積彈性模數(shù)表示。體積壓縮性系數(shù)：；體積彈性模數(shù)：。E 越大，越不易被壓縮。（2）膨脹性通常稱熱膨脹性，是指在壓強(qiáng)不變的情況下，流體體積隨溫度升高而增大的特性。可用體積膨脹系數(shù)單位溫度的體積相對(duì)變化率表示。體積膨脹系數(shù)：。越大，越易膨脹。（3）與液體相比，氣體通常具有顯著的壓縮

8、性和膨脹性。6、不可壓縮流體假設(shè)不可壓縮流體同樣是流體力學(xué)中的重要假設(shè)模型之一。為研究問(wèn)題方便，規(guī)定等溫條件下，壓縮系數(shù)和體積膨脹系數(shù)等于零的流體為不可壓縮流體，即忽略不可壓縮流體假設(shè)忽略壓縮性和膨脹性。對(duì)于不可壓縮流體有：，。在絕大多數(shù)情況下，不可壓縮流體的密度為常數(shù)。從嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，只有不可壓縮、均質(zhì)流體的密度才為常數(shù)。一般情況下可將液體看作不可壓縮流體，只有在某些特殊情況下，如水下爆炸、水擊、熱水采暖等問(wèn)題時(shí)，才必須考慮壓縮性和膨脹性。盡管氣體的壓縮性和膨脹性比較顯著，但當(dāng)氣流速度遠(yuǎn)小于音速時(shí)，密度變化不大，仍可采用不可壓縮流體假設(shè)。7、液體的表面張力特性（1）表面張力由于分子間引力作

9、用，在液體的自由表面上產(chǎn)生極其微小的拉力，稱為表面張力。表面張力只發(fā)生在液體與氣體、固體或者與另一種不相混合的液體的界面上。表面張力的作用使液體表面有盡量縮小的趨勢(shì)，從而使表面積最小。表面張力現(xiàn)象是常見的自然現(xiàn)象，如水滴和氣泡的形成、液體的霧化，毛細(xì)管現(xiàn)象等。表面張力的大小用液體表面上單位長(zhǎng)度所受拉力來(lái)度量，用表面張力系數(shù)s 表示。表面張力方向垂直長(zhǎng)度方向，沿著自由表面切向。表面張力很小，例如水在200C時(shí)的表面張力為0.0728N/m，一般可以不予考慮。但在液面曲率半徑很小時(shí)，表面張力有時(shí)可達(dá)到不可忽略的程度。（2）毛細(xì)管現(xiàn)象將直徑很小兩端開口的細(xì)管豎直插入液體中，由于表面張力的作用，管中的

10、液面會(huì)發(fā)生上升或下降的現(xiàn)象，稱為毛細(xì)管現(xiàn)象。毛細(xì)管現(xiàn)象中液面究竟上升還是下降，取決于液體與管壁分子間的吸引力（附著力）與液體分子間的吸引力（內(nèi)聚力）之間大小的比較：附著力>內(nèi)聚力，液面上升；附著力<內(nèi)聚力，液面下降。由液體重量與表面張力的鉛垂分量相平衡，確定毛細(xì)管中液面升降高度，。為減小毛細(xì)管現(xiàn)象引起誤差，測(cè)壓用的玻璃管內(nèi)徑應(yīng)不小于10mm。1-3 作用在流體上的力流體不能承受集中力，只能承受分布力。分布力按表現(xiàn)形式又分為：質(zhì)量力、表面力。1、質(zhì)量力(mass force，body force)質(zhì)量力是指作用在隔離體內(nèi)每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)上的力，其大小與流體質(zhì)量成正比。對(duì)均質(zhì)流體也稱為體積

11、力。質(zhì)量力是一種遠(yuǎn)程力。最常見的質(zhì)量力是重力(Gravity)、慣性力（Iinertia force）。單位質(zhì)量力（即單位質(zhì)量流體所承受的質(zhì)量力）矢：，單位質(zhì)量力具有加速度的單位（m/s2）。當(dāng)質(zhì)量力僅為重力時(shí)，在直角坐標(biāo)系中（z軸向上）：。2、表面力表面力是指作用在隔離體表面上的力，其大小與受力作用的表面面積成正比。表面力是相鄰流體或其他物體對(duì)隔離體作用的結(jié)果。表面力分布在流體面上，是一種接觸力。常見的表面力有壓力（法向力）、切向力、表面張力(surface tension)。定義表面力的面積密度，即單位面積上流體所承受的表面力為應(yīng)力(N/m2，Pa)，。應(yīng)力是矢量，可分解成法向應(yīng)力（或）和

12、切應(yīng)力（）。凡談及應(yīng)力，應(yīng)注意明確以下四個(gè)要素：² 哪一點(diǎn)的應(yīng)力（空間位置）作用點(diǎn)；² 哪個(gè)方位作用面（一般用作用面的法線方向表征）上的應(yīng)力作用面；² 作用面的哪一側(cè)流體是研究對(duì)象（表面力的受體），從而決定法線的指向受力側(cè)；² 應(yīng)力在哪個(gè)方向上的分量作用方向。附：流體力學(xué)課程中使用的單位制一些重要物理量的數(shù)值（見第一章課件）。第二章 流體靜力學(xué)基本要求v 掌握流體靜壓強(qiáng)的概念及其特性，掌握流體靜壓強(qiáng)的計(jì)測(cè)和表示方法；v 掌握流體平衡微分方程，了解流體的絕對(duì)和相對(duì)平衡；v 熟練進(jìn)行重力場(chǎng)中靜止流體壓強(qiáng)分布和平面與曲面上靜水總壓力計(jì)算。² 流體靜力

13、學(xué)(fluid statics)研究流體的平衡規(guī)律，由平衡條件求靜壓強(qiáng)分布，并求靜水總壓力。² 靜止是相對(duì)于坐標(biāo)系而言的，不論相對(duì)于慣性系中的絕對(duì)靜止或非慣性系中的相對(duì)靜止的情況，流體質(zhì)點(diǎn)之間均沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此粘性將不起作用，所以流體靜力學(xué)的討論不須區(qū)分流體是實(shí)際流體還是理想流體。2-1 流體靜壓強(qiáng)特性1、流體靜壓強(qiáng)的兩個(gè)基本特性靜壓強(qiáng)作用的垂向性：靜止流體的應(yīng)力只有內(nèi)法向分量靜壓強(qiáng)（靜止流體內(nèi)的壓應(yīng)力）。靜壓強(qiáng)的各向等值性：靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無(wú)關(guān)靜壓強(qiáng)是標(biāo)量函數(shù)。2、靜壓強(qiáng)場(chǎng)靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)只須用一個(gè)靜壓強(qiáng)標(biāo)量場(chǎng)來(lái)描述，有了這個(gè)靜壓強(qiáng)場(chǎng)，即可知道在任意一個(gè)作用點(diǎn)、以任意

14、方位為法向的面元上的應(yīng)力為：。2-2 流體平衡微分方程1、平衡微分方程的推導(dǎo)：靜止流體中取微元體各坐標(biāo)方向微元體受力分析（質(zhì)量力、表面力）列各坐標(biāo)方向的受力平衡方程。2、平衡微分方程歐拉平衡方程（1775）（1）分量形式： （2）矢量形式： 其中：，。（3）全微分（標(biāo)量）形式：或3、平衡微分方程的物理意義（1）靜壓強(qiáng)場(chǎng)的梯度的三個(gè)分量是壓強(qiáng)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)，它反映了標(biāo)量場(chǎng)在空間上的不均勻性(inhomogeneity)。（2）流體的平衡微分方程實(shí)質(zhì)上反映了靜止（平衡）流體中質(zhì)量力和壓差力之間的平衡。（3）靜壓強(qiáng)對(duì)流體受力的影響是通過(guò)壓差來(lái)體現(xiàn)的。4、有勢(shì)力場(chǎng)中的靜壓強(qiáng)在有勢(shì)力場(chǎng)（如重

15、力場(chǎng)）中，存在質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)，其全微分等于單位質(zhì)量力所作的功：，質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)表示單位質(zhì)量流體的勢(shì)能，稱為質(zhì)量力勢(shì)能。2-3 重力場(chǎng)中液體的平衡1、重力作用下的平衡方程 z軸鉛垂向上，流體均質(zhì)、不可壓縮（認(rèn)為密度近似為常數(shù)）。，2、靜壓強(qiáng)分布規(guī)律或?yàn)樽杂梢好嬉韵碌纳疃?，。重力?chǎng)中連通的同種靜止液體中：壓強(qiáng)隨位置高程z線性變化；等壓面是水平面，與質(zhì)量力（重力）垂直；測(cè)壓管高度是常數(shù)。3、絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空（1）壓強(qiáng)記值的零點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）不同，有不同的名稱：絕對(duì)壓強(qiáng)：以完全真空為零點(diǎn)。相對(duì)壓強(qiáng)（）：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽榱泓c(diǎn)。真空壓強(qiáng)：相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值稱為真空壓強(qiáng)。在液體指定以后高度也可度量壓強(qiáng)

16、，稱為液柱高。特別地，將水柱高稱為水頭(head)。把真空壓強(qiáng)轉(zhuǎn)換成水柱高表示，稱為真空度。4、位置水頭、壓強(qiáng)水頭、測(cè)壓管水頭與能量守恒（1）位置水頭：以任取水平面為基準(zhǔn)面，鉛垂向上為正。（2）壓強(qiáng)水頭：以大氣壓為基準(zhǔn)，用相對(duì)壓強(qiáng)代入計(jì)算。（3）測(cè)壓管水頭：在內(nèi)有液體的容器壁選定測(cè)點(diǎn)，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測(cè)壓管。測(cè)壓管內(nèi)的靜止液面上，其液面高程即為測(cè)點(diǎn)處的，所以叫測(cè)壓管水頭。測(cè)靜壓只須一根測(cè)壓管。（4）各項(xiàng)水頭也可理解成單位重量液體的能量：位置勢(shì)能，壓強(qiáng)勢(shì)能，總勢(shì)能。（5）液體的平衡規(guī)律表明：位置水頭（勢(shì)能）與壓強(qiáng)水頭（勢(shì)能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和 測(cè)壓管水頭

17、（總勢(shì)能）是保持不變的。5、測(cè)壓原理（1）用測(cè)壓管測(cè)量測(cè)壓管的一端接大氣，可得到測(cè)壓管水頭，再利用液體的平衡規(guī)律，可知連通的靜止液體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)，包括測(cè)點(diǎn)處的壓強(qiáng)。如果連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過(guò)渡。（2）用比壓計(jì)測(cè)量在連通的靜止流體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)都不知道的情況下，也可利用流體的平衡規(guī)律，知道其中任何二點(diǎn)的壓差。尤其注意等壓面的選取。注意：流體的平衡規(guī)律必須在連通的靜止流體區(qū)域（如測(cè)壓管中）應(yīng)用，不能用到管道中去，因?yàn)楣艿乐械牧黧w可能是在流動(dòng)的（動(dòng)壓強(qiáng)與靜壓強(qiáng)不同）。2-4 靜止液體作用在物體表面上的總壓力作用在物體表面A上的總壓力：；完整的總壓力求解

18、包括其大小、方向、作用點(diǎn)。1、靜止液體作用在平面上的總壓力平行力系的合成：作用力垂直于作用面，指向沿作用面的內(nèi)法線方向。靜壓強(qiáng)在平面上分布不均勻，沿鉛垂方向呈線性分布。（1）壓力圖法求矩形平面上的靜水總壓力矩形平面單位寬度受到的靜水總壓力是壓力分布圖的面積。矩形平面受到的靜水總壓力通過(guò)壓力分布圖的形心。三角形壓力分布圖的形心距底。梯形壓力分布圖的形心距底。（2）分析法求任意形狀平面上的靜水總壓力總壓力的大小其中，作用面對(duì)x軸的靜面矩?？倝毫Φ淖饔命c(diǎn)D： 作用面對(duì)x軸的慣性矩；作用面對(duì)形心軸x0的慣性矩。結(jié)論：² 平面上靜水壓強(qiáng)的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強(qiáng)。總壓力大小等于作

19、用面形心C處的壓強(qiáng)乘上作用面的面積A。² 平面上均勻分布力的合力作用點(diǎn)將是其形心，而靜壓強(qiáng)分布是不均勻的，浸沒(méi)在液面下越深處壓強(qiáng)越大，所以總壓力作用點(diǎn)位于作用面形心以下。2、靜止液體作用在曲面上的總壓力（1）靜止液體作用在曲面上的總壓力的計(jì)算由于曲面上各點(diǎn)的法向不同，對(duì)曲面A求解總壓力時(shí)，必須先分解成各分量計(jì)算，然后再合成。 x方向水平力的大小其中：是曲面A 沿x軸向oyz平面的投影；是平面圖形的形心C的浸深。結(jié)論：靜止液體作用在曲面上的總壓力在x方向分量的大小等于作用在曲面沿x軸方向的投影面上的總壓力。 y方向水平力的大小y方向水平力大小的算法與x方向相同： z方向水平力的大小其中

20、：是曲面A沿z軸向oxy平面的投影；稱為壓力體，是曲面A與之間的柱體體積。結(jié)論：靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大小等于壓力體中裝滿此種液體的重量?？倝毫Υ瓜蚍至康姆较蛐韪鶕?jù)壓力體的情況判斷。（2）壓力體實(shí)壓力體和虛壓力體壓力體應(yīng)由曲面A 向上一直畫到液面所在平面。壓力體中，不見得裝滿了液體。 實(shí)壓力體 虛壓力體（3）曲面上靜水總壓力的合成總壓力各分量的大小已知，指向可以分別判斷，總壓力的大小和方向就確定了。特別地，當(dāng)曲面是圓柱或球面的一部分時(shí)，總壓力是匯交力系的合成，總壓力必然通過(guò)圓心或球心。3、靜止液體作用在物體上的總壓力 浮力（1）阿基米德定律：靜止液體作用在物體上總壓力浮力的大

21、小等于物體所排開液體的重量，方向鉛垂向上，作用線通過(guò)物體被液體浸沒(méi)部分體積的形心浮心。4、物體的沉浮設(shè)物體重量為G，浮力為F，有如下結(jié)論：當(dāng)G >F 時(shí)，物體將下沉至水底沉體；當(dāng)G <F 時(shí)，潛體將上浮而露出水面浮體。這樣，物體排開液體的體積變小（浮力變?。?，直至重力等于浮力；當(dāng)G = F 時(shí)，物體可以潛沒(méi)于液體中，處于淹沒(méi)平衡狀態(tài)潛體。第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)基本要求v 了解描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法，建立以流場(chǎng)的觀點(diǎn)描述流體運(yùn)動(dòng)的概念；v 掌握在歐拉法中質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)和加速度的表示方法；v 理解流線和跡線的概念，掌握它們的微分方程及求解方法；v 了解流體微團(tuán)速度分解定理，會(huì)判斷流動(dòng)是否有旋；v

22、 掌握微元分析法，建立微分形式的連續(xù)方程，理解方程的物理意義。² 在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，討論描述流體運(yùn)動(dòng)的方法，根據(jù)運(yùn)動(dòng)要素的特性對(duì)流動(dòng)進(jìn)行分類。² 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)不涉及流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)因素。² 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)具體約束。3-1 流體運(yùn)動(dòng)的描述方法1、拉格朗日法：著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程。以研究單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程作為基礎(chǔ)，綜合所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。拉格朗日法是質(zhì)點(diǎn)系法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的位移矢量為：，是拉格朗日變數(shù)，即 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用來(lái)對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)簽。流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其它運(yùn)動(dòng)要素和物理

23、量的時(shí)間歷程也可用拉格朗日法描述，如，等。2、歐拉法：著眼于空間點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性。以研究流場(chǎng)中各個(gè)空間點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)要素的變化情況作為基礎(chǔ)，綜合所有的空間點(diǎn)的情況，構(gòu)成整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。歐拉法是流場(chǎng)法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量場(chǎng)為：，是空間點(diǎn)（場(chǎng)點(diǎn)）的位置坐標(biāo)，稱為歐拉變數(shù)。流速是在t時(shí)刻占據(jù)() 的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量。流體的其它運(yùn)動(dòng)要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時(shí)間和空間域上的場(chǎng)的形式表達(dá)。如加速度場(chǎng)、壓強(qiáng)場(chǎng)等：，。如果流場(chǎng)的空間分布不隨時(shí)間變化，其歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間 t ，這樣的流場(chǎng)稱為恒定流。否則稱為非恒定流。 歐拉法把流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場(chǎng)的形式表達(dá)，為在分

24、析流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)直接運(yùn)用場(chǎng)論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條件。歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)常用的一種方法。3、流體質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)速度是同一流體質(zhì)點(diǎn)的位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率。通過(guò)位移求速度或通過(guò)速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)該在拉格朗日觀點(diǎn)下進(jìn)行。若流動(dòng)是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只須將位移矢量直接對(duì)時(shí)間求一、二階導(dǎo)數(shù)即可。求導(dǎo)時(shí)作為參數(shù)不變，意即跟定流體質(zhì)點(diǎn)。，若流場(chǎng)是用歐拉法描述的，流體質(zhì)點(diǎn)加速度的求法必須特別注意：用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點(diǎn)的問(wèn)題。跟定流體質(zhì)點(diǎn)后，均隨t變。矢量式：分量式：質(zhì)點(diǎn)加速度=時(shí)變加速度(由流速隨時(shí)間的不恒定性引起)+

25、位變加速度(由流速在空間的不均勻性引起)3-2 有關(guān)流場(chǎng)的幾個(gè)基本概念1、恒定流、非恒定流（定常流、非定常流）若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的任何運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，稱流動(dòng)為恒定流。否則，為非恒定流。恒定流中，所有物理量的歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間，它們只是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，時(shí)變導(dǎo)數(shù)為零。例如，恒定流的流速場(chǎng)：，。恒定流的時(shí)變加速度為零，但位變加速度可以不為零。流動(dòng)是否恒定與所選取的參考坐標(biāo)系有關(guān),因此是相對(duì)的概念。2、跡線和流線（1）跡線定義：表示某一時(shí)刻流動(dòng)方向的曲線。跡線是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，是與拉格朗日觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。拉格朗日法中位移表達(dá)式即為跡線的參數(shù)方程。t是變數(shù)，是參數(shù)。在歐拉觀點(diǎn)下求

26、跡線，因須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)歐拉變數(shù)成為t的函數(shù)，所以跡線的微分方程為這是由三個(gè)一階常微分方程組成的方程組，未知變量為質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)（），它是t的函數(shù)。給定初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，就可以積分得到跡線。（2）流線定義：某一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻占據(jù)的空間點(diǎn)的連線。流線是流速場(chǎng)的矢量線，是某瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)中的一條曲線，該瞬時(shí)位于該曲線上的流體質(zhì)點(diǎn)之速度矢量都和曲線相切。流線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。利用流線可以形象化地描繪流場(chǎng)的空間分布情況。流線的微分方程為 這是兩個(gè)一階常微分方程，其中t是參數(shù)（當(dāng)常數(shù)看待）?？汕蠼獾玫絻勺迩?，它們的交線就是流線族。流線的性質(zhì)：除非流速為零或無(wú)窮大處，流線不能相交，也

27、不能轉(zhuǎn)折；在非恒定流情況下，流線一般會(huì)隨時(shí)間變化。在恒定流情況下，流線不隨時(shí)間變，流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線走，跡線與流線重合。跡線和流線最基本的區(qū)別是：跡線是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移曲線，與拉格朗日觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)；而流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。即使是在恒定流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。計(jì)算：已知速度場(chǎng)求流線和跡線方程(不能含有時(shí)間t)。（3）流動(dòng)線條和流動(dòng)顯示流動(dòng)線條包括四種：流線（streamline)、跡線(pathline)、煙線/脈線(streakline)、時(shí)線(timeline)煙線定義：由先后連續(xù)地經(jīng)過(guò)同一場(chǎng)點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的曲

28、線。時(shí)線定義：由確定流體質(zhì)點(diǎn)組成的流體線。流動(dòng)往往靠流動(dòng)線條來(lái)顯示，而在實(shí)驗(yàn)中比較容易得到的流動(dòng)線條是煙線和時(shí)線。3、流管和流量（1）流管、過(guò)流斷面、元流和總流在流場(chǎng)中，取一條不與流線重合的封閉曲線L，在同一時(shí)刻過(guò)L上每一點(diǎn)作流線，由這些流線圍成的管狀曲面稱為流管。流管的性質(zhì)：與流線一樣，流管是瞬時(shí)概念，在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流體不可能通過(guò)流管表面流出或流入。過(guò)流斷面：與流動(dòng)方向正交的流管的橫斷面。過(guò)流斷面為面積微元的流管叫元流管，其中的流動(dòng)稱為元流。過(guò)流斷面為有限面積的流管中的流動(dòng)叫總流?？偭骺煽醋鳠o(wú)數(shù)個(gè)元流的集合?？偭鞯倪^(guò)流斷面一般為曲面。（2）體積流量、質(zhì)量流量、斷面平均流速（體積）流量Q：通過(guò)流

29、場(chǎng)中某曲面A的流速通量 其物理意義是單位時(shí)間穿過(guò)該曲面的流體體積，所以也稱為體積流量，單位為m3/s。質(zhì)量流量：?jiǎn)挝粸閗g/s。流量計(jì)算公式中，曲面A的法線指向應(yīng)予明確，指向相反，流量將反號(hào)。封閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。總流過(guò)流斷面上的流速與法向一致，所以穿過(guò)過(guò)流斷面A的流量大小為，其中為過(guò)流斷面上某一點(diǎn)流速的大小。定義體積流量與斷面面積之比為斷面平均流速，它是過(guò)流斷面上不均勻流速的一個(gè)平均值，假設(shè)過(guò)流斷面上各點(diǎn)流速大小均等于，方向與實(shí)際流動(dòng)方向相同，則通過(guò)的流量與實(shí)際流量相等。4、均勻流、非均勻流；漸變流、急變流（1）均勻流與非均勻流判別：根據(jù)位變加速度？例如，是均勻流。均勻流的流

30、線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要么是曲線，要么是不相平行的直線。應(yīng)注意將均勻流與完全不隨空間位置而變的等速直線流動(dòng)相區(qū)別，前者是流動(dòng)沿著流線方向不變，后者是流動(dòng)沿著空間任何方向不變。后者是均勻流的一個(gè)特例。在實(shí)際流動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)見到均勻流，如等截面的長(zhǎng)直管道內(nèi)的流動(dòng)、斷面形狀不變，且水深不變的長(zhǎng)直渠道內(nèi)的流動(dòng)等。恒定均勻流的時(shí)變加速度和位變加速度都為零，即流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力為零，將作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若總流為均勻流，其過(guò)流斷面是平面。均勻流的這些運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，給相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的處理帶來(lái)便利，因此在分析流動(dòng)時(shí)，應(yīng)特別關(guān)注流動(dòng)是否為均勻流的判別。（2）漸變流、急變流判別：根據(jù)是否接近均勻流？漸變流

31、流線雖不平行，但夾角較小；流線雖有彎曲，但曲率較小。急變流流線間夾角較大；流線彎曲的曲率較大。漸變流和急變流是工程意義上對(duì)流動(dòng)是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒(méi)有明顯的、確定的界限，需要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)判定。5、流動(dòng)按空間維數(shù)的分類：一維流動(dòng)；二維流動(dòng)（平面流動(dòng)，軸對(duì)稱流動(dòng)）；三維流動(dòng)。任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便分析處理。二維流動(dòng)流場(chǎng)與某一空間坐標(biāo)變量無(wú)關(guān)，且沿該坐標(biāo)方向無(wú)速度分量的流動(dòng)。如：大展弦比機(jī)翼繞流： ，液體在圓截面管道中的流動(dòng)：，一維流動(dòng)流動(dòng)要素只取決于一個(gè)空間坐標(biāo)變量的流動(dòng)。如：。元流是嚴(yán)格的一維流動(dòng)

32、，空間曲線坐標(biāo)沿著流線。在實(shí)際問(wèn)題中，常把總流也簡(jiǎn)化為一維流動(dòng)，此時(shí)取定空間曲線坐標(biāo)的值相當(dāng)于指定總流的過(guò)流斷面，但由于過(guò)流斷面上的流動(dòng)要素一般是不均勻的，所以一維簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是要在過(guò)流斷面上給出運(yùn)動(dòng)要素的代表值，通常的辦法是取平均值。注意：流動(dòng)的維數(shù)(dimension)與流體速度的分量數(shù)不是一回事。6、系統(tǒng)和控制體由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的集合稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其空間位置、體積、形狀都會(huì)隨時(shí)間變化，但與外界無(wú)質(zhì)量交換。有流體流過(guò)的固定不變的空間區(qū)域稱為控制體，其邊界叫控制面。不同的時(shí)刻控制體將被不同的系統(tǒng)所占據(jù)。站在系統(tǒng)的角度觀察和描述流體的運(yùn)動(dòng)及物理量的變化是拉格朗日方法的特征，而站

33、在控制體的角度觀察和描述流體的運(yùn)動(dòng)及物理量的變化是歐拉方法的特征。3-3 流動(dòng)的質(zhì)量守恒方程連續(xù)性方程² 連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)基本約束。² 用歐拉觀點(diǎn)對(duì)質(zhì)量守恒原理的描述：連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)必須維持質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)性，即質(zhì)點(diǎn)間不能有空隙。因此，凈流入控制體的流體質(zhì)量必等于控制體內(nèi)因流體密度變化而增加的質(zhì)量。1、三維流動(dòng)的連續(xù)性微分方程恒定流動(dòng)的連續(xù)方程：極坐標(biāo)中平面流動(dòng)的連續(xù)方程： 或 2、不可壓縮流體（）運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性微分方程對(duì)于不可壓縮流體的流動(dòng)（不論恒定與否），連續(xù)方程均為：速度場(chǎng)的散度為零。速度場(chǎng)的散度： 流體微團(tuán)在三個(gè)互相垂直方向上的線變形速率之和，也是流體

34、微團(tuán)的體積膨脹率。連續(xù)方程表明不可壓縮流體微團(tuán)在三個(gè)互相垂直方向上的線變形速率的總和必為零，若在一個(gè)方向上有拉伸，則必有另一個(gè)方向上的壓縮，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其體積不會(huì)發(fā)生變化。3、恒定總流的連續(xù)性方程控制體：上游過(guò)流斷面A1和下游過(guò)流斷面A2之間的總流管。恒定條件下：² 總流管的形狀、位置不隨時(shí)間變化。² 總流內(nèi)的流體是不存在空隙的連續(xù)介質(zhì)，其密度分布恒定，總流管內(nèi)的流體質(zhì)量也不隨時(shí)間變化。² 沒(méi)有流體穿過(guò)總流管側(cè)壁流入或流出，流體只能通過(guò)兩個(gè)過(guò)流斷面進(jìn)出控制體。恒定總流連續(xù)方程通過(guò)恒定總流兩個(gè)過(guò)流斷面的質(zhì)量流量相等。 或 均質(zhì)不可壓縮恒定總流連續(xù)方程通過(guò)恒定總流兩個(gè)

35、過(guò)流斷面的體積流量相等。 或 或 對(duì)于不可壓縮流體，根據(jù)連續(xù)方程，流線的疏密能夠反映流速的大小。在流線譜中，流速的方向由流線的切線方向給出，而流線的疏密表示流速的大小，亦即流線密集的地方流速大，流線稀疏的地方流速小。在有分流匯入及流出的情況下，連續(xù)方程只須作相應(yīng)變化。質(zhì)量的總流入=質(zhì)量的總流出。3-4 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解² 考察和分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位移和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。² 涉及相對(duì)運(yùn)動(dòng)必須把討論問(wèn)題的尺度從流體質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)大到流體微團(tuán)。² 給出在同一時(shí)刻流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系。² 分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。1、亥姆霍茲速度分解定理流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)間速度

36、關(guān)系的一般形式：流體的變形速率張量二階對(duì)稱張量：主對(duì)角線上三個(gè)元素是線變形速率，其余的是角變形速率。流體旋轉(zhuǎn)角速度矢量，它恰是流速場(chǎng)的旋度矢量的一半。旋度 2、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析（1）以平面上的運(yùn)動(dòng)為例，解釋和的含義，進(jìn)而給出亥姆霍茲速度分解定理的物理意義，分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。表示單位時(shí)間、x方向單位長(zhǎng)度流體線段的伸長(zhǎng)，即x方向的線變形速率。表示坐標(biāo)面上流體直角減小速率的一半，也稱為角變形速率。表示坐標(biāo)面上兩直角邊旋轉(zhuǎn)的平均速率，即直角平分線的旋轉(zhuǎn)速率，也是直角頂點(diǎn)處流體平均旋轉(zhuǎn)角速度矢量在軸上的分量。（2）亥姆霍茲速度分解定理各項(xiàng)的物理意義3、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)判別：唯一的標(biāo)準(zhǔn)是看流速場(chǎng)是否滿

37、足旋度，寫成分量形式為：有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的判別僅在于流速場(chǎng)的旋度是否為零。不要根據(jù)流線是直線或曲線來(lái)直觀判別，以免出錯(cuò)。要看流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否繞自身軸旋轉(zhuǎn)？作業(yè)：習(xí)題 3-3,4,5(1)(3)(10),6,9,11,12第四章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)基本要求v 了解理想流體運(yùn)動(dòng)方程（歐拉方程）的推導(dǎo)過(guò)程，知道不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)方程（納維斯托克斯方程），理解方程的物理意義；v 掌握理想流體運(yùn)動(dòng)方程 歐拉方程的伯努利積分及其成立的條件，并會(huì)應(yīng)用伯努利積分；v 掌握流體運(yùn)動(dòng)的總流分析法，熟悉恒定總流條件下的連續(xù)方程、能量方程和動(dòng)量方程，并能綜合運(yùn)用計(jì)算總流問(wèn)題；v 知道基本平面勢(shì)流的解及疊加原理

38、。基本內(nèi)容² 建立理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉方程，介紹不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程N(yùn)-S方程。² 對(duì)理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程在恒定條件下沿流線積分得到恒定元流的能量方程伯努利方程，進(jìn)而推廣到總流，得到恒定總流的能量方程。² 將動(dòng)量守恒定律用于恒定總流得到恒定總流的動(dòng)量方程。² 引出無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)概念，討論不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系（柯西-黎曼條件）以及求解勢(shì)流問(wèn)題的奇點(diǎn)疊加方法。4-1 流體運(yùn)動(dòng)微分方程1、運(yùn)動(dòng)理想流體的應(yīng)力狀態(tài)運(yùn)動(dòng)理想流體的應(yīng)力只有法向應(yīng)力動(dòng)壓強(qiáng)，它與靜止流體（不論是理想流體還是粘性

39、流體）的靜壓強(qiáng)在形式上相同運(yùn)動(dòng)理想流體動(dòng)壓強(qiáng)的大小與作用面方位無(wú)關(guān)（靜止流體和運(yùn)動(dòng)理想流體中的四面體微元運(yùn)動(dòng)方程中的質(zhì)量力（含慣性力）比起表面力均為高階無(wú)窮?。?、理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉方程）的建立取微元體，運(yùn)用牛頓第二定律，對(duì)理想流體建立運(yùn)動(dòng)方程，描述動(dòng)壓強(qiáng)、質(zhì)量力和流速之間的關(guān)系。歐拉方程矢量形式： 分量形式： 3、不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程（納維- 斯托克斯方程）運(yùn)動(dòng)粘性流體存在切應(yīng)力，壓應(yīng)力與作用面的方位有關(guān)，但三個(gè)相互垂直的作用面上壓應(yīng)力之和與作用面的方位無(wú)關(guān)，它們的平均值定義為粘性流體的動(dòng)壓強(qiáng)。廣義牛頓內(nèi)摩擦定律假設(shè)應(yīng)力與變形速率之間呈線性關(guān)系，在此基礎(chǔ)上可建立不可壓縮粘性

40、流體運(yùn)動(dòng)微分方程納維-斯托克斯（N-S）方程。N-S方程矢量形式 分量形式 其中：拉普拉斯算子，對(duì)跟隨其后的量求調(diào)和量，如：4、流體動(dòng)力學(xué)的定解問(wèn)題控制流動(dòng)的基本方程組：微分形式流體運(yùn)動(dòng)（N-S）方程連同連續(xù)方程，形成對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的基本控制方程組，是求解流速場(chǎng)和壓力場(chǎng)的理論基礎(chǔ)。四個(gè)方程可求四個(gè)未知量：和，方程組是封閉的。但由于運(yùn)動(dòng)方程是二階偏微分方程，其中的位變慣性力（常稱為對(duì)流項(xiàng)）是非線性的，解析求解非常困難。求解方法：只有在極少數(shù)簡(jiǎn)單流動(dòng)的情況下，N-S方程才有解析解。而絕大部分流動(dòng)都不能直接對(duì)N-S方程解析求解。因此，通常只能抓住問(wèn)題的主要方面，在一些假設(shè)（如無(wú)粘假設(shè)、勢(shì)流假設(shè)、減少維數(shù)

41、等）條件的基礎(chǔ)上對(duì)基本方程作相應(yīng)的簡(jiǎn)化，才能進(jìn)行進(jìn)一步的解析處理。定解條件：初始條件是對(duì)非恒定流動(dòng)指定初始時(shí)刻流場(chǎng)的速度和壓強(qiáng)分布。邊界條件是指運(yùn)動(dòng)方程的解在流場(chǎng)的邊界上必須滿足的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件。如常見的邊界條件有：固壁條件和液體的自由表面條件。固壁條件理想流體的固壁條件稱為可滑移條件，即流體不能穿越固壁，但可有切向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，；粘性流體的固壁條件稱為不可滑移條件，即附著在固壁上的流體質(zhì)點(diǎn)與固壁不能有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，。液體的自由表面動(dòng)力學(xué)條件為自由表面上壓強(qiáng)為常數(shù)（大氣壓）。5、理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉方程）的伯努利積分：理想、恒定、不可壓、質(zhì)量力有勢(shì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)微分方程求解各種流動(dòng)問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)方

42、程進(jìn)行積分，但由于數(shù)學(xué)上的困難，目前還無(wú)法在一般情況下進(jìn)行。這里限定在恒定條件下理想（不可壓縮）流體運(yùn)動(dòng)方程沿流線的積分伯努利積分。伯努利積分：在理想流體的恒定流動(dòng)中，同一流線上各點(diǎn)的值是一個(gè)常數(shù)。（流線常數(shù)）其中：W是力勢(shì)函數(shù)，r 是不可壓縮流體的密度。積分是在流線上進(jìn)行的，不同的流線可以有各自的積分常數(shù)，稱為流線常數(shù)。重力場(chǎng)中的伯努利積分 伯努利方程對(duì)同一流線上任意兩點(diǎn)1和2有： 4-2 實(shí)際流體的能量方程恒定總流的能量方程1、恒定元流的能量方程（1）伯努利方程的物理意義伯努利方程表示能量的平衡關(guān)系。伯努利積分： 單位重量流體所具有的位置勢(shì)能（簡(jiǎn)稱單位位置勢(shì)能）；單位重量流體所具有的壓強(qiáng)勢(shì)

43、能（簡(jiǎn)稱單位壓強(qiáng)勢(shì)能）；單位重量流體所具有的總勢(shì)能（簡(jiǎn)稱單位總勢(shì)能）；單位重量流體所具有的動(dòng)能（簡(jiǎn)稱單位動(dòng)能）；單位重量流體所具有的總機(jī)械能（簡(jiǎn)稱單位總機(jī)械能）。歐拉觀點(diǎn)在理想流體的恒定流動(dòng)中，位于同一條流線上任意兩個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的單位總機(jī)械能相等。拉格朗日觀點(diǎn)在理想流體的恒定流動(dòng)中，同一流體質(zhì)點(diǎn)的單位總機(jī)械能保持不變。說(shuō)明：² 總機(jī)械能不變，并不是各部分能量都保持不變。三種形式的能量可以各有消長(zhǎng)，相互轉(zhuǎn)換，但總量不會(huì)增減。² 伯努利方程是能量守恒原理在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)，故被稱為能量方程。² 伯努利方程在流線上成立，也可認(rèn)為在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流

44、體恒定元流的能量方程。² 伯努利方程可理解為：元流的任意兩個(gè)過(guò)流斷面的單位總機(jī)械能相等。由于是恒定流，通過(guò)元流各過(guò)流斷面的質(zhì)量流量相同，所以在單位時(shí)間里通過(guò)各元流過(guò)流斷面的總機(jī)械能（即能量流量）也相等。（2）伯努利方程的幾何意義水頭幾何意義位置水頭；壓強(qiáng)水頭；測(cè)壓管水頭；速度水頭；總水頭。水頭線水頭沿程變化的情況幾何表示（3）元流能量方程的應(yīng)用舉例畢托管測(cè)速畢托管利用兩管測(cè)得總水頭和測(cè)壓管水頭之差速度水頭，來(lái)測(cè)定流場(chǎng)中某點(diǎn)流速。實(shí)用的畢托管常將測(cè)壓管和總壓管結(jié)合在一起。實(shí)際使用中，在測(cè)得，計(jì)算流速時(shí)，還要加上畢托管修正系數(shù)，即。2、恒定總流的能量方程（1）因總流是無(wú)數(shù)元流的累加，故理

45、想流體恒定總流各過(guò)流斷面上的能量流量相等。（2）為把總流能量方程的表達(dá)一維化，針對(duì)恒定均勻流（運(yùn)動(dòng)方程中只有重力、壓差力和粘性力，無(wú)慣性力）恒定均勻流同一過(guò)流斷面上各點(diǎn)的測(cè)壓管水頭相等，即同一過(guò)流斷面上的測(cè)壓管水頭為常數(shù)。注：² 恒定均勻流的過(guò)流斷面上粘性力的分量為零，只有壓差力與重力之間的平衡，所以動(dòng)水壓強(qiáng)按靜水壓強(qiáng)的規(guī)律分布。² 只能在同一過(guò)流斷面上應(yīng)用上述結(jié)論，因?yàn)檠刂鲃?dòng)方向動(dòng)水壓強(qiáng)分布不同于靜水壓強(qiáng)，導(dǎo)致不同過(guò)流斷面上測(cè)壓管水頭可能是不同的常數(shù)。² 漸變流近似于均勻流，所以漸變流過(guò)流斷面上的測(cè)壓管水頭可視為常數(shù)。² 急變流中同一過(guò)流斷面上的測(cè)壓

46、管水頭不是常數(shù)。于是，漸變流過(guò)流斷面上測(cè)壓管水頭的積分速度水頭的積分：引入斷面平均流速和動(dòng)能修正系數(shù)其中：，取決于斷面上的流速分布，流速分布越均勻，越接近于1.0。（3）理想不可壓縮流體恒定總流（流動(dòng)無(wú)機(jī)械能損耗）能量方程的一維化表達(dá)注：上式中斷面平均流速、動(dòng)能修正系數(shù)和測(cè)壓管水頭的取值都是由所在過(guò)流斷面唯一確定的，條件是過(guò)流斷面應(yīng)處于漸變流段中。（4）實(shí)際流體恒定總流的能量方程分析水力學(xué)問(wèn)題最常用也是最重要的方程式恒定總流能量方程的幾何表示水頭線若測(cè)壓管水頭線在位置水頭線以下，表示當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)是負(fù)值。水力坡度單位重量流體在單位長(zhǎng)度流程上損失的平均水頭。恒定總流能量方程的應(yīng)用條件² 流動(dòng)

47、必須是恒定流，并且流體是不可壓縮的。² 作用于流體上的質(zhì)量力只有重力。² 所取的上下游兩個(gè)斷面應(yīng)在漸變流（近似于均勻流）段中，以符合斷面上測(cè)壓管水頭等于常數(shù)這一條件。但在兩個(gè)斷面之間流動(dòng)可以不是漸變流。斷面應(yīng)選在已知條件較多的位置。在漸變流斷面上取任何一點(diǎn)的測(cè)壓管水頭值都可作為整個(gè)斷面的平均值，為簡(jiǎn)便通常取管道中心點(diǎn)或渠道水面點(diǎn)。3、能量方程的應(yīng)用舉例恒定總流能量方程表明三種機(jī)械能相互轉(zhuǎn)化和總機(jī)械能守恒的規(guī)律，由此可根據(jù)具體流動(dòng)的邊界條件求解實(shí)際總流問(wèn)題。關(guān)鍵是過(guò)流斷面的選取和能量方程中各向的確定。（1）跌水流動(dòng)（2）文丘里管測(cè)量測(cè)管道流量4、有能量輸入或輸出的能量方程為1

48、、2斷面之間單位重量流體從水力機(jī)械獲得（取+號(hào)，如水泵）或給出（取-號(hào)，如水輪機(jī)）的能量。舉例：水泵管路系統(tǒng)揚(yáng)程： 軸功率： （水泵效率）水輪機(jī)管路系統(tǒng)水輪機(jī)作用水頭 （不包括水輪機(jī)系統(tǒng)內(nèi)的損失）水輪機(jī)功率 （水輪機(jī)效率）4-3 恒定流的動(dòng)量方程1、恒定總流的動(dòng)量方程（1）方程推導(dǎo)在總流中選取控制體，利用動(dòng)量守恒定律，歐拉觀點(diǎn)表述的總流動(dòng)量守恒定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間控制體內(nèi)流體動(dòng)量的增加 + 單位時(shí)間凈流出控制體的動(dòng)量 = 控制體內(nèi)流體所受合外力動(dòng)量通量單位時(shí)間里通過(guò)總流過(guò)流斷面的動(dòng)量 恒定總流動(dòng)量守恒方程： （2）漸變流過(guò)流斷面上動(dòng)量通量的一維化表達(dá)漸變流的流線是平行直線，過(guò)流斷面為平面圖形，斷面上

49、各點(diǎn)流速的方向一致，均為斷面法向，而其大小一般不均勻。故引入：斷面平均流速： 流量意義上的平均動(dòng)量修正系數(shù)： 為大于1.0 的數(shù)，其大小取決于斷面上的流速分布。在一般的漸變流中的值為，為簡(jiǎn)單起見，也常采用=1.0。動(dòng)量通量的一維化表達(dá)： （3）一維化的恒定總流動(dòng)量方程 或 說(shuō)明：² 包括外界對(duì)所取控制體進(jìn)出口表面作用的動(dòng)壓力、總流側(cè)壁邊界對(duì)控制體內(nèi)流體的總作用力和控制體內(nèi)流體的重力，其中只有重力是質(zhì)量力，其它都是表面力。² 求解具體問(wèn)題時(shí)特別注意作用力與反作用力的問(wèn)題。² 恒定總流動(dòng)量方程是矢量方程，實(shí)際使用時(shí)一般都要寫成分量形式：² 恒定總流動(dòng)量方程建

50、立了流出與流進(jìn)控制體的動(dòng)量流量之差與控制體內(nèi)流體所受外力之間的關(guān)系，。對(duì)于有些水力學(xué)問(wèn)題，能量損失事先難以確定，用動(dòng)量方程來(lái)進(jìn)行分析可以避開流動(dòng)內(nèi)部的細(xì)節(jié)。2、恒定總流動(dòng)量方程應(yīng)用舉例（1）水流對(duì)彎管的作用力【p93例4-4】它是利用動(dòng)量方程求得的彎管對(duì)水流作用力的反作用力。本例要點(diǎn)（7個(gè)）見第4章課件。（2）水流對(duì)矩形平板閘門的推力【p95例4-5】應(yīng)用到平面靜水總壓力的計(jì)算、反作用力問(wèn)題。本例要點(diǎn)（3個(gè)）見第4章課件。（3）流體對(duì)水平分岔管的作用力需要通過(guò)三大方程（連續(xù)性方程、能量方程、動(dòng)量方程）的聯(lián)用求解，綜合性較強(qiáng)。3、求解恒定總流問(wèn)題的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）恒定總流的三大方程，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，

51、有一個(gè)聯(lián)用的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)情況靈活運(yùn)用。（2）在有流量匯入或分出的情況下，要按照三大方程的物理意義正確寫出它們的具體形式。如針對(duì)下圖流動(dòng)：動(dòng)量方程（以x方向?yàn)槔哼B續(xù)方程：能量方程：表達(dá)能量方程時(shí)要注意，不要將單位重量流體能量（水頭）誤認(rèn)為能量流量。因此，對(duì)單位重量流體而言，在總流過(guò)流斷面和分支流過(guò)流斷面間可以列伯努利方程（總流能量方程）?？偰芰科胶怅P(guān)系（3）求解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵在于：流量、動(dòng)量和能量分配相互耦合，關(guān)鍵在于確定水頭損失。（4）本章對(duì)總流所加的恒定條件是非常重要的，有了這個(gè)限定，系統(tǒng)質(zhì)量、動(dòng)量和能量的守恒才與控制體內(nèi)的流動(dòng)情況無(wú)關(guān)，完全可以僅在邊界上表達(dá)。4-4 理想流體的無(wú)旋流

52、動(dòng)理想不可壓縮流體從靜止或無(wú)旋狀態(tài)開始的流動(dòng)將保持為無(wú)旋流動(dòng)。所以無(wú)旋流動(dòng)往往是以理想流體為前提條件的。1、無(wú)旋流動(dòng)的伯努利積分理想、恒定、不可壓、質(zhì)量力有勢(shì)、無(wú)旋（1）無(wú)旋流動(dòng)的伯努利積分歐拉積分（通用常數(shù)）在理想流體的恒定有勢(shì)流動(dòng)中，流場(chǎng)中各點(diǎn)的值是一個(gè)常數(shù)。其中是力勢(shì)函數(shù)，是不可壓縮流體的密度。（2）重力場(chǎng)中（）的歐拉積分（通用常數(shù)）注：伯努利積分和歐拉積分形式上很相似，但兩者的適用條件和使用范圍是不同的。2、流速勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)² 任何無(wú)旋流場(chǎng)都存在速度勢(shì)函數(shù)。² 對(duì)于的無(wú)散流場(chǎng)，還可以定義流函數(shù)。² 速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)均滿足線性的Laplace方程，他們獨(dú)

53、立于壓強(qiáng)場(chǎng)，因此可使這類流場(chǎng)的計(jì)算得以簡(jiǎn)化。（1）流速勢(shì)函數(shù) 速度勢(shì)函數(shù)存在的條件、無(wú)旋流動(dòng)與有勢(shì)流動(dòng)的等價(jià)性無(wú)旋流動(dòng) 有勢(shì)流動(dòng) 不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)（勢(shì)流）的速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程（二階線性偏微分方程，與非線性的歐拉方程相比容易求解）， 為調(diào)和函數(shù)注：只有當(dāng)滿足連續(xù)性方程時(shí)，才能證明這個(gè)流場(chǎng)存在判斷流動(dòng)是否存在的方法！ 勢(shì)流的求解步驟：由結(jié)合適當(dāng)邊界條件積分解出，由微分得到，再由歐拉積分或解出。 等勢(shì)面（線）與等勢(shì)面（線）微分方程等勢(shì)面：等勢(shì)面（線）方程：，表示沿等勢(shì)面切線方向的任意微小位移，可見，無(wú)旋流的流速與等勢(shì)面（線）垂直，又由可知，增大的方向必須與的方向相同。 速度勢(shì)函數(shù)的求解方法（

54、一）直接根據(jù)定義求，與具體積分路徑無(wú)關(guān)，可選一條簡(jiǎn)便的路徑計(jì)算。注意：要按照定義求速度勢(shì)，不要誤認(rèn)為分別做三個(gè)獨(dú)立的不定積分相加。（二）尋找全微分（推薦采用）：注意：給定流場(chǎng)（速度場(chǎng)），求解速度勢(shì)，要先檢查流場(chǎng)是否無(wú)旋。 ，代入，求，回帶得即。（2）不可壓縮平面流動(dòng)的標(biāo)量流函數(shù) 定義：表示穿過(guò)點(diǎn)至點(diǎn)連線的流量，它與連線路徑無(wú)關(guān)。流函數(shù)的微分為穿過(guò)微元弧長(zhǎng)的流量，所以把稱為流函數(shù)。 對(duì)于二維不可壓縮平面流動(dòng)：，滿足連續(xù)性方程 對(duì)于軸對(duì)稱不可壓縮流動(dòng)：，滿足連續(xù)性方程 流函數(shù)存在的條件：不論是理想流體還是粘性流體，是穩(wěn)態(tài)流動(dòng)還是非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，只要是平面或軸對(duì)稱不可壓縮流動(dòng)，總存在流函數(shù)。對(duì)于可壓縮流體的流動(dòng)，由于連續(xù)方程中多了項(xiàng)，故只有在穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)才存在流函數(shù)。三維流場(chǎng)不存在流函數(shù)。 對(duì)于平面不可壓縮流動(dòng)，流函數(shù)有以下性質(zhì)：² 等流函數(shù)線即是流線，同一條流線上任意兩點(diǎn)的流函數(shù)值相等，表示一簇流線。² 兩點(diǎn)的流函數(shù)值之差表示穿過(guò)該兩點(diǎn)間任意連線的流量，也即為分別過(guò)這兩點(diǎn)的兩條流線之間的體積流量。